Zmn-1429 薛问天: 反证法在证明中就是要用那个反证法的假设推出矛盾。评杨六省《1428》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对杨六省先生的《Zmn-1428》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

反证法在证明中就是要用那个

反证法的假设推出矛盾。评杨六省《1428》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，杨六省的《1422》的错误。

杨六省说【我不是没有认真阅读薛文，而且在提交的文章中也对薛的错误观点进行了明确的回应（只是没有点薛名而已）。】事实並非如此。杨先生并没有读懂薛文《1423》的批评。薛文批评指出〖楊六省先生质疑说【关于“√2 不是有理数”的证明独立于其他证明。因此，在评论上述证明时，笔者有理由将“√2 不是有理数”（即√2 = n/m 中的 m 和 n 不可能同时为整数）作为论据加以利用。】 【要知道他所说的“右边有偶数个因子 2”，和“左边有奇数个因子 2”失去意义，是由于【原文称“这个式子的左边有奇数个因子 2”，这隐含地使用了“m是整数”这一假设。】楊先生的错就在这里。在证明中。这不是【隐含地使用】，而是【公开地使用】，这就是说在证明中用到那个反证法的假设，即【√2 是有理数，于是可以用两个整数 m、n 表示为√2 = n/m，】推出矛盾。而杨六省认为证明中【“右边有偶数个因子 2”，和“左边有奇数个因子 2”失去意义，】是由于杨先生没有认清，证明中使用的正是这个反证法的假设即【√2 是有理数，于是可以用两个整数 m、n 表示为√2 = n/m，】。杨先生认为【笔者有理由将“√2 不是有理数”（即√2 = n/m 中的 m 和 n 不可能同时为整数）作为论据加以利用。】即杨六省质疑的错误在于质疑了[证法一]证明时使用的【√2是有理数】这个反证法的假定进行推论。

杨先生没有弄懂此批评，说什么【我的证明与教科书的证明相互独立，这是明显的“事实”。请问，“事实”需要“证明”吗？我说“我的证明独立于教科书证明”，这需要使用反证法吗？需要作出反证法的假定吗？】同我的批评毫不相干！我说的证明指的是独立于其它证明的教科书的定理的证明，当然需要使用反证法。

杨先生说【“证法一”（笔者注：指第一篇贴文）指出“右边有偶数个因子 2”无意义，理由是“n 不是整数，何来因子 2”。】因为是根据反证法的假定m和n都是整数，所以说无意义理由是错误的。推论是有意义的，

杨先生说【这并不否定反证法可用于证明√2 不是有理数，也不否定反证法可将“n 是整数” 作为假设。】明明白白说【n 不是整数】这当然是否定了反证法的假定。反证法是假定m和n都是整数。

杨先生说【薛文说“既然是独立于其它证明，就不能拿其它证明的证明结果‘作为论据加以利用来推论说在此证明中的反证法的假定没有意义。” 笔者评析：我只是说，我独立地证明了“√2 不是有理数”，我可以将这个结论作为评判教科书证明对错的论据。例如，因为“√2 不是有理数”，即√2 = n/m 中的 m 和 n 不可能 同时为整数，所以，当左边的 m 为整数时，右边的 n 不可能也是整数。既然 n 不是整数，何来因数 2？因此，“右边有偶数个因子 2”这一说法是没有意义的。真不知这句话错在何处？ 】错就错在拿其它证明的证明结果作为论据加以利用来推论说在此独立证明中的反证法的假定没有意义。这当然是不允许的。不能拿“√2 不是有理数”这个结果来反对这个反证法的假定【√2 是有理数】。认为这个假定没有意义。要知道在【√2 是有理数】的这个假定下，m和n都是整数。我们就是要证明反证法的假定有矛盾不成立。但在此独立证明中，不能利用证明的结论来反对在这个反证法的假定下进行推论。

杨先生说【不要混淆“反证法证明√2 不是有理数”与“对具体证明案例的评论”。】这种说法当然是错误的。你的具体评论的根据就是【√2不是有理数】，你用来反对的认为没有意义就是认为反证法的假定【√2是有理数】，这当然是针缝相对的。

