我所期待的灰数概念，必须能够随着认识的深化，能够不断减少其灰色性。当灰色性完全消失后，必须变成数学中常见的形式，如常数、时变数、模糊集合、随机变量等。也就是说，它必须能够用于处理绝大多数被研究对象的信号或者现象，而且描述方式必须与数学理论相容。灰数虽然不适合用区间数来定义，却可以把相关区间看成它的定义域。只要在该定义域（即灰域或灰空间）上增加一个适当的数学结构，就能够使它在样本容量增大的过程中，使认识不断深化，并且不断趋近于数学中常见的数、量形式。我所定义的这种灰结构由三部分组成：作为灰数取值范围的“灰空间”，其上的“相容度结构”，以及“可能度结构”。这样定义的灰数，可以取值为数字、矢量、张量、函数、随机变量等。保留原来“灰数”名称，确实含有对原始命名者尊重的意思；也是因为这两种灰数定义的内涵相似，都反映了认识不充分所产生的不确定性。“灰空间”是在一定灰样本上，对灰数定义域的估计。相容度是当带有灰色性的隶属度，也就是在该灰样本上对它的估计值。“相容度模型”则是在该灰样本上获得的一种灰模糊划分，也就是带有灰色性的模糊信符集合。“可能度模型”则是在该灰模糊信符集上对其概率分布的估计，当然也带有一定灰色性。带有“灰色性”，就是表示该对象仍然处在被认识过程之中；也就是所采集的样本容量，尚不足以满足白化条件。由灰空间、相容度结构、可能度结构所组成的三元组，称为该灰数的“灰结构”。“灰结构”是一种数学结构，依据它可以生成该灰数的相容度模型、可能度模型以及白化判据等。随着样本容量的逐渐增加，当满足白化判据时，即表示该灰数已经达到了其白化值。其白化值可能是常数、时变数，也可能是模糊集合或者随机变量等。其白化值最终是那种形式，则取决于该灰数所描述被研究对象的内部作用机制。灰数白化为常数的条件，就是其可能度模型的白化值是单点分布，并且在其相容度模型的白化值中对应划分子集上的隶属度为1、其余子集上的隶属度为0。而灰数白化为时变数的条件，则是其灰空间白化为一个时变函数空间，其余结果均与白化为常数时的结果相同。灰数白化后，其相容度模型就成为一个模糊集合（或称模糊信符集）。而其可能度模型若存在白化值，就成为一个概率分布（概率密度函数），灰数则白化为随机变量。不难看出：其白化结果，可能是常规的信宿模型，也可能是模糊信宿模型等；不再赘述。灰数的白化值，就是按照白化判据而达到的最终目标值；把它看成白化过程的极限值，也无可厚非。 但灰数的白化值的内涵、获得方法，均不同于数学中所定义的“极限”。为了避免概念混淆，我最终选择了“白化值”，而不用“白化极限”！在这种回忆录文章中，不适合重述专著中那些复杂的数学表达形式。虽然那样写出的文章，可能更清楚地表达我的原意，但那样写出的文章就不再像一篇科研回忆录了。

 我所定义的“灰系统”，也是带有灰色性的系统。不过它并不是被研究对象的功能模型，而是按照“灰结构”的形式，在确定灰数样本上所建立的认识过程功能模型。“灰系统”的最终形式是由被研究对象决定的，在白化后才可能认出其‘庐山真面目’。“灰结构”是一个可辨识的认识过程构架，是根据认识过程的特点而建立的数学结构。它所采用的形式，以适应于绝大多数被研究对象的机制为目标。在一定灰样本上可以实现其“灰模型”，“灰系统”的白化程度可以定量描述；其白化结果应该是传统数学模型或其组合。灰系统只是被研究对象认识过程模型的中间状态，它带有一定的认识不确定性（即灰色性）。“灰模型”并不是一种普适表示，但其白化值可以成为信宿模型等。现代控制理论中系统辨识，主要用于为自适应控制、最优控制等系统，可以不断提供有效的系统模型，以便及时修改其控制指令，使之达到最接近理想值的控制状态。它的辨识模型可以是线性化方程，但必须具有计算快速性。其辨识模型一般采用差分方程，用来表达输入与输出之间的关系。灰系统的模型也可采用与系统辨识模型相同的形式；但这种形式并不是真正的系统数学模型，因而称之为“灰系统”的“灰表示”。使用“灰表示”的目的，只是为了利用系统辨识方法。首先在其输入与输出的多个采样集合上，获得该系统的多个参数向量（或矩阵），组成参数灰样本。然后在“灰结构”框架下，构成该参数的“灰空间”、相容度模型及可能度模型。据此可确定该“灰系统”的线性、非线性、定常或者时变性等类型。当其可能度模型是单点分布时，则其灰参数向量（或矩阵）空间中只有一个子划分，即只有一种灰参数向量；它所构成的“灰模型”就是线性的。当其可能度模型近似为单点分布、其它参数向量的可能度都很小时，表示其灰模型的参数向量存在一个主要值，而其它值出现的可能性很小；则为弱非线性。这类“灰系统”只有一个主要平衡点，该参数向量主要值所构成的“灰模型”，可看成系统模型在该平衡点邻域中的线性化近似。除此之外，其参数向量也可能是时变的、多值的或者随机变化的。知道了灰数所描述被研究对象的作用机制，即线性、非线性、随机变化等，该对象的数学模型结构类型也就确定了；从而可以有效降低实现其数学模型的难度。