数系是怎样扩充的？#极简数学发展史#

自然 2020-03-05 19:00646阅读 · 35喜欢 · 3评论

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19世纪的数学家克罗内克说过：“上帝只创造了自然数，其余的都是人为的”。

自然数：计数的需要

自然数是什么？

表示物体个数的数叫自然数（Natural number），自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。

自然数的产生几乎是人类发展的必然，从古至今，人们在计算物体个数或是表示物体次序的时候不可避免的会用到这些数字。早在五万年前，我们的先人就已经在使用这些数字做着一些基本的计数和排序了。

所有的自然数组成了一个集合：自然数集N

P.S.如果再有人问你1+1为什么等于2，千万别再说“不就是这样的吗，还有理由吗？”之类的话了，你应该这样说：“因为一个物体和另一个物体加起来就是两个物体”。

分数：分配的需要

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或其中几份的数叫分数。

在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。比如说，有一家三兄弟要分配财产，其中大哥得到二分之一的土地，二哥得到三分之一的土地，老三得到六分之一的土地。

通过分数，我们就能在头脑中想象出三兄弟各自得到了多少财产。如果没有分数，事情就远远没有这么简单。

在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早在公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就是用了分母是60的分数。公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。

分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。我国春秋时代（公元前770年～前476年）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。

插曲：“0”的出现

到了公元5~6世纪，数字“0”在印度诞生。这时的“0”才真正算是一个数字，代表“空，无，什么都没有”。

P.S.早在美索不达米亚文明与玛雅文明中，就已经有了这个符号的身影，但那时“0”并不是一个数字，更类似于一个占位符。

负数：相反意义

负数与正数表示意义相反的量，任何正数前加上负号便成了负数。

这就是负数的定义。

数轴

在历史上，负数应该算是欠出来的。在借贷中，逐渐产生了负债的概念，人们需要一个与盈利相反意义的量来表示“负债”的概念，负数就应运而生。

据记载，我国三国时期的数学家刘徽于公元250年前后首先给出了负数的定义，写法及运算法则。到了7世纪，印度也出现了描述“负债”数量的负数，在当时的印度，正数代表的是“资产”，而负数代表的是“负债，损失”。

事实上，A有100元的负债相当于A有-100元的资产。这两者是等价的（虽然这样表述起来很别扭），当你能掌握负数的表现形式时，恭喜你，你已经学会了从相反的方向看待问题了(＾Ｕ＾)ノ~

至此，一个新的集合出现了：有理数集Q

“0”从“空的”引申到“平衡”：

负数的出现，使我们能通过一个概念看到事物的另一面。譬如，如果不使用负数，做生意的人就必须同时考虑资产与损失两个概念。这样计算不仅繁琐而且复杂。但是，如果我们将损失理解成负的资产，我们就能够在以盈利为正方向，收支平衡点为原点的数轴上，讨论销售额和盈亏状况。

从以上的例子里大家能够看到，这时的“0”已经不是“空的”意思了，现在它代表收支平衡，也就是“正数和负数同时存在且势均力敌的状态”，即“平衡”。

事实上，物理学中力的平衡和化学中正负离子的反应等，都与这个“平衡”有异曲同工之妙。

无理数：无法抓住的数

无理数(Irrational number)，就是不讲道理的数无限不循环小数。

生活在公元前五世纪的古希腊人，坚信所有的数都可以用整数的比来表示（即所有的数都是有理数）。尤其是以毕达哥拉斯为首的毕达哥拉斯学派成员，认为“万物皆数”，他们坚信万物的规律都可以用有理数來表示。

事实上，在这个学派里，已经有人发现了无法用整数之比来表示的数。讽刺的是，这个数恰恰是利用毕达哥拉斯定理证明出来的。于是我们可以这样理解，毕达哥拉斯自己发现的定理否决了他自己的学说。

勾股定理：a2+b2=c2

毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现，下面这种直角三角形的斜边长度无法用分数表示。

据说，毕达哥拉斯在听到这个说法后十分震惊，要求所有成员不得泄露这个数的存在，甚至杀害了可怜的小哥希帕索斯。这是数学史上第一次发现无理数。

自根号二被发现以后，越来越多的无理数被发现，人们逐渐接受了无理数，并把无理数和有理数统称为实数。实数能够和数轴上的点一一对应。

那为什么毕达哥拉斯宁可杀人也不愿承认无理数的存在呢？无理数像是一个只有“大概值”的数，我们能通过种种方法看到它们，画出它们，却终究无法知道它们的确切值。可能这才是毕达哥拉斯无法接受无理数的原因吧。

例：根号二的画法

至此，有理数与无理数构成了一个集合——实数集R

复数：从想象穿越到现实的数

虚数(Imaginary number)，直译过来就是“想象中的数”。在数学史上，有一段时间内，虚数不被人们所接受，被认为是荒谬的数字。

1637年，笛卡尔首先给出了“Imaginary number”这个命名，而命名为虚数的原因，正是因为在当时的观念里这是不存在的数。

到了1777年，欧拉出现了，他在自己的论文中首次用“i”表示根号下负一。这里的“i”就被称作是“虚数单位”，i2=-1。

复数(Complex number)，指二元有序实数对(a,b) ，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

1830年，高斯详细论述了用直角坐标系复平面上的点来表示复数，使复数有了立足之地，人们才真正承认了复数。到今天，复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一。

复平面

又是一个全新的集合——复数集C

数系的扩充到这就结束了吗？

有人说是的，有人说不是。

1843年，数学家哈密顿发现了四元数。四元数的乘法不符合交换律，故它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则。明确的说，四元数是复数的不可交换延伸。如果把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数就是二维空间。

1845年，凯莱发表了八元数。八元数可视为是透过实数构造而成的八维向量空间，它的乘法是由八个单位元素(1, i, j, k, l, m, n, o)遵循规则进行的，八元数乘法不满足于交换律和结合律。

人们之所以对以上的数有争议，是因为这些数似乎破坏了数系当中的一些基本原则。

回过头来，其实每一次数系的扩充都有一些基本原则：一是在原有基础上增加新元素；二是新元素不违背旧法则；三是所增加的新元素可以帮助解决原先的问题。从这些原则当中，我们同样能了解到为什么要对数系进行扩充。

那么本期的极简数学发展史就到这里了，有机会我还会做下一期的哟！

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