奇怪地是杨先生竟然问道【我什么时候说过——基于“√2 不是有理数”这一证明结果，就可以“推论说在此证明（笔者注：应该是指教科书的证明）中的反证法的假定没有意义”呢？根本没有这回事！】要知道你只要承认说【我只是指出，“右边有偶数个因子 2”这一结论没有意义（理由是：n 不是整数， n² 何来因数 2？），并且认为它是错误的。】也就是说你根据【√2不是有理数】认为“右边有偶数个因子 2”这一结论没有意义，【理由是：n 不是整数】。这就说明你己经认为不能用反证法的的假定【√2是有理数】进行推论了，因为在此假定下【m和m都是整数】。这同你承认不承认【什么时候说过】没有关系。既使你没有说过，由于你认为【n 不是整数】，你也是认为不能使用这个反证法的假设进行推论。因为在此假定下【m和m都是整数】。

杨先生说【怎么到了薛问天先生的大脑中，就自动被转化成了“教科书证明中的反证法假定没有意义”呢？】

㸔清楚了吧，既使你没有说过【教科书证明中的反证法假定没有意义】，你也是认为不能使用这个反证法的假设进行推论。因为你认为【n 不是整数】，但在此假定下【m和m都是整数】。

二，关于【换个方式证明】。

要注意，这里的【换个方式证明】並不是杨六省换个方式证明【北京版数学八年级上册关于“√2不是有理数”的证明是错误的】。而是对于“√2不是有理数”这个定理，给出了另一个正确的证明。同一个定理完全可以有多个等价的正确证明。如果对【√2不是有理数】定理给出了换个方式的正确证明，不能据此说原北京版的证明就一定是错误的。事实上正确的证明完全可以换个方式的证明也是正确的。反证法可以发现多个矛盾，用其中任何一个矛盾都能得到正确的证明。

首先要注意，北京版证明是正确的。这里需要说明的是证明中用到的一个整数的性质。即【任何整数m，都可表示为m=(2a)m1，a≥0，而且如果当a是m含因子2的最大个数时，则m1这个整数是不含因子2的。】这个整数性质是大家熟知可以严格证明的所有整数都具有的性质。因而北京版的证明，是在反证法的假定【√2是有理数】下，有m和n都是整数，而且√2=n/m,即2m2=n2。令m=(2a)m1，其中a≥0，是m含的因子2的最大个数。m1是不含因子2的的整数。n=(2b)n1，其中b≥0，是n含的因子2的最大个数。n1是不含因子2的的整数。代入后得2(2a+1)m12=2(2b)n12。等式左端含有奇数个因子2，右端含有偶数个因子2，产生矛盾，于是定理得到正确证明。

在这里需要说明的是杨先生所提供的【换个方式的证明】，並不是他换个方式证明【北京版数学八年级上册关于“√2不是有理数”的证明是错误的】。而是对于“√2不是有理数”这个定理，给出了另一个正确的证明。他在证明中也用到整数的性质，即【即任何整数m，都可表示为m=(2a)m1，a≥0，】只不过没有用到【如果当a是m含的因子2的最大个数时，则m1这个整数是不含因子2的。】他这个整明是正确的，同样用的是反证法，反证法的假定是【√2是有理数】，即【存在有m和n都是整数，使√2=n/m,即2m2=n2成立。】只不过推出的是【n含有无限个因子2】，同n是整数只含有有限个因子2发生矛盾。从而使定理得证。

需要指出的是这个【推出 n 含有无穷多个2因子】有更简单的证明方法。

即当m和n是整数时，2m2=n2，n是2的倍数，即可推出n=2n1，代入后得出(2n1)2=2m2，得2n12=m2，m是2的倍数，即可推出m=2m1。

代入后得出(2m1)2=2n12，得2m12=n1²，n1是2的倍数，即可推出n1=2n₂。......

即n=2n1，n1=2n2，n2=2n3，.....，n有无穷多个因子2。

m=2m1，m1=2m2，m2=2m3，.....，m有无穷多个因子2。这比杨的方法简单得多。

另外杨先生说【对于 2m2 = n2，当 m 为整数时，假设 n 是整数，只能推出 n2含有无穷多个因子 2，而推不出 n2有偶数个因子 2。所以，教科书的证明是错误的。】这显然是错误的，当假设m 和n为整数时，既可推出m和n含有无穷多个因子2，也可推出2m2 含有奇数个因子2，n2含有偶数个因子2。所推出的这些错误产生的矛盾都可使定理得到正确的证明。

综上所述，可得如下严格的数学结论：第一，【北京版的证明】没有错，是正确的。是杨六省先生的质疑犯了错误。第二，【换个方式证明】并不是证明【北京版的证明】有错，而是对定理给出了另一个正确的证明。关键是数学结论，至于那些【不能作为论据】的所谓【疑问】，当然就不值一提了。

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