摩尔定律揭秘

---黑客管理学新进展

杨义先

北京邮电大学信息安全中心主任

公共大数据国家重点实验室主任

   摘要：本文意外地发现：著名的摩尔定律，其实就是200多年前的马尔萨斯定律，而且，类似的规律在现实社会中几乎随处可见。如今大数据时代的任何人，哪怕只有初中数学水平，他都可借助仅仅三个采样值，就能发现某种类似的定律。而且，这种思路普及后，对互联网世界的管理和预测，将发挥重要作用。本文其实是作者的专著《黑客管理学》的第4章。 

（一）摩尔定律的实质

从本书（即《黑客管理学》）第2章已经知道，人造系统的运行规律，均可由维纳定律描述；即，由各种“反馈、微调、迭代”的赛博链组成。而所有这些人造赛博链中，整体上“反馈最及时、微调最精准、迭代最迅速”的系统，可能要算互联网了。因此，依直观想象，网络世界应该因其快速变换，而显得更加“杂乱无章”。但是，事实却刚好相反，比如，在以互联网为代表的赛博世界里，就有摩尔定律、吉尔德定律等著名的、奇怪的、充分展示了赛博系统不变性的重要定律。这些定律有助于准确预测发展趋势，从而使得相关的赛博管理非常直观、可行。那么，这些定律到底是偶然碰巧呢，还是有更深层次的奥秘？下面将从赛博管理学的角度，来认真探讨这个问题，并给出精细的意外结果，然后进行推广。

本小节聚焦于最早的、也是最著名的、体现赛博世界不变性的所谓“摩尔定律”；它由英特尔公司（Intel）创始人之一戈登·摩尔，于1965年提出。

摩尔定律的常见描述是：当价格不变时，集成电路上可容纳的元器件的数目，约每隔18-24个月便会增加一倍，性能也将提升一倍。换言之，每一美元所能买到的电脑性能，将每隔18-24个月翻两倍。微处理器的性能每隔18个月提高一倍，或价格下降一半。

该定律自提出之日起半个多世纪以来，其正确性已被客观数据持续证明了；但是，该定律是如何产生的呢？根据其历史演变的多方面证据，该定律很可能是摩尔先生突发灵感，猜出来的（预先提醒：后面我们将严格证明，其实摩尔定律不用去猜；早在200多年前的1798年，当马尔萨斯提出人口论时，“摩尔定律”的原理就已经诞生了）。因为，摩尔先生最早在1965年公开发表的论文中，只猜测了“半导体芯片上集成的晶体管和电阻数量将每年增加一倍”；1975年，摩尔又发表了另一篇论文，将其猜测由原来的“…每年增加一倍…”更新为“每两年增加一倍”；后来，业界又普遍流行为“每18个月增加一倍”；再后来又成了“每24个月增加一倍”；直到2010年，又有人再次将时长更新为“约每36个月翻一倍”等等。随着摩尔定律的名声越来越大，许多人又“照猫画虎”，猜出了摩尔定律的多种变形，比如，若用相同面积的晶圆来生产同样规格的IC，那么，每隔一年半，IC产出量就可增加一倍；换算为成本，即，每隔一年半，成本可降低五成，平均每年成本可降低三成多。等。

从管理角度来看，摩尔定律及其变形显然非常有用，比如，它能让集成电路产业链的上下游众多主流厂商（包括但不限于半导体原材料商、芯片设计制造商、计算机厂商等，甚至IT领域的几乎所有主流厂商），比较准确地预测自己产品的下游市场空间和利润空间，把握上游的进货成本等，从而使得看似杂乱无章的网络世界变得有规律可寻。当然，摩尔定律并非数学、物理定律，而是对发展趋势的一种分析预测，因此，无论是它的文字表述还是定量计算，对它的误差都应当容许一定的宽裕度。作为一种简单评估半导体技术进展的经验法则，摩尔定律的重要意义在于，它发现：长期而言，IC制程技术是以直线的方式向前扩展，使得IC产品能持续降低成本，提升性能，增加功能。

