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量子英雄传-36-弦论的9维空间从何而来? 精选

已有 4203 次阅读 2021-11-14 20:24 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦

弦论的9维空间从何而来?

 

36拉马努金求和自然数

     维数保证光子零质量

 

有人认为,弦论最邪乎的一点就是多维空间。我们的空间明明是3维的,干嘛要多此一举,加上这么多的额外维度?然后,又不知如何来说明这些看不见摸不着的维度,便“编出”一套什么“紧致化”、卷曲化之类的说辞,来解释它们。


上面的说法当然是外行人加于弦论学家的,这是因为外行人不了解弦论发展过程中的许多细节的缘故,所以,现在我们就来介绍一下弦论额外维度的来龙去脉。


1. 弦论的时间空间

 

如果不算时间,最早的玻色弦论的空间是25维、超弦论是9维,M理论是10维。这些数字其实是有来由的。为何刚好选中了25910这几个数值呢?那是因为,只有当空间是这些维数时,我们才能得到自洽的理论,否则便会出现一些奇怪的“反常”结果。诸如概率大于1、负概率、光子质量不为零等等。

 

一个物理理论,决定了空间的维度数目!这的确是前所未有的。弦论之前的理论物理,无论是经典、量子、或相对论,对空间的维度都没有任何限制。这些理论固然也是毫无疑问地默认“三维空间”,但就理论本身而言,搬到多少维的空间中也是照样成立的。

 

说奇怪也不奇怪,基础物理学的目的是为了解释世界,回答一个又一个的“为什么”。这种解释是一层一层逐步展开的:经典物理解释的是人人都可见的宏观现象;量子物理解释一般人不了解,但实验室能观测到的微观世界;狭义相对论解释高速运动;广义相对论则解释大尺度的宇观世界。

 

到了弦论这一层次,除了统一引力和量子的目的之外,物理学家们也希望理论能解释一些更为基本的事实。例如:质量的来源,电荷的来源等等。其中也包括“时间是什么?空间是什么?”这些古老的疑问,以及“空间为什么是三维的?时间为什么是一维的?”,这种前辈物理学家们可能想都没想过的问题。

 

2. 限制维度以使光子质量为零

 

根据弦论模型,弦的不同振动产生不同的粒子。例如:以A方式振动产生夸克,以B方式振动产生中微子……等等。弦的振动产生了现有理论中的“基本粒子”,基本粒子又构成了世界万物。





36-1:弦不同振动构成万物

 

特别要指出的是,弦论认为:引力子由闭弦的运动产生,光子则由开弦的振动产生。这两种粒子的静止质量都为零,而弦论中空间的维度数目,便与光子静止质量为零这一点有关。

 

光子的静止质量,即最小质量,由光子可能有的振动模式决定:

 

光子静止质量 = 光子弦基态能 + 光子弦振动能。

 

36-2:谐振子的基态能和振动能

 

基态能是最低的能量态,是一种“量子涨落”,与“振动能”不是一码事。

 

36-2给出的是谐振子的基态能和振动能示意图。如果从经典物理的观点,基态能量应该为0Ec = 0,见图36-2a。然而,弦的运动符合量子规律,遵循不确定性原理,每个基态的能量都不可能为0,对所有可能的振动模式求和后便是基于“量子涨落”的基态能,见图36-2bEq = S(hw/2)。而振动能表征的是某种激发态(En = hwn),如图36-2c

 

36-3D维空间中光子弦的振动

 

现在我们考虑对应于光子的开弦的能量。与图36-2所示谐振子情况类似,只是光子是D维空间的一条开弦,它的振动情况显示在图36-3a中。

 

首先考虑最早的玻色弦论。图36-3a中,假设在D维空间中的光子的传播方向如红色箭头所示。因为光子的振动是横波,所以在传播方向没有振动。因此,可能的振动发生在除了传播方向之外的其它(D-1)维空间中。对每一维空间,振动可以取无穷多种(1+2+3+……)模式,如图36-3b所示。总的可能的模式数目:

