Zmn-1371 薛问天: 怎么能忘掉过去的讨论。评师教民《1370》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1370》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

怎么能忘掉过去的讨论

评师教民《1370》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

师教民在文中说，在定义中【规定 α≠0 时，无穷小变量α 的自变量及自变量的数值都未写出来，也就是说，不论 α 的自变量用什么字母、自变量的数值是多少，都规定了α≠0，也就是说，不论α 的自变量用不用字母Δx，Δx=0 还是Δx≠0，都必须规定α≠0．薛问天先生在他的文章 Zmn-1269 的开头的第 2 段里选择了字母Δx 为α 的自变量，所以α 写全后就成为α(Δx)．因为不论是Δx=0 还是Δx≠0，都必须规定α≠0，所以必须有 α(Δx)≠0 (Δx≠0)；α(Δx)≠0 (Δx=0) 即α(0)≠0．所以，薛问天先生在他的文章Zmn-1269的开头的第4段里说：【允许α(0)=0】就违背了上述极限理论的中国名著《高等数学》规定 的α≠0 即α(0)≠0．】

非常有趣的是，师先生完全忘记了我们前面的讨论。我们不是在讨论α≠0白纸黑字在字面上的含义，而是在讨论对在高阶无穷小定义中的要求【α≠0】，我们应当如何正确理解？我们早在《1269》就己说过，α≠0可以有两种理解的含义，

〖问题是对定义中的要求【α≠0】如何理解？如果无穷小α及β的自变量是Δx，极限lim(β/α)= 0是Δx→0时的极限。这个【α≠0】的要求是要求:

①对所有的Δx的值都要求有α(Δx)≠0，还是

②只要求对于Δx≠0的值使α(Δx)≠0即可，允许α(0)=0。〗

而且明确表达了我个人的意见。

 〖我认为应是②。理由是，之所以要求α≠0是要求α不在分母中出现，但因Δx→0时β/α的极限，同Δx=0时α及β的函数值无关。因而求当Δx→0时lim(β/α)= 0的极限时，如果α(0)=0，对求此极限毫无影响。所以可以允许α(0)=0。例如求函数y=x^2的导数时，就承认β(Δx)=ΔxΔx是α(Δx)=Δx的高阶无穷小，而对此α就有α(0)=0。〗

如果师先生不同意，完全可以反对，我说的理由是α(0)=0在求当Δx→0时lim(β/α)= 0的极限时，0不会在分母中出现。你能提出什么理由来反对这个论断！

师先生在《1274》中作出反驳，说【定义式 β=o(α)里的α≠0 是死的，是不可改变的．你薛问天先生企图通过给这两条蛇 β，α 添上足(Δx) 并令Δx=0 的方法使【允许α(0)=0】，这就真正违背了上述《高等数学》教材中的定义式 β=o(α)里的α≠0 的规定】。

当然我在随后的《1280》中对此作了批驳。我说〖大家都知道学习数学，必须多动脑子，多思考，最忌讳的就是【死记硬背，不动脑子】的坏习惯。数学上的髙阶无穷小的定义中说要求无穷小α≠0，我们当然要动动脑子，想想，为什么要有这个要求。才能正确理解定义中要求α≠0的真正含义。

师教民说【上述《高等数学》中的定义式 β=o(α)里的α≠0 是死的，是不可改变的．你薛问天先生企图通过给这两条蛇 β，α 添上足(Δx) 并令Δx=0 的方法使【允许α(0)=0】，这就真正违背了上述《高等数学》教材中的定义式 β=o(α)里的α≠0 的规定，】师先生把数学中的定义㸔成是【死的】，说【α≠0 是死的，是不可改变的．】说允许α(0)=0，就【違背了.....α≠0 的规定】，请问师教民先生，你思考过沒有，为什么在定义中要求α≠0?请你明确回答一下究竟是为什么。稍微动动脑筋就知道是因为要求当Δx→0时，β(Δx)/α(Δx)→0。这里α(Δx)要作除数，所以α(Δx)不能等于0。