摩尔定律之所以如此著名，原因可能有两个：其一，它非常有用，这已经不用再去论证了；其二，它非常出乎意料，甚至让人感到不可思议。但是，本章接下来的理论分析将再次让读者意外，因为，过去让大家意外的摩尔定律，其实一点也不意外！它其实是任何赛博系统的，最简单、最粗糙的估计，甚至在200多年前就已经被马尔萨斯发现了，那时这位人口学家指出“大不列颠人口翻一番的时间，极有可能不超过25年”。为了说明这一点，我们先用数学公式，把摩尔定律重新描述如下：

第1步，针对某个赛博系统（比如，摩尔定律锁定的是全球的互联网产业链，马尔萨斯锁定的是大不列颠的人口系统），选定某个关注的指标（比如，马尔萨斯关注的是大不列颠的人口总数；摩尔定律关注的指标是集成电路上可容纳的元器件的数目、每一美元所能买到的电脑性能、微处理器的性能、IC产出量、芯片上的晶体管数量、PC机的内存储器容量、软件的规模和复杂性等）；

第2步，按照时间的等间隔对关注的指标进行采样（比如，摩尔定律的间隔为1年、18个月、24个月、或36个月等，马尔萨斯的间隔是25年），并将第i次采样的值记为b_i,i=1,2,3,…。

第3步，那么，在一定的时间范围内，比值(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)就是与i无关的常数a，即，(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=a。比如，在摩尔定律和马尔萨斯定律中，a都约等于2。

根据上面三个步骤的描述，摩尔定律与200多年前的马尔萨斯定律，显然是一回事，只不过采样间隔不同而已；这是因为互联网这个赛博系统的迭代更快，而人类的自然迭代却很慢，两代人之间至少相差十余年，如今父子的年龄差更可能高达30年左右，所以，人口自然增长的采样间隔也就该更长。“摩尔定律与马尔萨斯定律其实是一回事”的另一个原因在于：无论芯片上的晶体管数量，还是某国的人口数量，其实都可看成是“人造物”，只不过前者是用“工程法”造出来的，而后者是用“生物法”造出来的而已。

接下来我们将严格证明：像摩尔定律这样的东西，在任何赛博系统中，都随处可见。

对任意常数a，由递归关系(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=a所描述的赛博系统，可以等价地写为：b₀=a₀, b_i=aⁱa₀, i=1,2,3,…。又可以等价地写为：

J(n+1)=aJ(n), n=1,2,3,…, J(0)=a₀。

在连续情况下，该赛博系统可用微分方式等价地表示为：

dQ/dt=bQ, Q(t)=Q₀e^bt, t>0。

另一方面，考虑任何一个赛博系统的任何一个指标，比如Q(t)。假定在t=0的起始时刻，有Q(0)=0和dQ/dt∣_t=0=0；该假设是合理的，因为，刚开始时这个指标还没诞生，所以可假定该指标及其导数均为0。参见本书第2章第4节（赛博系统与一般系统），我们考虑Q(t)随时间变化dQ/dt的情况。根据本书第2章第1节的维纳定律，赛博系统的当前状况由它的过去状况递归确定，所以，Q(t)随时间的变化也由Q(t)确定，即，一定存在某个函数f(Q)，使得

dQ/dt = f(Q)，f(0)=0

将函数f(Q)用其泰勒级数表示为

f(Q)= a₁Q + a₂Q² + a₃Q³ +…， 其中a_i=f⁽ⁿ⁾(0)/n!

根据泰勒级数的理论已经知道，泰勒级数的前面几项，可以更好地用来逼近函数f(Q)；即，为了理论分析方便，若必须舍弃某些项的话，最好从后往前舍弃。在最极端的特殊情况下（比如，在Q=0附近或系数a_i迅速变小时），如果只能保留泰勒级数中的1项，哪怕牺牲一定的精度，那么，就可以忽略掉上述泰勒级数中的后面各项，而只保留第1项，于是，就可将上述赛博系统简化为

dQ/dt = a₁Q

它正好就是摩尔定律和马尔萨斯定律所用到的赛博系统，换句话说：任何一个赛博系统，都可以在牺牲一定的精度后，演变为摩尔系统或马尔萨斯系统。由此，就可获得赛博管理学的一个非常简单、有效的预测和管理方法，即，

