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【12】《极限内外》

已有 3518 次阅读 2016-11-8 08:20 |个人分类:教育教学|系统分类:教学心得| 百花齐放, 差不多先生, 极限内外

--公众号--  微高数  ---

【摘要】带着极限是数学,拿掉极限是生活;能求得好极限是学好了高数,能拿得掉极限是学活了高数。

【极限之江湖地位】

极限在高等数学中的江湖地位,就像爱情在影视剧中的位置,绕不过,躲不掉,“此情无计可消除,才下眉头,却上心头。”因此,高数体系中的带头大哥非极限莫属。


【极限之浅尝辄止】

函数极限是个局部性质,反映函数在某局部区域的稳定趋势,因此脱离了邻域就无从谈起极限,不过邻域的表现形式各不相同,甚至邻域有时候不像我们想的那么小。x->a的极限对应a点的去心邻域,x->inf对应邻域是远于找到X的无穷区域,数列极限对应邻域是大于找到N的所有自然数构成的集合。

【极限之差不多先生】

x在某变化过程中存在极限a,即limf(x) = a,可以理解为f(x)x的该过程中的轨迹会有确定的有限趋势a,拿掉极限近似理解为f(x)在该变化过程中差不多等于常数a,这么理解的话,好多极限题即使不会严格写,也可以快速准确的猜出结果。极限与差不多先生的支撑其实是极限与无穷小的关系定理。

例题:x->inf时,lim(f(x)-ax-b)=0,求lim(f(x)/x)

严格写法或许大家都会做,现在我来说说猜的过程:由于x->inf时,lim(f(x)-ax-b)=0,所以x->inf时,f(x)ax+b差不多,既然f(x)ax+b差不多,因此f(x)~ax+b,那么f(x)/x是什么?如果还想不出来的话,那就要反思你的初中数学是不是*&#@教的了?哈哈,玩笑。

f(x)~ax+b,对这条差不多直线f(x)=ax+b上任意一点(x, f(x))来说,f(x)/x其实表示的就是该直线的斜率,因此f(x)/x就差不多等于a,所以极限意义下f(x)/x就严格等于a


因此我在讲授高数过程中,经常把一些问题在拿掉极限号的情况下划归为中学、甚至小学一些很常见的问题和套路,这样就由不得他们不会想了(对认真听课的学生),因此我在课堂上的一个口头禅就是“你们猜猜?”,由此衍生出我高数教学的一个基本出发点:培养学生随时能拿掉极限号思考,猜一猜,蒙一蒙。因为我个人始终相信:带着极限是数学,拿掉极限是生活;能求得好极限是学好了高数,能拿得掉极限是学活了高数。

【极限之百花齐放】

“极限”这个词在高数中的意思和在社会大众的普遍认识有很好的重叠性。例如,

(1) 高数中:x->af(x)的极限是A,刻画了函数f(x)x无线逼近于af(x)的极限状态;

(2) 生活中:你对我的忍耐已经达到了极限,描述了你对我的忍耐已经达到了忍无可忍的地步,亦即你对我的忍耐的极限过程已经结束,类似于高数中已经取到了极限;

(3) 极限运动:极限运动是最大限度地发挥自我身心潜能,向自身挑战的娱乐体育运动,当自我身心潜能达到最大限度的发挥时,不就意味着取到极限了吗?因此极限运动成了人们超越自我、挑战自我极限的形式。


极限还有很多其他的形式。在石猴到来之前,水帘洞之于花果山的猴子们是可望而不可即的目标,类似于函数有一定的变化趋势、但取不到极限,但石猴到来之后水帘洞就是花果山的猴子可以取到的极限了;被招安,然后兄弟们各有所属、各有所为,是宋江的最终理想,也是宋江理想的极限状态;扫除贼寇,复兴汉室则是诸葛孔明的极限理想;我初步的理想就是先挣他一个亿(希望健林同志哪天把他的这个无穷小打到我账户上,哈哈),最终理想则是有想用就用的钱,有想有就有的闲,有想玩就玩的力,有想走就走的路。

极限在这些情形下的意思有点“蝶去莺飞无需问”的明显,但细品其中的韵味恐怕就“把吴钩看了,栏杆拍遍,无人会,登临意”了。

【极限之超越极限】

     数学的极限反映了函数在自变量的某变化过程的最终趋势,而极限行为和人们最大的理想(或梦想)也反映了社会和个人的最终最大的愿望。这么一说破,细心之士或许会发现问题,“最终的愿望?”怎么感觉有点别扭呢?因此极限行为或最大理想只限于在某阶段或某局部,而我们需要不断超越极限、超越梦想,即Beyond limit,这才是我们和社会不断前进的源动力。


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