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Maple计算物理函数包介绍

已有 11710 次阅读 2012-8-7 12:50 |个人分类:Maple基础学习|系统分类:科研笔记| 量子力学, 力学, 电动力学, maple, 计算物理

概述

Maple 11 引入了 Physics 函数包，经过多年的持续开发，Maple的计算物理功能已经非常强大。Maple 允许你研究和处理计算物理领域中的广泛问题，包括经典力学、量子力学、相对论理论。同时它也提供研究生水平的场论使用资源。

• Physics package提供计算物理中计算对象的表示和相关的操作，包括时空矩阵，Kronecker 和 Levi-Civita 对称和反对称符号，Pauli 和 Dirac 矩阵，微分算子，以及d'Alembertian时空坐标上的微分算子 ☐，n 维 Dirac 函数，量子算子，交换子和交换子代数，等等...

• Physics package扩展了标准的计算领域，提供了关于反交换和交换变量和函数的操作，以及相关的乘积和幂次操作；时空的张量指数， spinor和/或gauge类型，泛函微分，关于反交换变量的微分，张量表达式的微分和简化使用爱因斯坦求和约定。通过这种方式，用户可以利用Maple强大的计算引擎，相比传统使用纸笔计算的方式，更直观和方便。

• 作为计算领域的延伸，该函数包包含了一个Vectors子函数包，用于实现抽象向量微积分。该函数包提供非投影三维向量的表示，非投影倒三角微分算子、梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子的惰性和活动表示对象，以及笛卡尔、柱面、球面向量基下的投影三维向量的代数表示（非矩阵）。然后可以使用无坐标向量公式完成计算任务，探索其中向量和向量操作的无坐标属性，使用与教科书中相同的符号输入和操作向量表达式。

• 计算中的所有约定可以通过一个简单灵活的交互式助手设置。为了完成该计算领域，需要建立约定区别交换、反交换和非换变量、三维向量、张量等不同的对象。当用户在Maple工作表中加载Physics函数包时，会调入默认的约定设置，用户也可以使用设置助手修改这些约定。

• 教科书式的数学符号：反交换和非交换变量显示为不同的颜色，非投影向量和单位向量分别显示为箭头和在顶部显示符号、向量微分算子（倒三角算子）和拉普拉斯算子分别显示为 ∇ 和 ∆、Bras〈ψ⎢和 Kets⎢ψ〉等显示为与教科书相同的格式。

• 为每一个 Physics 命令提供大量的示例和说明， 提供示例说明如何使用函数包中的命令解决解析几何、力学、电动力学、量子力学中的问题。

• 微分几何函数包提供了完整的计算工具处理高级广义相对论。Maple 15新增加了十七个新的命令。

• Maple 在求常微分方程和偏微分方程符号解领域处于世界领先地位，包括物理中的许多领域。Maple 15提供了新的算法进一步增强领先地位。

• 特殊函数，用于表示计算物理的解，也是 Maple 的一个强项，同样在 Maple 15中得到增强。一组新的特殊函数，Bell 多项式，已经被加入到Maple 15中。

物理计算示例

力学：拉格朗日单摆

问题

求平面单摆的拉格朗日方程，端点处的质量为 m，假设条件为：

a) 以恒定频率沿圆周均匀移动移动。

b) 单摆相对于在平面上水面振荡。

解

a) 问题的原理图如下：

拉格朗日方程定义为：

(2.1.1)

(2.1.2)

其中 T 和 U 分别是系统的动能和势能，这里主要由质量点 m 产生。势能 U 是重力势能。

(2.1.3)

其中 g 是重力常数，我们选择沿着 y 轴方向，因此重力为。动能为：

(2.1.4)

为了计算速度，单摆质量点的位置向量为：

(2.1.5)

选择水平 x 轴和参考坐标系的原点（圆圈的中心位置），得到 x 和 y 的坐标：

(2.1.6)

(2.1.7)

(2.1.8)

(2.1.9)

该表达式含有三角函数的乘积，所以可以使用Maple中的三角简化技术简化方程：

(2.1.10)

对于重力势能，表示为质量点 m 的参数方程的形式。得到：

(2.1.11)

从而得到期望的拉格朗日方程：

(2.1.12)

考虑到拉格朗日系统的定义在建立关于时间 t 的微分之上，因此我们可以消除其中的两项和，从而得到：

(2.1.13)

(2.1.14)

__________________________________________________________

b) 步骤与 a 部分相同：

(2.1.15)

(2.1.16)

(2.1.17)

(2.1.18)

现在，相对于 a 部分，唯一的不同是表达式使用 y 坐标，得到：

(2.1.19)

这种情况下的参数化方程是：

(2.1.20)

(2.1.21)

(2.1.22)

对于重力势能，表示为质量点 m 的参数化方程形式，得到：

(2.1.23)

从而得到拉格朗日方程：

(2.1.24)

(2.1.25)

获取 L 中的不可微分项：

(2.1.26)

从而得到拉格朗日方程：

(2.1.27)

电动力学：旋转带电圆盘的磁场

问题

圆盘的半径为 a，均匀带电电荷的表面密度是以恒定角速度围绕轴线旋转，其中是圆柱坐标（极角）。计算圆盘轴上的磁场。

解

磁场的表达式，依赖于电荷的电流：

这里是空间中任一点的位置向量，是存在电流的任一点的位置向量，在这种情况下圆盘直径是 a, 是面积单元。表示积分域，上面的表达式是一个曲面积分。

(2.2.1)