结论4.1（赛博管理最简预测法）：对任何一个人造系统（或更一般地，甚至任何赛博系统），若管理者只关注该人造系统的某一个数量指标Q（该指标可以是任何指标，比如产量等），并且设b₁,b₂,b₃,…,b_i,…,i=1,2,…是对该指标进行的时间等间隔采样值，那么，只要时间间隔合适，在一定的时间内，在一定的误差允许范围内，都成立：(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=a，这里a是某个常数。

关于结论4.1，我们想做如下几点说明：

1）其实结论4.1就是《系统论》中著名的“自然生长律”；或用马尔萨斯的话来说，就是“变量与总量之比总是常数”。连续情形时，若常数b为正数（或离散情形a>1），则指标Q将随时间以指数速度增长，摩尔定律、马尔萨斯定律和病毒传播等，就属于这种情况；连续情形时，若常数b为负数（或离散情形a<1）时，指标Q也将以指数速度下降，放射性物质的衰变、天灾人祸造成的人口灭绝率、计算机病毒成功查杀等，就属于这种情况。

2）结论4.1中强调的“只要时间间隔合适”，并非指采样间隔越密越好，也不是指越稀越好，而是应该使得每个b_i相对公平；比如，若想对月饼数量进行采样，那么，以月为间隔进行采样就不合理了，因为一年四季中，除了中秋附近，其它时间基本上都不生产月饼，即，按阴历月采样后将有，b_i=0,1≤i≠8≤12，此时结论4.1当然就不可能成立；但是，如果按年为间隔进行采样，所有获得的各b_i就公平了，此时结论4.1就成立了。总之，如果指标Q有某个周期，那么，采样间隔最好要配合该周期；如果Q没有明显的周期和剧烈波动，那么，采样间隔就越密越好；当然，真正在现实社会中，采样间隔常常会“搭便车”，比如，借助年度总结或阶段小结等，顺便获得。

3）随着大数据时代的发展，数据统计会越来越方便，各b_i的获得也就越来越容易，因此结论4.1在赛博管理中发挥越来越重要的作用，比如，只需根据任何3个相邻的采样点b_i-1、b_i、b_i+1，管理者就可轻松算出常数a，即(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=a，从而对今后的趋势做出预测，即，b_i+2=ab_i+1。如果担心常数a不能长期有效（情况确实会是这样），那么，管理者可以首先根据最近的三次实测量b_i-1、b_i、b_i+1，计算出只用一次的常数a^*，即预测下一时刻的常数为(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=a^*，于是预测b_i+2=a^*b_i+1；如此循环往复，便可通过不断优化常数a，来更加准确地预测下一时刻的指标量Q。

在过去半个多世纪以来，事实证明摩尔定律的预测相当准确；但是，最近几年的实测数据已经显示，摩尔定律的误差越来越大了。怎么办？有两种思路：

其一，采用结论4.1的说明3）中的技巧，对常数a（即，过去摩尔定律中的2）进行不断微调；然后用微调后的常数去预测下一个采样点时的指标量，如此往复便能大大改善预测的准确度，而且操作复杂度也基本保持不变。

其二，考虑保留泰勒级数的二次项。为介绍改进摩尔定律的这第二种思路，先归纳已知的、可能导致摩尔定律失效的主要原因：1）芯片生产厂的成本大幅度提高，摩尔定律受到了经济因素的制约；2）随着硅片上线路密度的增加，其复杂性和差错率也将呈指数增长，即，摩尔定律受到了技术因素的制约。总之，摩尔定律的发展受到了资源的限制，无论是经济资源还是技术资源。其实，针对这些“限制原因”，系统论科学家、社会学家和化学家等，早在摩尔定律诞生前，就已经给出了改进办法！那就是在上面f(Q)的泰勒级数中，少丢弃一项，即，保留2项，于是便有：

dQ/dt = aQ + bQ²

根据本书第2章第4节，从该微分方程可得Q=(ace^at)/(1-bce^at)，这里c是某个常数，由初始条件确定。该赛博系统，就是经典的“资源受限时的人口增长系统”；在社会学中，叫“弗哈尔斯特定律（1938年）”；在化学中，叫“自动催化反应曲线”；在物理学、生物学、系统论等学科中，也都很常见。其实它也是资源受限时的任何赛博系统，在一定的时间范围内，所遵从的运行规律。管理者显然也可以通过最多不超过4个相邻的等间隔采样值，就能够推算出指标量Q=(ace^at)/(1-bce^at)中的各个参数a,b,c（具体的算法已经很多，此处就不再复述了），从而给出指标量Q的更准确的预测。当然，此时的操作难度，略大于前面的第一种思路。