 

M = (D-1)x(1+2+3+) = (D-1) x S自然数

 

总模式数决定了光子基态的能量,再加上激发态的振动能(根据弦论的光子模型,这个数值是2)。因此,光子最小质量:

 

m0 = (D-1) x S自然数 + 2

 

这里导致了一个奇怪的问题:为了使得光子最小质量m0 =0,可能的模式数目M要等于-2!这看起来是不可能的,因为S自然数是所有的自然数之和,应该是个无穷大的数值。

 

因此,我们这儿插一段数学:研究一下S = 1+2+3+…,所有自然数之和。

 

其实,我们在中学时就知道了,这个级数不收敛,趋于无穷,有啥可研究的呢?不过,对这个问题,数学家们也绞尽了脑汁,而我们呢,只需要理解一下结果就好了,何乐而不为呢?先讲一个故事。

 

3. 拉马努金的故事

 

拉马努金(Ramanujan1887-1920)是印度数学家。听听数学家们对他的评价:出身普通,自学成才,未经训练,知识不多,依赖直觉,成果空前。

 

拉马努金只迷恋数学,在其他科目的考试中经常不及格。也没有正规的数学老师直到被著名英国数学家戈弗雷·哈代(Godfrey Hardy18771947)发掘。用哈代的话来说,拉马努金“对现代欧洲数学家的成果完全无知”、“就是个接受了一半教育的印度人。”

 

1913年的拉马努金,穷困潦倒疾病缠身,却作了很多数学研究。他致信剑桥大学的哈代,提及了一大堆他所发现的数学公式。哈代带着困惑检验了这个印度小职员的研究成果,发现了好几个令他吃惊的玩意儿。他安排发出了一封到剑桥大学的邀请函,于是,拉马努金离开妻子到剑桥待了近6年。之后因病返回印度后不久便去世了,只活了32岁。拉马努金惯以直觉导出公式,不爱作证明。据说他短短的生命中给出了3000多个公式,平均每年100个!他的理论往往被证明是对的。所猜测的公式还启发了几位菲尔兹奖获得者的工作。

 

在拉马努金致哈代的信中,就包括了自然数求和的问题。看看他的惊人答案,拉马努金得出结论:从1到无穷大的自然数之和,等于(-1/12)!

 

下面是拉马努金有关这个级数的笔记:

 

拉马努金对自然数无穷级数的求和给出了两种方法,一种极为不严格,一种极为严格。上面笔记中草草写下了不严格的理解方式。

 

哈代读信后的反应是“此人不是疯子便是天才!”。但哈代对这个自然数求和的结论并不感觉惊讶和奇怪,因为早在18世纪的瑞士数学家欧拉对此种发散级数就有所研究,后来的黎曼又已经用他的ζ函数,对这个自然数求和得到了同样的、更为严格的结果。

 

4. 计算自然数之和

 

拉马努金对(- 1/12),有一个不严谨不靠谱的“证明”方法,则是他写到上面笔记中的方法。如今网上流传的与其大同小异。

 

·最简单的“理解”方法

 

将所有自然数之和记作S 

 

     S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ……

-4 S =     - 4        - 8        - 12     - 16     - 20    - 24 ……

 

上面两个等式相加:

3 S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ……

 

然后,拉马努金利用函数1/(1+x)2的泰勒级数展开来计算上面的级数,

1/(1+x)2 = 1 – 2x + 3x2 – 4x3 + 5x4 – 6x5 + ……

 

最后,设定= 1,便得到:-3 S = 1/(1+1)2 = 1/4

 

由此得到S = -1/12

 

拉马努金上面的“证明”是不可取的,因为那种“错位加减”不能用于发散级数,不同的错位加减,会导致不同的结果。但拉马努金很聪明,给出简单理解的同时也给出了严格的证明,那是与不同的求和定义有关。

 

·“和”的不同定义

 

什么意思呢?求和不就是相加吗?