的表达式可以输入为圆柱坐标系下的二重积分 (); 该坐标系下圆盘的面积表示为 , 其中变换范围是 0 到 a，的范围是 0 到。

(2.2.2)

我们选择与前一个问题相同的参考系统，原点在圆盘的中心，z 轴的方向垂直于圆盘。z 轴上一点的位置向量是：

(2.2.3)

圆盘上一点的位置向量是：

(2.2.4)

根据定义，一点上的电流等于电荷密度乘以电荷速度，也就是：

(2.2.5)

最后，圆盘上一点上的速度可以通过计算相对于时间 t 的导数得到，同时我们需要考虑单位向量随时间的变化因素，这是因为它依赖于角度，圆盘是旋转的。

对的导数计算有两种不同的方法。一种方法是改变从圆柱坐标系到笛卡尔坐标系的投影转换，明确对的依赖关系。

(2.2.6)

现在让依赖于时间 t，然后求微分。

(2.2.7)

(2.2.8)

让 , 然后移除对 t 的显式依赖关系，得到的表达式。

(2.2.9)

或者使用更简单的方法，知道因此通过依赖于时间，用户可以计算 = 。为此目的，使用 VectorDiff 命令，自动考虑依赖于。

(2.2.10)

此时，我们已经定义在选定坐标系上的所有量，表示为恒定角速度，圆盘半径为 a。磁场的表达式如下：

(2.2.11)

但是为了完成积分，我们仍需要将表示为积分变量的函数。出于该目的，需要将和改变为笛卡尔基下的形式。

(2.2.12)

(2.2.13)

改变后的如下：

(2.2.14)

现在可以完成积分计算，得到磁场的值。

>	<img border="0" alt="H_ := `assuming`([value(H_)], [`<`(0, a), `

(2.2.15)

量子力学：角动量： 和

1.考虑量子动力学中的角动量算子 , , , 和。我们需要验证的对易(Commutator) , 使得中的任意 components 为 0 (例如见 Chapter VI of Cohen-Tannoudji)。出于此目的，的三维向量量子算子可通过 Vectors 函数包构建 ( vectorpostfix identifier 是 '_'), 以及 , 以及和和它们的元素可以设置为量子算子。

想要设置和为量子算子，只需要设置和。

>	$Setup(quantumoperators = {L, L_, p, p_, r_, x, y, z})$

$[quantumoperators = {L, L_, p, p_, r_, x, y, z}]$

(2.3.1)

因此对于以及自身表示为向量算子和的形式。

(2.3.2)

(2.3.3)

其中，

(2.3.4)

(2.3.5)

的对易规则是关于和元素对易规则的子序列。这些规则可以通过使用 Setup 命令设置。这里需要输入许多交换子，一个方便的替代方法是使用索引（张量）符号（见下面的问题2）或者创建一个 Matrix 的索引过程。例如：

(2.3.6)

现在可以使用 Matrix 构造器生成交换子，整个矩阵可以传递给 Setup 。

(2.3.7)

(2.3.8)

中的元素是：

(2.3.9)

(2.3.10)

(2.3.11)

使用 expansion 展开交换子：

(2.3.12)

(2.3.13)

(2.3.14)

为了验证上面的表达式确实等于0，需要考虑下面的交换子规则：



	(2.3.15)

使用 Simplify ：

(2.3.16)

(2.3.17)

(2.3.18)

(2.3.19)

______________________________________________________________

2. 使用张量符号表示量子算子元件 , 显示为 (请参考Chap VI in Cohen-Tannoudji练习部分)。

设置时空张量为 3、欧几里德三维空间，因此“时空”张量实际上是三维空间张量。为了使用教科书式的符号，使用 lowercaselatin 张量索引（见帮助 Setup ）。

(2.3.20)

使用张量符号设置r和p的 Commutator 规则，使用 Simplify 命令应用爱因斯坦求和约定求积， Define r 和 p 为三维欧几里德空间的张量。



${p, r, Physics:-D_[mu], Physics:-Dgamma[mu], Physics:-Psigma[mu], Physics:-Ricci[mu, nu], Physics:-Riemann[mu, nu, alpha, beta], Physics:-Weyl[mu, nu, alpha, beta], Physics:-d_[mu], Physics:-g_[mu, nu...$	(2.3.21)

现在可以使用张量符号设置相关的交换子规则；消除前面关于量子算子的设置和代数规则（通过使用 Setup 中的 redo 参数项消除前面的定义，这里的例子不是必须的，但某些情况下需要）。

$Setup(redo, quantumoperators = '{L, L_, p, r}', algebrarules = {%Commutator(p[i], p[j]) = 0, %Commutator(r[i], p[j]) = `*`(I, `*`(kd_[i, j])), %Commutator(r[i], r[j]) = 0})$
$Setup(redo, quantumoperators = '{L, L_, p, r}', algebrarules = {%Commutator(p[i], p[j]) = 0, %Commutator(r[i], p[j]) = `*`(I, `*`(kd_[i, j])), %Commutator(r[i], r[j]) = 0})$