其实，在资源受限的条件下，摩尔定律、马尔萨斯定律、任何人造赛博系统的指定标量Q(t)等的“生长情况”，在一定的精确度范围内，都可以用曲线Q(t)= (ace^at)/(1-bce^at)来逼近，这是一条S型曲线，即，刚开始时“生长速度”较慢（比如，半导体起步时期）；然后进入第二阶段，以指数速度飞快“生长”（比如，摩尔定律提出后的前50年）；最后是第三阶段，“生长速度”将趋于一个固定值（比如，假若今后摩尔定律失效后）。

至此，摩尔定律的本质及其今后的修正问题，就都全部解决了。原来，摩尔定律并不神秘，其遵从的规律在赛博世界中其实是非常平淡无奇的，只是过去人们没有努力去发现而已。我们将上述结论归纳为，

结论4.2（赛博管理的S-曲线预测法）：对任何一个人造系统（或更一般地，甚至任何赛博系统），若管理者只关注该人造系统的某一个数量指标Q（该指标也可以是任何指标，比如产量等），那么，在一定的时间内，在一定的误差允许范围内，都成立Q(t)= (ace^at)/(1-bce^at)，其中参数c由初始条件确定，参数a,b可由最近的不超过4个合理时间点的采样值所确定，从而便可预测下一个时间点的指标量。

关于结论4.2，我们想做如下几点说明：

1）这里的合理时间点采样，与结论4.1类似，不再重复解决了；

2）无论采样间隔是否等距离，此时的结果都不再像结论4.1那么直观了；

3）如果采样工作不难，那么，建议管理者利用最近的几个实际采样值，反复计算并一次性使用a和b，这样便可使得下一时刻的指标量预测更准确。

4）在实际情况下，到底是用结论4.1的最简预测法，还是用此处的S-曲线预测法，管理者可以根据实际情况，在简易性和准确性之间权衡决策。

（二）网络定律回头看

上一小节，对最著名的网络定律，摩尔定律，进行了详细揭秘。一方面指出，摩尔定律的实质与200多年前的马尔萨斯定律，其实是一样的（见结论4.1）；同时也回答了过去大家普遍关心的问题：摩尔定律失效后，将是什么情况（见结论4.2）。另一方面，指出了类似于摩尔定律这样的规律，在赛博世界中随处可见。许多读者对这里的“随处可见”可能会持怀疑态度，于是在本小节中，我们将重新回顾一下已知的所有网络定律，并指出：它们其实都只不过是结论4.1的特例而已，它们都没逃出结论4.1的“手掌心”。

1）吉尔德定律

该定律又称为“胜利者浪费定律”，由号称“数字时代三大思想家之一”的乔治·吉尔德提出。

吉尔德定律的大致内容是：在未来25年，主干网的带宽每18个月增长3倍；将来上网的代价也会大幅下降，甚至会免费。

对比结论4.1，显然吉尔定律只是一个特例。此时，对主干网带宽来说，采样间隔为18个月，a=3而已，即，主干网的带宽增长速度大约为3ⁱ；对上网代价Q来说，吉尔德虽然没有给出量化的结论，但是只要由代价的三个采样点，而推算出相应的a值小于1的话，那么，代价Q将以指数速度，迅速逼近0，即免费。

