「AI哲学」让人类“为自身立命”与“为AI立心”。

在前面的“【3D智能十八篇之九】3D降维攻击：上帝如何优雅地拍扁你！参数化与平滑”中，我们介绍了降维打击。这一篇中，我们反其道而行之，介绍如何升维：如何通过推理和想象，把自己的大脑思维提升到高维空间，以窥探地球万物的蝼蚁众生！

实际上，3D打印除了在产品设计开发、艺术、食品、医疗、个人制作等方面的应用之外，在教育上还有着特别的应用。以数学为例，估计本书的很多读者都会觉得数学枯燥无味。而通过3D打印技术，却可以让原本枯燥的数学公式变得直观有趣。

下面是国外一名创客给大家隆重推荐的个人数学博物馆！在3D数学博物馆里，你不仅可以欣赏各种叫得出名与叫不出名来的三维立体几何图形，甚至连神秘莫测的四维图形也可以打印出来了，即直观地显示四维图形在三维世界的投影。值得注意的是，对于这些复杂中空的形状，之前的任何切削工艺都是不可能加工的，唯有3D打印出现后才得以实现。

我们首先从球体开始，该球体由许多个近似菱形组成，如图7-10所示。

图7-10  3D打印的球体（图片来源：George W. Hart）

如图7-11所示是Sierpinski分形四面体，你在第4章4.2.1节的分形中应该见过。

图7-11  Sierpinski分形四面体

图7-12中是另一个著名的分形：孟结海绵（Menger Sponge），是一个三级分形，也就是说这个分形中有3种不同大小的孔。该分形的有趣之处在于：它的表面积会随着它级数的增长以指数方式增长。

如图7-13所示，这是一个双曲面模型。

            图7-12  孟结海绵（Menger Sponge）            

图7-13  双曲面模型

如图7-14所示，这些可认为是螺旋环面结构的各种衍生变种。

图7-14  螺旋环面结构的各种衍生变种

我们知道，由一个四维物体，可以计算出其在三维空间的“投影”。这个投影往往是个繁复而美丽的三维物体。与传统工艺相比，3D打印具有制作复杂模型的巨大优势，可以很容易地制作出这些似乎只存于思想中的结构（因为四维根本无法画出来）。

图7-15中是一个120胞体（120-Cells），是由120个正十二面体组成的四维结构“投影”而成的。该四维结构原本由一个大正十二面体被119个小正十二面体填充组成。但是在投影到三维空间时，除了最外层和最内层的两个十二面体还是正十二面体之外，其他的十二面体的角度都产生了相应的投射扭曲。

图7-15  120胞体（120-Cells）

提示：世界上最早意识到并理解多维空间存在的人，可追溯到19世纪瑞士几何学家Ludwig Schläfli（路德维希·施莱夫利），他为此研究出相应的多维几何学。如图7-16所示，点的维度是0，线的维度是1（X坐标轴），面的维度是2（X/Y坐标轴），体的维度是3（X/Y/Z坐标轴），如果再加一个W坐标轴，就进入到四维空间了。（实际上，我们在三维空间看不见四维的W坐标轴，图中只是一个假想。）

我们先分析一下二维（Dimension）的情况。同理，2D中的平面人看不见3D空间的我们，而且看2D空间本身的那个正方形每次也只能看到一条线段，更无法“穿透”进正方形内部看见那位美女。而在3D中的我们，不仅一下就能看出是正方形，而且还能看到正方形里面的那位美女。也即，在低维空间里原本属于内部的东西，到了高维空间都会变成外部的，形象地说：低维空间不过是高维空间的表皮。

图7-16  从一维到四维空间的性质图解（图片来源：维基百科）

类似地，处在3D空间中的我们，也看不见4D空间的物体，而且看3D空间本身的物体每次也只能看到一个面，无法穿透到内部，比如别人身体里心脏的跳动。而在4D空间中的“四维人”，却可以一下子（同一时间）就透视我们身体内外的每一个细节。

既然我们看不见4D空间中的物体，那么如何感受它呢？将它投影到3D！正如拿着一个3D的球穿过一张2D的平面，平面上的2D人会发现一开始出现了一个点，然后扩大成一个圆，接着再慢慢缩小成一个点直到消失。类似地，一个4D的球体穿过我们3D空间，也会从一个小球渐渐变大到一个大球，再渐渐变小直到消失。

实际上，4D或更高维的空间形状性质我们一般都可通过这种低维类推的方式来考察。如图7-17所示，0-单纯形就是点（0维）、1-单纯形就是线段（1维）、2-单纯形就是三角形（2维）、3-单纯形就是四面体（3维），因此我们可以类推出4维空间中的4-单纯形将是一个有着5个顶点（以及10条线段、10个三角形面、5个四面体）的五胞体。这里的单纯形（Simplex，也被译作单形）是代数拓扑中的基本概念，是三角形和四面体的一种高维泛化，一个n维单纯形是指包含n+1个节点的凸多面体，即n+1个仿射无关的点的集合的凸包。

图7-17  利用从低维类推的方法来分析高维空间形状的性质

如图7-18所示是一个4D超正方体绕平面旋转时在3D上的透视投影变化，正如我们拿一个3D正方体旋转不同角度投影到2D纸面上时，2D投影形状也会往复变化。

图7-18  四维超正方体绕平面旋转时在三维上的透视投影变化

还有一个有趣的现象是，那位2D平面上的美女被2D正方形的四条边所困住，而位于3D中的我们只要把她往第3维Z轴一抬，她就解围了。同理，处在3D空间中的我们若被困在一个正方体里面，4D空间的人只需把我们往第4维W轴一抬，我们就解围了。

如图7-19左边所示，莫比乌斯带（Möbius band）是一种拓扑学结构，它没有正反面之分。想象一张长条纸，把它扭转一圈后首尾相连，就会发现原来的一面与其反面相连。如果你在这个纸面上沿着一个方向走，不用翻栏，就能够走遍这张纸条的所有面并回到起点。莫比乌斯环看着像一个2D结构，但是它本身却只能在3D空间存在。在图7-19的右图中，3D打印出来的克莱因瓶（Klein bottle）类似于莫比乌斯带，也是一种不可定向的闭曲面，没有“内部”和“外部”之分。在这个奇怪的管状物里行走，你能经历空间的正面和反面，并回到起点。其实真正的克莱因瓶存在于4D空间：克莱因瓶看上去好像有一个与自己相交的部分，然而在4D空间它并不相交，就像莫比乌斯环在3D空间不相交一样。

图7-19  莫比乌斯带和克莱因瓶（图片来源：Shapeways）

假如我们的宇宙也是一个由扭曲的空间形成的克莱因瓶结构，那么这个宇宙虽然大小有限，但是却并没有边界，你沿同一个方向走，会永远地不停循环下去。

看完之后，有些对数学天生不感兴趣的读者在惊叹之余，可能还是觉得没有直观感受，比如看不见内部。没问题，我们可以把这些数学3D模型用巧克力食品打印机打出来，然后你就可以一边品尝，一边欣赏内部的优美几何结构了。

图  笔者3D模型的巧克力倒模

【“AI哲学一吴怀宇”（中国科学院博士、北大博士后）作者主页：www.OpenDAI.org；邮件：huaiyuwu@sina.com 视频/公众号：AI哲学一吴怀宇中国科学院（人工智能哲学）】

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