 

是的。但我们通常理解为正确的传统求和定义,被称为是柯西(Cauchy)的“求和”。这个定义符合常理只是不能处理发散的无穷级数。数学家们就想:是否可以靠改变求和的定义来给无穷级数一个有意义的数值?为此数学家们定义了Cesaro求和、Abel求和、拉马努金求和等。其中最简单的Cesaro求和,是用取“和的平均值”的方法。例如下面级数:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 + ……

 

是不收敛的,因为结果不趋于一个固定数,而是以相等的概率于01两个数之间摇摆。根据Cesaro求和,可以把结果定义为1/2,尽管不是通常意义下的(Cauchy和),但却也容易直观理解,因为1/210的平均值。

 

如果和的平均值也仍然不收敛的话,有些人就用“和的平均值”的平均值来定义,还可以进一步以此类推下去……;或者用别的方法来定义“和”。据说拉马努金就提出了一个求和方法,非常地复杂难懂!

 

·解析延拓方法

 

还有另外一种方法处理发散的无穷级数:解析延拓。意思就是说将函数的定义域“解析”(严格)地扩大到原来不能应用的数域。

 

如何用解析延拓来解决自然数求和问题?还得从欧拉的研究说起。

 

远在拉马努金写信给哈代的一百多年之前,欧拉就研究了自然数求和的问题,并且也用“错位加减”的不怎么靠谱方法,得出了(-1/12)的结论。他在证明过程中,用了一个级数展开式:



 

欧拉给出的这个ζ函数只定义在当s为正实数的情况。到黎曼研究该级数时,他首先把定义域扩展到了实部大于1的复数。然后黎曼证明了一个函数方程:


 

其中的Γ( n)是Γ函数:Γ( n) = (n-1)!

 

用这个方程,黎曼将其ζ函数解析延拓到实部小于1的情况。例如,如果将s = -1代入上面的方程:

 

Γ( 1-s) = Γ( 2) = 1

ζ ( 1-s) = ζ (2) = p2/6

 

便能得到:ζ ( -1)  = -1/12

 

·洛朗级数展开

 

对自然数求和问题,我比较愿意接受的是用洛朗级数展开的方法。

 

泰勒展开将函数展开为幂级数(幂次包含0和正整数)。有时无法把函数表示为泰勒级数时,也许可以展开成洛朗级数(Laurent series)。洛朗级数是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的正项,也包含了负数次数的项,如下所示:

例如,对自然数求和公式:

我们考虑复变函数:

e 的零点附近的洛朗展开:

 

所以,- 1/12 的结果不是莫名其妙来的,是e 的零点附近的洛朗展开中的零阶项。可以如此理解:所有自然数的和是无穷大,但趋向这个无穷大时有其渐进性质(1/e2),除掉e趋于零时也趋于零的高阶项,只留下与无关的(- 1/12),这个结果也符合重整化的思想。

 

5. 回到维度计算

 

回到利用光子最小质量为0来计算维度的问题。

 

玻色弦论中,光子最小质量m0 = (D-1) x S自然数 + 2,将S自然数 = -1/12代入,并令m0 = 0,可以解出D = 25。因此,玻色弦论需要25维的空间才能自洽。

 

如果是超弦论,除了正常的普通空间之外,还有超空间以及其上的格拉斯曼数空间(对此不作更多解释,因为已经大大超出了科普的范围)。

 

因为三类空间的存在,光子对应的超弦的振动基态能量,变成原来的三倍,从光子最小质量m0 = 3 x (D-1) x S自然数 + 2 = - 3 x (D-1)/12 + 2 = 0,得到D=9


后来的m理论,又因为统一5个超弦理论及超引力理论的原因而将空间维数增加到了10维。

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本人的科普视频:YouTube:

天文航天:“談天說地”  https://www.youtube.com/playlist?list=PL6YHSDB0mjBLmFkh2_9b9fAlN7C4618gK

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