2）贝尔定律

该定律由号称“DEC技术灵魂、小型机之父，最成功的小型机VAX的设计师”的戈登·贝尔提出。

贝尔定律的大致内容是：如果保持计算机能力不变，每18个月微处理器的价格和体积减少一半。其另一版本是：计算机每10年产生新一代，其设备或用户数增加10倍。

对比结论4.1，显然贝尔定律也是一个特例。此时，对微处理器的价格和体积来说，采样间隔为18个月，a=0.5<1而已。提醒一下，由于a<1，所以，粗看起来，根据结论4.1，微处理器的价格和体积就应该迅速逼近0，而这与现实好像并不符合；但是，别忘了，贝尔定律的前提是“如果计算机能力不变”，显然如今计算机能力也在迅速提高，所以才致使价格和体积未逼近于0；换句话说，并没有矛盾出现。针对贝尔定律的另一个版本，此时管理者关注的参量是设备或用户数Q,采样间隔为10年，相应的a也为10。

3）反摩尔定律

该定律由Google的前CEO埃里克·施密特提出。它的大致内容是：一个IT公司，如果今天和18个月前卖掉同样多的、同样的产品，它的营业额就要降一半。

对比结论4.1，反摩尔定律也仍然是一个特例，此时，关注的指标量是一个IT公司的营业额，采样间隔是18个月，相应的a=0.5<1；所以，对IT公司来说，若不快速进步就会以指数2^-i的速度死亡（趋于0）。换句话说，所有的IT公司，特别是硬件设备公司，都必须赶上摩尔定律所规定的更新速度，否则就会死掉；比如，曾经引领风骚的SUN公司就是典型案例：由于SUN无法跟上整个行业的速度，便被IT生态链上游的软件公司甲骨文并购了。另一方面，反摩尔定律使得新兴的小公司，在发展新技术方面，有可能和大公司处在同一起跑线上，甚至可能取代原有的大公司；比如，在通信芯片的设计上，博通和Marvell就是成功的案例。

4）扎克伯格社交分享定律

该定律由Facebook创始人扎克伯格，于2011年提出。它的大致内容是：社交共享信息量以倍数增加，今天共享信息总量是两年前的两倍，从开端后的一年，用户所发生的信息共享总量将是今天的两倍。

对比结论4.1，扎克伯格社交分享定律仍然只是一个特例；只不过此时关注的指标是“社交共享信息量”，采样间隔为1年，相应的a=2，所以，社交共享信息量将以指数2ⁱ的速度增大。

5）库梅定律

该定律由斯坦福大学的教授乔纳森·库梅提出。它的大致内容是：每隔18个月，相同计算量所需要消耗的能量会减少一半。

对比结论4.1，库梅定律也只是一个特例；只不过此时关注的是“相同计算所消耗的能量”，采样间隔为18个月，相应的a=0.5<1，即，相同计算所消耗的能量以指数1/2ⁱ的速度迅速减少。但是，由于计算量越来越大，所以，总的能量消耗也是越来越大；换句话说，计算量增大的速度超过了库梅定律。

6）互联网宽带的尼尔森定律

该定律由尼尔森博士于1998年提出，其大致内容是：高端用户带宽将以平均每年50%的增幅增长，每21个月带宽速率将增长一倍。

对比结论4.1，尼尔森定律也是一个特例；只不过此时关注的是“高端用户带宽”和“带宽速率”而已。前者的采样间隔是1年，相应的a=1.5；后者的采样间隔是21个月，相应的a=2。

7）库伯定律

该定律由手机发明者库伯提出，它的大致内容是：给定的无线电频谱中所包含的最大信息量（频谱效率），每30个月就要翻一番。

对比结论4.1，库伯定律也只是特例；此时，被关注的指标量是“频谱效率”，采样间隔为30个月，相应的a=2而已。

8）Edholm带宽定律

该定律的大致内容是：在过去25年内，短距离无线通信系统的带宽需求，每隔18个月翻一番。

对比结论4.1，Edholm带宽定律也只是特例；此时，被关注的指标量是“短距离无线通信系统的带宽需求”，采样间隔为18个月，相应的a=2而已。

9）超摩尔定律

摩尔定律不仅适用于对存储器芯片的描述，也可精确说明处理机能力和磁盘驱动器存储容量等方面的发展，比如，芯片上的晶体管数量，每18个月增加1倍；PC机的内存储器容量，每18个月增加1倍。软件的规模和复杂性的增长速度，甚至超过了摩尔定律，并称之为“超摩尔定律”等。

