Zmn-1342 薛问天: 剩下的不是区间，是区间套的共同点，评黄汝广《1341》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对黄汝广先生的《Zmn-1341》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

剩下的不是区间，是区间套的

共同点，评黄汝广《1341》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，黄先生说【我什么时候说所剩余的部分必须是区间了】，当然是由你的论述中得出的结论。你仔细看看你的推论，你说的就是可数个区间。你说的是【则所剩部分的编号分别为0，1，2……，因此，所得的剩余部分是可数的。】也就是说，你说的那些剩余部分，就是这些你在挖的过程中对其编号为0，1，2，......的这可数个部分。再看看你是对什么进行的编号。你所编号的全是区间，开始你把挖掉第一个有理数后所剩的两个区间称为编号为0和1，然后挖掉第二个有理数。这个有理数所在的已编号的部分必定⼜被分为两部分，使其中之⼀保持被分前的编号，⽽另外⼀部分编号为2；接下来挖去编号为3的有理数，前⾯已编号的部分必定有⼀个⼜被分为两部分，使其中之⼀保持被分前的编号，所以说你说的这些剩余部分，即编了号的部分全是区间。你认为在全部无理数挖完后，这些编号所编的区间还存在，有可数无穷多个，这当然是错误的。

黄先生的错在哪里，错在他认为他在挖有理数的过程中所编号的那些区间最后还存在，所以形成了剩下可数无穷个部分。实际上由于有理数的稠密性。在顺序按有理数的编号挖掉全部有理数时，这些编号的区间在不断地分成两部分，逐渐变小，最后趋于0，这些编号的区间一个都没有了，所以剩下的部分並不是在这里並不存在的可数无穷个区间。

我己说清楚了剩下的部分不是区间，而是以挖掉的有理数为端点形成的区间套的区间共同点。即有理数的有空分割。仔细分析，黄先生所编号的区间实际上是在不断变小形成区间套，但只是所能形成的区间套的一部分。并不是所有的区间套都能用编号的区间来形成。更何况编号的区间有的也可能形成的是准区间套，没有共同点，对应的是无空分割，这里并不包含任何无理数。我们可以类似地用对角线法来直接证明，或用康托定理所证明的无理数有不可数无穷多个来证明，用有理数作端点形成的区间套有不可数无穷多个。这同黄先生编号的区间不断形成的区间套(或准区间套)有可数无穷多个并无任何矛盾。

黄先生说【薛先生文中的证明还是有用的，因为他恰恰自己证明了剩余的可数部分的每一部分只能是单点无理数，因而无理数是可数的！】看来没有正确理解我的观点，用有理数作端点形成的区间套有不可数无穷多个。怎么能得出【因而无理数是可数的】的结论。

2，我们当然可以用类似对角线法来直接证明，用有理数作端点形成的区间套有不可数无穷多个。而不去用康托定理所证明的无理数有不可数无穷多个来证明这个内容。但你绝对不能乱说【所谓的康托尔定理根本不成立，因而其推论无理数不可数同样不成立，】康托尔定理是业界公认的正确定理，不能说什么【狗屁康托尔定理】这样的脏话。你没看懂证明可以提出你的问题，由我们大家来回答你。

用有理数作端点形成的区间套有不可数无穷多个，的直接证明可以简述如下。用K表示集合{0，1，...，9}

用(0，1)中有理数作端点构成的区间可以由大到小这样来分层，第一层选9个有理数把(0，1)分成10个区间，分别用K中数编出第一层编号。第二层再在每个第一层编过号的区间中各找9个点，将其各自分成10个区间，分别编出其第2层的编号。这样余此类推，编出可数无穷层。这样分层以后，显然所含有的每个区间套(包括准区间套)S都可以由各层的编号构成的无穷序列S1，S2，......来表示。这个无穷序列的S1是套中第一个区间的第一层编号，S2是套中第2个区间的第二层编号，......一般地，Sn是套中第n个区间的第n层编号。对所有的n，Sn∈K，n∈N，余此类推。

有了这样的分层后，就可证明用有理数作端点形成的区间套(包括准区间套)有不可数无穷多个。用反证法，假定可数，则所有的区间套(包括准区间套)作为行，每个区间套的各层编号序列的层编号作为各行的列，可构成行和列数都是可数无穷的无穷矩阵。用对角线方法可以发现有一区间套的表示不在阵列之中，同反证法假定发生矛盾。命题得证。

这就证明了用有理数作端点形成的区间套(包括准区间套)有不可数无穷多个。再加上我们知道准区间套两个对应一个有理数，个数对应于有理数的个数，是可数无穷。所以就证明了用有理数作端点形成的区间套(不包括准区间套)也有不可数无穷多个。

3，黄先生说【薛先生说无理数比有理数远多的多，那么这只能意味着有理数的空里存在不止一个无理数，也即戴德金分割实际上不是唯一的，存在有多个无理数对应一个戴德金分割的情况！】说明黄先生对实数，无理数和有理数的分割尚未完全认识清楚。

要知道实数，无理数和有理数的分割数都是一样多的，都有不可数无穷多个。但实数R的分割全是【无空分割】沒有【有空分割】。R的基数同R的分割的基数都是不可数无穷多。有理数Q的基数同它的【无空分割】的基数，都是可数无穷。但有理数Q的【有空分割】和无理数I的基数一样，都是不可数无穷多。所以不存在黄先生所说的【戴德金分割实际上不是唯一的，存在有多个无理数对应一个戴德金分割的情况！】这里最重要的就是，Q是可数的，但Q的有空分割却是不可数的，我估计黄先生对此缺乏认识。另外，无理数I的基数同它的【无空分割】的基数，都是不可数无穷。但I的【有空分割】和有理数I的基数一样，都是可数无穷多.

• Zmn-1341 黄汝广 : 答薛问天Zmn-1337

• 2025-10-22 11:01

• Zmn-1337 薛问天: 错误在于对实数和有理数的稠密性缺乏认识，二评黄汝广《1333》

• 2025-10-18 17:24

• Zmn-1333 ⻩汝⼴ : 悖论与反证法的隐性假设及因果分析的必要性

• 2025-10-8 13:54

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】