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【13】《话说导数》

已有 4609 次阅读 2016-11-26 16:49 |个人分类:教育教学|系统分类:教学心得| 导数, 高等数学, 微高数, 变化率

--公众号--  微高数  ---

1:为什么说导数】

导数用以衡量变化。

为了进一步讨论函数的变化,之所以说“进一步”,原因在于先前的连续概念已经讨论了函数的变化,即在x0点的某邻域内,若Δx->0,则Δy->0,用文字描述这个式子就是“若自变量的改变量是无穷小,则因变量的改变量也是无穷小”,用通俗的话说就是“若自变量发生了很小的改变,则因变量也随之只发生很小的改变”。


为什么引入导数?

原因在于连续只是说明了“若自变量的改变量Δx是无穷小,则因变量的改变量Δy也是无穷小”,但并没有说明这两个无穷小谁“更无穷小”,也即这两个无穷小能不能再比一比?原因在于我们已经讲过无穷小的比较了,因此这么想就是水到渠成的事情了。

既然比,那么怎么比?

既然是两个无穷小,那么借鉴无穷小的比较方法:比值,就再自然不过了。同时,比值的方法还有很多好处,自变量的改变量Δx和因变量的改变量Δy不是一个量纲体系(通俗地说不是一个战壕里的兄弟),没法直接做和差运算,但做比值去考虑他们的相对改变速度就没有什么问题。

2:什么是导数】

想理解导数,最好先理解平均速度和瞬时速度的内因外连。平均速度是物体在一段时间内的平均速度,这个时间段是普通大众可以想到的不太小的时间段,但一旦这个时间段逐步缩短,以至于超越我们认知程度的小,即时间段长度趋于零,那这个时间段的平均速度就可以极限于起点处的瞬时速度。

那函数的相对改变速度类似于平均速度,即函数在自变量区间[x, x+Δx]内的平均改变速度,令Δx->0,就可求出函数在x时刻的瞬时改变速度,即函数的瞬时变化率,即Δx->0时,Lim(Δy/Δx)的值就是函数在该点处的瞬时变化率,即导数。

   3:导数的来由】

说完导数的前世今生,再来回头看,如何整体的理解导数。


函数y=f(x)在x点可导:当Δx->0时,极限Lim(Δy/Δx)存在,此导数的定义小主意味深长啊。

(1)函数可导:Δx无穷小,Lim(Δy/Δx)存在,首先意味着Δy必定是无穷小,此举意味着函数在该点处必定连续;

(2)函数可导:Δx无穷小,Lim(Δy/Δx)存在,无非是0和非0。

若Lim(Δy/Δx)=0,意味着Δy要是Δx的高阶无穷小,简单说就是比Δx趋近于零的速度要快的多;

若Lim(Δy/Δx)不=0,意味着Δy与Δx是同阶无穷小,简单说就是Δy与Δx趋近于零的速度差不多,最多差个常数倍;

这么剖茧抽丝,发现函数可导意味着Δx无穷小时,Δy不仅是无穷小,而且必定是趋于零的速度要么比Δx快、要么差不多的无穷小。再进一步说,导数这个概念貌似根本不应该讲,为什么呢?因为导数就是第一章中“无穷小”概念+“无穷小比较”的简单叠加。

4:导数近似观】

函数y=f(x),若在x0点有Lim(Δy/Δx)=k,则x0邻域内,若拿掉极限,可知Δy/Δx≈k,这个式子可以理解为:

x0邻域内,若自变量x改变1个单位,则因变量大致改变了k个单位;

k>0,则若自变量x增加/减少1个单位,则因变量也大致增加/减少k个单位;

k<0,则若自变量x增加/减少1个单位,则因变量也大致减少/增加k个单位;

|k|>1,则认为因变量对自变量的变化较为敏感,即自变量改变1个单位,则因变量大致反向改变k个单位;

|k|1,则认为因变量对自变量的变化不敏感,即自变量改变1个单位,则因变量大致反向改变k个单位;

5:导数的导数】

仿照对函数f(x)导函数f’(x)概念的理解,可以近似理解导函数f’(x)的导函数,即原函数的二阶导函数f’’(x)的大致意义,即二阶导函数值的正负反应了导函数相应于自变量的正向或反向改变性,二阶导函数值的绝对值大于、等于或小于1反应了导函数对自变量改变的敏感程度。

进一步,二阶导函数值的正负和数值大致反应了原函数相应于自变量的增幅的变化情况:


6:导数万花筒】

导数描述函数的变化率,因此这个抽象的函数具体化为每个领域内的具体问题时,则导数概念思想可以用来描述其相应的变化率,换句话说,只要有变化的概念,就会有导数的影子。

1、久居兰室不闻其香,久居鲍市不闻其臭

孔子依此做喻,说明交友和环境对人品性的影响作用。若以y表示人感受到的香(“臭”可看成是“香”的相反数),或隐喻人的品性,则y可看成时间t的函数,即y=f(t)。人进入兰室,感受到的香一般是一直增加,但必然初入兰室感觉的兰花香肯定很浓郁,随着时间的推移对这种香度增加的感觉必然在减少,以至于久居兰室不闻其香,这里面蕴含着明显的一阶导数和二阶导数的概念。

“感受的香度一直在增加”表示y’=f’(t)始终>0;“初入兰室感觉的兰花香很浓郁”意味着此时y’=f’(t)的数值很大,而且是正数;“随着时间的推移对这种香度增加的感觉必然在减少”表示香度y=f(t)的增幅在减小,即y’=f’(t)的数值在减小,或者说y’’=f’’(t)<0

因此我们要避免陷入到习以为常的状态,否则会失去对美好事物的感知和体验能力。

2、时常见诸新闻媒体的“房价在降低”与“房价增幅在降低”是两个不同程度的概念,“房价降低”是房价函数的一阶导数小于0,“房价增幅降低”则是房价函数的二阶导数小于0,显然不能画等号。政府调控房价的目的可能是希望“房价增幅降低”,可普通百姓希望的则是“房价降低”。

3边际成本、边际利润等边际概念

在经济学和金融学中,边际成本指的是每一单位新增生产的产品(或者购买的产品)带来的总成本的增量”,这在数学眼里看来,边际成本其实就是成本函数的一阶导数,因此产品的“成本降低”与“边际成本降低”在数学上分别表示成本函数的一阶导数<0和二阶导函数<0

4、雾霾、蓝天白云与风


  变化的空气质量,需要风的助力。

   7:导数后记】

导数,是在考量变化的幅度,不只是书本里的白纸黑字,她潜伏在我们身边的每一个问题中,只要我们睁开慧眼,去把这纷扰看得清清楚楚明明白白真真切切。

 

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