虽然没人指出“超摩尔定律”，从精确的数量上，到底是如何超的；但是，很显然，任何人只要能获得三个采样点，就可轻松求出相应的a，它肯定大于2（但是我们估计会很接近2），否则就不能叫“超”了。

10）新摩尔定律

这是出现在中国IT专业媒体上的一种表述，其大致内容是：中国Internet联网主机数和上网用户人数的递增速度，大约每半年就翻一番。

对比结论4.1，新摩尔定律也是一个特例；此时，时间采样间隔为6个月，相应的a=2而已。

综合以上各种网络定律，不难看出：虽然这些定律的提出者，大都是全球IT界的翘楚；但是，这些定律其实都只是本章的结论4.1的简单特例而已。换句话说，任何人，哪怕只有初中数学水平，只要有足够的数据（即，能够获得三个采样点值；进入大数据时代后，这将越来越容易），那么他就可以发现众多类似的“摩尔定律”！因此，各位读者，注意当个有心人吧，没准今后你会发现并提出比“摩尔定律”还伟大的定律呢。

（三）竞争不变性

在赛博世界，除了上节那些定量的定律之外，还有若干定性的所谓定律。

其中最著名的，可能要算安迪-比尔定律了。该定律的原话，只有一句，即“安迪提供什么，比尔就拿走什么（Andy gives, Bill takes away）”；它其实是对IT产业中，软件和硬件升级换代关系的一个概括。 安迪指英特尔前CEO安迪·格鲁夫，比尔指微软前任CEO比尔·盖茨；该定律的意思是：硬件提高的性能，很快就被软件给消耗掉了。

安迪-比尔定律的更详细含义是：一方面，摩尔定律给电脑用户带来了希望，即，若今天的电脑太贵，那18个月就能降价打对折了。如果真是这样的话，电脑的销售量就无法增长了，因为，每人只需再多等几个月，就能买到价廉物美的电脑；但事实并非如此，在过去几十年里，世界上 PC（包括个人机和小型服务器）的销量迅速增长，远远快于经济的增长速度。那么，是什么动力，在促使人们不断更新自己的硬件呢？另一方面，以微软操作系统等为代表的电脑软件，却越来越慢，也越做越大。所以，当前的电脑虽然比十年前快上百倍；但是，运行软件时，感觉上仍然和以前差不多。虽然新的软件功能更强，但是，增加的功能与其大小却不成比例；比如，一台十年前的电脑所能安装的程序数量，现在也差不多，虽然硬盘的容量增加了上千倍。更惨的是，如果不更新电脑，现在很多新的软件就不能用了。

这种现象，乍一看来好像是软件厂商在故意捣蛋，但是，事实并非如此。其实，类似的情况在人类历史上经常出现，只是被大家莫名其妙地忽略了而已。

比如，在人类历史上，随着技术的不断进步，特别是机械化、自动化、智能化的突飞猛进，一直就有许多“专家”在担心：机器人把人类的饭碗抢走后，大批的失业人员咋办？可奇怪的是，从来就没有出来过由此引发的全球性失业潮，反而人类好像越来越累，越来越忙，需要做的事情越来越多。

又比如，仅凭双腿和草鞋，当年徐霞客就游遍了祖国大江南北；现在虽然有了飞机、高铁和自驾游，从理论上看，游遍世界易如反掌；可是，就算不考虑写游记，又有几个现代人比徐霞客的游历更丰富呢？

还比如，谁都知道钱能给人带来幸福，因此，直观上推理就应该是：富人比穷人幸福，越富的人越幸福；富国比穷国的幸福指数高，越富的国家就有越高的幸福指数。可是，实际的客观调查结果却大相庭径！这又是怎么回事呢？

那么，包括安迪-比尔定律等在内的上述奇怪案例，是偶然的还是必然的，是个别的还是普遍的，是只能定性的还是也可以量化的？下面就来回答这一问题，并给出意外的结果。

根据本书第2章第4节，我们已经知道：任何赛博系统都可以用一组微分方程来描述（即，当时称为“方程组1”的那个方程），如果只考虑该赛博系统中的某两个指标量Q₁和Q₂，那么，该赛博系统就可表示为：

dQ₁/dt = f₁(Q₁,Q₂)

dQ₂/dt = f₂(Q₁,Q₂)

