思维的经济原则在数学中得到了高度的发挥, 数学是各门科学在高度发展中所达到的最高形式的一门科学.                                                             

——Ernst Mach

这是一幅约3800年前的古巴比伦数学陶片（转自《继承与背叛——现代科学为何出现于西方》），出土之时尚无人知其含义。后在数学家诺伊格包尔的解读下发现其记录的正是利用几何学证明2的平方根的数值。古巴比伦人丰富的数学知识由此呈现在世人面前。无独有偶，也是约3800年前，埃及人的手卷中也开始有了一些基于几何学的数学记录。这会是一个巧合么？或者是如继承与背叛一书中暗示的那样，古巴比伦和古埃及当时是否有着某种文化交流？但还有一种可能。从古巴比伦现存的数学陶片来看，这些数学算题内容大多是如何丈量土地面积，如何计算疏通运河的土石方或是堤坝的体积。是不是有点熟悉？熟悉我前两篇文章的朋友都知道，大约4000年前，地球上生活着的人们正遭受着由于第四纪冰河期结束而引发的全球特大洪灾。水利，是当时人们最迫切需要的工程科学。在其后漫长的岁月里，这门实用科学为很可能最早从天文学中发展而来的数学添加了崭新的内涵。

很长一段时间，中国的远古数学史都是一片空白和一笔糊涂账。因为地处中原大地的炎黄文明没有如古巴比伦的陶泥那般好使的半永久性记录工具。但我们长久以来也都流传着一些类似龙马献河图，神龟献洛图于大禹助其治水的神话故事。其背后隐隐藏着的数学史涵义着实让人寻味。

2009年，具茨山岩画被定为与中国远古文明有密切关系的文化符号。在具茨山发现的约3000幅岩画，以及随后在方城发现的庞大的岩画群都为人们展示了一个可能的辉煌古老文明的遗证。其中大多数为原点符号以及方块，线条所组成图案，其意义大家暂时还莫衷一是。部分图案可以看这里（http://blog.sina.com.cn/s/blog_02e32d8a0100bzu9.html）

卖了这么多关子，其实是想引出下面这幅“岩画”

在这幅图中，左侧是原始图片（其中虚框为我所加），右侧是高清度的素描，下侧是我添加的一个草图。上述的博主解这幅图为某年某日，黄帝出巡于田地视察。也有道理。但是当我们把注意力放在图正中的所谓“田”字时，不得不想起另外一个可能。因为利用这个“田”字图案，我们可以轻松地证明等腰直角三角形的勾股定理，即两直角边的平方和等于弦长的平方（a²+a²=b²）。具体地证法就是我们早已熟悉的面积割补法。如上图草图所示，要证一直角边长为a的等腰直角三角形的弦长的平方为a的平方的二倍。我们可以辅助画出如草图中的2a边长的大正方形和b边长的中正方形（红线所示）。我们可知，大正方形的面积为4a²，中正方形的面积为b²。通过数最小三角形的块数我们可以肯定地说出大正方形的面积是中正方形的二倍，即4a²=2b²，各约去2后可知b²=2a²，即a²+a²=b²。

如果这个推论不错的话，我们可以从中得之当时的人们已经有了直线的概念，直角的概念，三角的概念，正方形的概念，中位线的概念，对角线的概念。并能运用这些几何观念加以证明形而上的数学命题。图中旁边的一些符号，可能是用来为这些概念做必要说明的。其中最引人注意的是那一排排圈点符号，那会不会是如古巴比伦楔形文字那样的具有中国特色的圈点文字呢？

这不能不惹人遐想，那时的人们有着怎样发展的形而上的哲学观念？也许这一切的一切的答案，正蕴藏在那一片片的岩画中呢。

继续推测。如上图所示，虚框中的图形实际上是计算一个边长为2的等腰直角三角形的弦长过 程。如草图所示，圈点文字自作自左至右表示做两次2的平方，得到结果两个4。再将这两个4相加 并将结果开平方，就得到了弦长2.5，或是~3。这里牵涉到如何开8的平方来求其平方根近似值的问 题。请看下图         我们可以看到，在两个4的上方有一个由九个小方形组成的大方形。我们可不可以理解为这是 说“欲求8的平方根，先从9开始”？随后，一条弯弯曲曲的线将我们带到了图的右上角，我们可以看 到一个更为规整的正方形。下方是我画的草图。有前面我们可以知道，当时人们可能已经知道正方 形面积等于两边之平方和。那么反过来，所谓的“开方”就是求一个已知面积（在这里是8）的正方 形的边长。而要用这样的方法，那么必须得从面积为9的正方形开始。如图所见，从一个面积为9的 正方形正中扣掉一个边长为1的正方形，那么就是一个面积为8的图形了。那么同理，从9的正方形 边（即9的平方根）上都掉一段合适的长度，剩下的边长就应该是8的平方根了。从图上我们可以看 到，通过做对角线和找中位线的方法，他们证明了草图中红线标示的两端线段相等，这段长度是 1/2。通过这种近似求法，人们算得8的平方根是2.5了。这可以解释为什么在原始图片上，最后一 个圆点不像之前的点那样是阳文，而是个阴文（但又不是很深的凹坑）。这很有可能是表示这个数 不是一个整数，而是一半，即0.5。      总结一下，古人这种求平方根的算法用代数学来表示的话，即Sqr(3^2-1^2)~~3-1/a 这里的a取 何值是一个技术活。值得我们注意的是，上述岩画的最右上角的几条线段里似乎对这一段截去的边 长多少为合适进行了讨论，似乎是对这1/2长的线段再分成三段，那么每一段就是1/6了。我们现在 知道，利用牛顿切线法可以无限接近所求的平方根值。如果要求8的话，用牛顿切线法得到的结果 是3-1/6~~2.833，这已经是比较好的一个近似值了。      通过以上的推测，我们似乎替古人完成了一次求等腰直角三角形弦长的演算。是不是这样呢？ 还有待更多的清晰岩画资料的破解。       另外，位于“岩画”左上的一个5*5的方格与古代计算所用的筹算板很像。