但是我们知道在极限理论中说得很清楚，当x→x0时求f(x)的极限，同函数f(x)在x0点的值f(x0)是无关的，根本不涉及x=x0时的情况。也就是说当Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0，根本同这个函数在Δx=0时的情况无关。所以说这里要求的α≠0根本同Δx=0无关，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0就完全满足定义中当Δx→0时，β(Δx)/α(Δx)→0，对求极限时除数不为0的要求。也就是说对定义中的α≠0要求的正确理解是，要求的α≠0根本同Δx=0无关，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0就可以了。不能把α≠0错误地理解为，不论是Δx≠0 还是Δx=0，都必须有 α(Δx)≠0。要注意这是对定义中α≠0的正确的理解问题，而不是什么师先生所说的【改变】。要说改变，只能说是对错误理解的改变。

另外师先生说什么【你薛问天先生企图通过给这两条蛇 β，α 添 上足(Δx) 并令Δx=0 的方法使【允许α(0)=0】，这些话都是相当错误的。α和β都是无穷小，无穷小就是以0为极限的函数，写出α和β的函数式α(Δx)和β(Δx)，非常正常，怎么能说是什么【画蛇添足】呢？α和β都是Δx的函数。α和β是无穷小是说当Δx→0时α(Δx)→0和β(Δx)→0。极限未涉及α和β在Δx=0时的函数值。但並未要求不允许Δx=0，也就是说允许Δx=0时有定义的α和β仍然可以是极限为0的无穷小。当然允许Δx=0。师先生你根据什么说不允许Δx=0。

所以说，师先生的这些对数学定义理解的评论完全说明了，这是典型的【死记硬背，不动脑子】的坏习惯。要多想些为什么，才能去《正确理解有关高阶无穷小的数学定义》、〗

师先生在《1284》中作了莫棱两可的回复。他承认了【该定义的过程中有极限式为 lim β/α．因为α 在分母上，所以 α≠0．】但他对极限未涉及α和β在Δx=0时的函数值这点未作任何评论。

我在文后作了跟帖评论，原文如下：〖转薛问天先生的评语。

说来说去怎么还没有改掉不懂脑子的坏习惯。既然你想通了定义中要求α≠0，是由于当Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0，要求除数不等于0。就应再想一想，在极限理论中说得很清楚，当x→x0时求f(x)的极限，同函数f(x)在x0点的值f(x0)是无关的，根本不涉及x=x0时的情况。也就是说当Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0，根本同这个函数在Δx=0时的情况无关。所以说这里要求的α≠0根本同Δx=0无关，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0就完全满足定义中当Δx→0时，β(Δx)/α(Δx)→0，对求极限时除数不为0的要求。也就是说对定义中的α≠0要求的正确理解是，要求的α≠0根本同Δx=0无关，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0就可以了。不能把α≠0错误地理解为，不论是Δx≠0 还是Δx=0，都必须有 α(Δx)≠0。〗

我想我己经说得相当清楚了。大家看图片。

1，《Zmn-1284》师先生原文。

2，薛问天先生的文后评语原文。

Zmn-1284 师教民 : 单个讨论薛问天先生的Zmn系列文章中的问题(3)—评薛问天先生的文章1280

2025-4-4 08:55

这些文字，可以说完全回答了师先生的所有质疑。

另外，师先生还说【薛问天先生在他的文章 Zmn-1269 的开头的第 6 段里举例说：【α(Δx)=Δx】．又因为我 们在前边已经证明了α(Δx)≠0，所以Δx=α(Δx)≠0，即 Δx≠0．因为 Δx≠0 的同时就否定了 Δx=0，所以事实上 Δx=0 就因为被否定而不存在，】又说，【极限理论的同济名著在规定 α≠0 时，也就同时否定了α=0．薛问天先生把α 写成 α(Δx) 后也就否定了α(Δx)=0．所以，薛问天先生认为在Δx=0 时α(Δx)=0 即 α(0)=0 也就错误了． 】

这都是对α≠0这个要求的正确理解有关。如果你认为α≠0的要求是【当Δx≠0时α(Δx)≠0】，那么它否定的就是【当Δx≠0时α(Δx)=0】，不是否定了在Δx=0 时α(Δx)=0 即 α(0)=0。同时在举例α(Δx)=Δx时，同样满足在自变量Δx≠0时，函数α(Δx)=Δx≠0。在Δx=0 时α(Δx)=Δx=0 即 α(0)=0 ，一点错误都没有。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】