Zmn-1462 薛问天: 为什么说初中数学教科书的那个证明没有错。评杨六省《1460》

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为什么说初中数学教科书的

那个证明没有错。评杨六省《1460》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

杨六省说【初中数学教科书对“√2 不是有理数”的证明 违反了一条基本逻辑原则 】，是完全错误的。教科书没有错，是他认识上的错误。错在哪里？错在杨六省缺乏对逻辑中的《存在量词》作用的基本认识。

杨六省认为教科书的证明【违反了一条基本逻辑原则——否定种概念不等于否定属概念】。他认为【分数】是属概念，【最筒分数】是种概念。他认为在反证法的证明中，否定的是【√2 是最简分数】，而不是否定【√2 是分数】，【因为否定种概念（最简分数）不等于否定属概念（分数）。】所以他认为教科书的证明是错误的。我们来分析杨六省的认识错在哪里。

他所说的【否定种概念不等于否定属概念】的这条原则是对的没有错，他认为【分数】是属概念，【最筒分数】是种概念。这也没有错，他的错误在于他认为教科书在反证法的证明中，否定的是【√2 是最简分数】，不是否定【√2是分数】，这个认识错了。实际上教科证明中否定的是【√2能表示为最简分数】。也等价于否定了【√2能表示为整数】。

这就要从有理数的严格定义说起。【√2是有理数】的数学定义是【存在着整数p和q，使√2=p/q】即【√2能表示为分数】。它同【√2是分数】不同。要知道这个定义等价于【存在着互质的整数p和q，使√2=p/q】即【√2能表示为最简分数】。

关键是对这里有存在量词的认识。分数和最简分数是属和种的不同概念。最筒分数只是分数的一种，並不是所有的分数都是最筒分数，【p/q是分数】和【p/q是最筒分数】是不完全等价的两个不同命题。因为两个命题中的p，q是相同的，並不是所有的分数都是最筒分数。但是有了存在量词以后，【存在着整数p和q，使√2=p/q】同【存在着互质的整数p和q，使√2=p/q】，却可证明是等价的，因为两个命题中的p，q可以不是相同的，存在即可。因而【√2能表示为分数】同【√2能表示为最简分数】却是等价的两个命题，它们的否定也是等价的命题。否定【√2 能表示为最简分数】，就是对【√2 能表示为分数】的否定。这同【否定种概念不等于否定属概念】的原则毫不相干。

杨六省所说的什么【应用反论题进行推理（反论题不变）与对反论题本身实施推理（反论题会改变）不是一回事——前者是合理的，后者是不合理的。】毫无道理。【应用反论题进行推理】同【对反论题本身实施推理】，当然是一回事。用反证法方法的证明就是在假定反论题成立的条件下，【应用反论题进行推理】即【对反论题本身实施推理】，推出矛盾使定理得证。因而杨六省先生得出的什么论断和原则【对反论题本身不可以实施推理（这里所说的推理： 系指从反论题本身推出某些结论这一做法）。】纯属荒谬绝伦。有了这条原则，反证法就无法实施。

如前所述，这同他说的【张三打过父親】的例子也毫不相干。关键是证明中用的反论题不是【√2 是分数】和【√2 是最简分数】，而是【√2能表示为分数】和与其等价的【√2能表示为最简分数】。

所以说教科书的证明没有错，而是杨六省认识的错误。关于杨先生的这个错误，我们《专栏》己多次指出。但杨先生既反驳不了，没有提出任何反驳意见，但又始终不改，直到现在还一直在坚持他的错误。

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