在一定的误差范围内，下面分步对上述两个微分方程进行极端简化。首先，假定这两个指标相互独立，即，每个指标随时间的变化，不受另一个指标的影响，于是，相应的赛博系统就可简化为：

dQ₁/dt = f₁(Q₁)

dQ₂/dt = f₂(Q₂)

其次，对函数f₁(Q₁)和f₂(Q₂)进行泰勒级数展开，即，

f₁(Q₁)= a₁Q₁ + a₂Q₁² + a₃Q₁³ +…， 其中a_i=f₁⁽ⁿ⁾(0)/n!

f₂(Q₂)= c₁Q₂ + c₂Q₂² + c₃Q₂³ +…， 其中c_i=f₂⁽ⁿ⁾(0)/n!

并舍弃级数中的高阶项，仅保留第1项（将a₁和c₁简记为a和c），于是，相应的赛博系统就可近似为：

dQ₁/dt=aQ₁和dQ₂/dt=cQ₂ ，

那么，求解该微分方程后就有Q₁=k₁e^at , Q₂=k₂e^ct, 这里k₁和k₂是两个常数；或者等价地写为Q₁=gQ₂^b,这里b=a/c和g=k₁/(k₂)^b。那么，就有

{[dQ₁/dt]/Q₁}：{[dQ₂/dt]/Q₂}=b，

用文字解释该公式，便是如下意外的结论，即，

结论4.3：在一定的误差和时间范围内，赛博系统的任何两个指标量Q₁和Q₂的相对增长率（即，按原有值的百分率来计算的增长），将保持不变，为b。用公式表示出来便是比值{[dQ₁/dt]/Q₁}：{[dQ₂/dt]/Q₂}保持不变，始终为b；其中dQ₁/dt=aQ₁和dQ₂/dt=cQ₂ ；Q₁=k₁e^at , Q₂=k₂e^ct ；b=a/c和g=k₁/(k₂)^b。

现在重新用结论4.3来解释安迪-比尔定律：在IT生态系统这个赛博系统中，分别考虑硬件价格和软件价格这两个指标量Q₁和Q₂ 。于是，根据摩尔定律(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=2和Q₁=k₁e^at，就应该有：硬件价格中的相关参数满足

(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=2=[k₁ea^(t+1)-k₁e^at]/[k₁e^at-k₁e^a(t-1)]=(e^a-1)/(1-e^-a)

换句话说，方程dQ₁/dt=aQ₁中的a，应该由方程(e^a-1)/(1-e^-a)=2的正值解来确定。

根据超摩尔定律(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=2+x，这里的x>0就是软件增长比硬件增长快的那部分（由于没有数据支撑，所以我们不知道其准确值）。再根据软件价格方程dQ₂/dt=cQ₂和Q₂=k₂e^ct，就应该有：软件价格中的相关参数满足

(b_i+1-b_i)/(b_i-b_i-1)=2+x=[k₂ec^(t+1)-k₂e^ct]/[k₂e^ct-k₂e^c(t-1)]=(e^c-1)/(1-e^-c)

换句话说，方程dQ₂/dt=cQ₂中的c，应该由方程(e^c-1)/(1-e^-c)=2+x的正值解来确定。

比较一下确定a和c的两个方程(e^a-1)/(1-e^-a)=2和(e^c-1)/(1-e^-c)=2+x，不难看出：除了将2换为2+x之外，它们就没差别了。而相应的正值解都在指数上，因此，a和c的差距，将随x呈对数速度减少；换句话说，结论4.3中的b=a/c与1的差距将随着x的值呈对数速度减少，或者说，从工程角度来看，有理由将b=a/c看成约等于1。这便完整地量化解释了安迪-比尔定律，即，因为b≈1，所以用户几乎感觉不到摩尔定律带来的价格便宜。形象地说，这就好像，假若你与周围的环境都在等比例（b=1）地增大或缩小时，你将会感觉不到相应的变化；但是，若你与周围环境变大或缩小的比例不同（b≠1），那么，你将会马上感觉到这种变化。

