函数、线性与非线性——数学迷思之五

一、概念回顾

为了后续的深入讨论，首先，让我们再次重温一下函数、线性、非线性等概念。

1、函数

函数是现代数学的中心概念，其概念的形成经历了一个较长的历史时期，这一点从函数的定义就可以看出来。

（1）传统定义：在某一变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则y与x有函数关系。一般用y=f(x)表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量。

（2）经典定义：在某个坐标变化过程中，如果有两个变量x和y，对每一个给定的x值，y都有唯一确定的值与它对应，确定y=x的函数。x=自变量，y作为x的因变量。另外，若对于每一个给定的y值,都有X与其对应。

（3）现代定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。

基于现代集合论，映射被定义为集合间的一种对应操作，现代函数被定义为一种特殊的映射，其定义域和值域都是数域。在此基础上，现代函数的概念得到了扩张，如果定义域是函数的集合，值域是数域，则把这种映射称之为泛函；如果定义域是函数的集合，值域是也是函数的集合，则把这种映射称之为算子。

2、线性

线性：从相互关联的两个角度来界定，其一：叠加原理成立；其二：变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。

3、非线性

顾名思义，不是线性关系的关系就是非线性关系。

(1)定义非线性算符L(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符，即叠加原理不成立。

(2)作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。

二、函数、线性与非线性概念的再分析

从集合论角度看，映射是一种集合操作，按照某种规则，定义域集合中的元素被映射到值域集合。

从测度结构的变化看，线性映射可以定义为维度不变的映射（可以称作保维度集合操作，需要注意的是，测度量纲的变化是允许的）；非线性映射可以定义为改变维度的映射（可以称作变维度集合操作）。

以PA系统为例，＋、×是线性的集合操作，而÷是非线性的集合操作！非线性操作产生新的数集（维度不同的数集），÷使自然数集扩展为有理数集。

函数是一种定义域与值域都是数域的特殊映射。

例子1：函数y = 2*x是线性映射。

设x的取值是[0,1]∈R，由于实数集是维度可选范围为无穷的集合，为讨论问题方便，这里假定[0,1]是维度为1的线段，则y也是维度为1的线段，取值[0,2]∈R，设dx是x的量纲，则dx =ε（实数的量纲单位），设dy是y的量纲，则dy=2*dx；dy= 2*ε。

函数y = 2*x的操作结果是：值域与定义域维度不变（自由参数都是1），但值域的量纲dy是定义域量纲dx的两倍。直觉上，通过这个函数的操作，[0,1]变成了[0,2]，多出来[1,2]，似乎好像有点“无中生有”的意思，这该如何理解呢？这可以从ε具有的潜无穷和实无穷双重性来理解：从实无穷角度看，ε是最小单位，小于ε的测量值为0；从潜无穷角度看，ε之下还可以有ε/2, 对应x，ε/2=0，是不可见的，但是对于y，由于y=2*dx=2*ε/2=ε，ε/2是可见的，其测量值是1，这样，在ε范围内，y就有两个可见的测量值，这就是“无中生有”的秘密。

例子2：Koch 曲线

1904年，瑞典数学家柯赫构造了“Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零。Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如图1所示(迭代了 6 次的图形)。

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图1Koch曲线

在无穷集合中进行非线性映射，实质上改变了集合维度，使得定义域与值域集合不再具有可比性（不能用同一个量纲单位度量）。