其实，结论4.3不仅可以解释安迪-比尔定律，还可以解释前面包括“自动化并未带来失业”、“现代人旅游并不强于徐霞客”、“富人并不比穷人幸福”等类似的现象。特别是比值b=a/c约以对数log∣a-c∣的慢速偏离1这个事实，就使得人造系统几乎都会以等速（即b=1）的方式“生长”。其实，这里还有另一个原因，那就是人类的“趋利避害”行为，即，只要b明显偏离1，那么，某个指标量就会明显地“有利”或“有害”，于是，大家就会启动“反馈、微调、迭代”的赛博链，并很快重新“达到平衡”，使得b逼近1。其实，前面两小节中的所有11个例子的“生长”规律都大致相同这一事实，也是b≈1的一个旁证；因为，即使相关参数的绝对差值x较大，但经过自然对数logx处理后，差别就变得很小了。

信息安全界或管理界的人士，可能对结论4.3会感到非常意外；其实，更意外的是：差不多早在一百年前，在生物界，这个结果就已“家喻户晓”了！只不过他们将其称为“异速生长方程”而已；并且至今在形态学、社会学、生物化学、生理学、系统发育学等领域，它仍然还在发挥重要作用。

当然，必须提醒的是，结论4.1至4.3是在做了许多简化后，才得到的结果；它一定含有某种误差。不过，幸运的是，在大数据时代里，各种真实数据统计相对容易，而且也比较准确了；所以，管理者可以根据最新的数据，利用前面的结论4.1至4.3，只对下一时刻的相关参数进行预测，并以此推断很近的将来的趋势，于是，误差就会很小，而且也不会有误差的积累，这其实又是一种“反馈、微调、迭代”的赛博链，这再一次表明了：赛博链无处不在。

（三）结束语

“三分技术，七分管理”，是网络空间安全领域中，最响亮的口号之一。它意指，安全保障的效果，主要依靠管理，而不仅仅是技术。可是，在真正执行时，大家却全力以赴聚焦“技术”，却几乎把“管理”给忘了！甚至，许多高校的信息安全专业的培养方案中，压根儿就没“安全管理学”的影子，无论是针对博士、硕士，还是本科生。于是，便出现了一些怪事，比如：

1）技术精英们，只是埋头研发新“武器”，而不关心它们是否方便管理。比如，从管理角度看，“用密码（口令）实现身份验证”这项技术，就是典型的败笔。仅凭记忆，面对自己的庞大密码库，任何人都不可能当好管理员；于是，只好偷懒，或者使用同一个密码，或使用“12345”这样简单易记的密码；或者，干脆将所有密码记在一个本子上……，总之，偷懒后，技术的“初心”便丧失殆尽了，用户的安全也就主要靠运气了。幸好，不借助密码（口令）的身份验证技术，正在孕育之中，真希望它能早日诞生。又比如，许多先进的安全设备，被用户使用后，其初始配置竟然都没变过，从而，使这些“卫兵”形同虚设；这虽然与用户的安全意识不强有关，但是，“设备配置太复杂”不易管理和使用，也是不可否认的原因。

2）“管理”被认为不够高大上，甚至，管理被片面理解成：规章上墙、标准几行、几次评估、检查装样等。或者，“管理”被误解成“权力”，甚至成为某些机构创收的工具。

总之，“管理”的科学性被忽略了，“管理”与“技术”的良性互动被切断了。其实，比较理想的情况是：技术精英们，适当掌握一些管理精髓，并能将其应用于自己的研发中，充分发挥“管理”的四两拨千斤效能；管理精英们，也适当了解一些技术概念，以便向技术人员描述“安全管理”的需求，从而，使得技术研发更加有的放矢。

作者不自量力，试图勇敢地站出来填补“安全管理学”（或叫“黑客管理学”）这个空白，于是便有了此文。欢迎各界朋友批评指正，更欢迎大家都来研究黑客的管理问题。

参考文献

杨义先，钮心忻，黑客管理学，电子工业出版社。