群体出行中的引力定律是如何形成的？

——交通系统科学的一个研究案例

我们几乎每天都要在不同的地点间移动：从家去单位上班，或者去另一个城市旅行，甚至移民到另一个国家。每个人在选择目的地时的想法都是不一样的，但在群体层面上却会涌现出类似万有引力定律的规律——两地间的移动量会正比于两地“活力”（常用人口数量、进出流动量、GDP等来量化）的乘积，反比于两地间距离的某次方。这种交通系统中群体出行的空间分布规律早在1846年就在比利时的城市间铁路客运出行中被发现[1]（见图1）。在后续的一百多年中，研究者们在城市内的通勤出行、城市间的公路出行、机场间的航空出行、港口间的船舶运输、国家间的商品贸易甚至人与人之间的在线社交、科研合作等大量人、物、信息的流动现象中都发现存在着类似的引力定律[2]。类比引力定律建立的引力模型（国内也译为重力模型）在许多领域也获得了广泛的应用。例如在交通科学中引力模型被用来预测地点间的交通出行量；在人口学中引力模型被用来预测地区间的人口迁移量；在经济学中引力模型被用来预测地区间的商品贸易量。特别是在新型冠状病毒全球蔓延之后，很多学者也使用引力模型来辅助新冠病毒传播过程的建模。

图1 比利时铁路客运量中的引力定律。横轴表示车站间距离的对数，纵轴表示客运量与车站所在城市人口的关系 T_ij/(m_im_j) 的对数。图中斜直线为 y ～ x^-2.25。取自文献[1]。左下角插图是比利时铁路网络，取自https://railwaywondersoftheworld.com/belgian_railways.html。

在如此众多的交通及社会系统中为何会有这样普适的引力定律存在？这是一个困扰人类上百年的问题，也吸引了很多不同领域的学者对其追根溯源。半个多世纪前，统计物理领域的学者以交通出行问题为背景，提出了一种从最大熵原理解释社会引力定律的方法[3]。其核心思想是在给定的地点出行发生、吸引量约束和出行总成本约束的条件下，最可能出现的结果是微观状态数量最多的出行分布，即熵最大的分布。但最大熵原理仅能给出系统最可能的宏观分布状态，并未考虑系统中个体选择出行目的地的微观决策行为。而经济学家则很早就开始用随机效用理论来描述个体的选择决策行为[4]。他们认为个体会以效用（简单地，可以理解为收益减去成本）最大化为准则来选择选项，同时假设个体对效用的理解存在某种随机偏差，这样建立起来的模型就可以预测个体选择各选项的概率。如果将选项的效用设置为目的地活力和距离成本的函数，用随机效用模型就可以导出引力模型。这就从个体选择行为的角度为社会引力定律提供了一种新的解释。但随机效用模型只考虑了单一个体的选择行为，缺乏对实际社会系统中普遍存在的个体之间相互作用的考虑。

从系统科学的视角我们知道，很多复杂系统整体上涌现出的宏观特征都是由个体之间的相互作用所导致的。而博弈论则是刻画相互作用个体如何进行选择决策的重要理论之一。交通系统中的目的地选择决策问题可以被看作是多个参与者进行的目的地选择博弈[5]，每个参与者在面对多个可供选择的目的地时，总会选择带给自己效用最大的目的地。在实际的交通系统中，目的地带给个体的效用多会随选择其人数的增加而下降（这在经济学中被称为边际效用递减）：路途上的拥堵会导致成本增加，而目的地的拥挤则会导致吸引力降低。当个体对目的地效用信息完全理解并总是选择使自己效用最大化的目的地时，从相同起点出行的个体所选择的目的地就都会具有相等的边际效用（这在经济学中被称为等边际准则）。此时的个体们势均力敌，没有人能通过单方面改变选择而增加自己的效用。这种目的地选择博弈模型能够体现个体相互作用对个体目的地选择决策的影响，为社会引力定律提供了一种新的解释。

当然，在实际的交通系统中，出行者是有限理性的，他们很难精确知道所有目的地的真实效用。如果出行者对所有目的地的效用都完全不知道，他们就只能纯随机地选择目的地（见图2中右侧实线）。如果出行者想获得更高的效用，就必须通过学习来获取更多有关目的地效用的知识。而获取这些知识所需信息量的最自然度量就是负信息熵，出行者需要付出的学习成本就等于负信息熵乘以信息价格。出行者会权衡自身能获取的效用与付出的学习成本，来做出最佳选择。有趣的是，此时博弈模型的目标函数与物理学中的亥姆霍兹自由能函数在数学形式上是一致的，因此该模型被称为“自由效用”模型[6]。换句话说，出行目的地选择系统可类比为一个包含若干子系统、与热库进行热接触的等温等容热力学系统——出行者的数量类比为粒子的数量，模型的效用函数类比为包含势能的热力学系统的内能，信息价格类比为热库的温度，信息熵类比为热力学系统的熵，学习成本类比为热力学系统与热库之间交换的热量，边际效用则类比为子系统的化学势。但这两个系统的本质是不同的：热力学系统遵循自由能最低原理使系统达到平衡状态，在该状态下所有子系统均具有相同的化学势；而出行目的地选择系统自由效用的最大化则是出行者遵循等边际准则做出的最佳选择策略所导致的结果。

图2 自由效用模型及其特例。图中展示了一个简单的目的地选择问题，里面有一个起点a和两个目的地b和c。起点有200名出行者，目的地b和c的效用函数分别为 20 − 3γT_ab和2 – γT_ac，其中T_ab和T_ac分别是从起点a到两个目的地b和c的出行量，参数γ表示相互作用强度。−τS是信息学习成本，其中S是所有出行者的信息熵，参数τ表示信息价格。图中曲面表示自由效用模型在参数取值不同时目的地b被选择的概率p_b，左侧的虚线表示模型在信息价格为0时的特例，右侧点线表示相互作用强度为0时的特例，右侧实线则表示信息价格无穷大时的特例（此时两目的地被选择的概率均为0.5）。取自文献[6]。

上述自由效用模型既能反映出行者之间的相互作用，又能反映出行者的有限理性特征。之前解释社会引力定律的最大熵模型、随机效用模型和目的地选择博弈模型都是自由效用模型的特例。当信息价格为零时，自由效用模型就退化为出行者完全理性的目的地选择博弈模型（图2中左侧虚线）；在出行者之间的相互作用被忽略的情况下，自由效用模型就与经典的随机效用模型（图2中右侧点线）具有相同的数学形式。但二者的假设是不同的：随机效用模型假设个体对选项效用的认知偏差服从特定分布；而自由效用模型则假设有限理性个体需付出额外的学习成本来认知选项的效用，这更符合实际。另外，在忽略出行者之间的相互作用时（就像忽略气体分子间的相互作用一样），自由效用模型的解与假设出行总成本固定的最大熵模型（图2中右侧点线）的解是一致的。但自由效用模型并不需固定出行总成本，因为出行者们付出的总成本是他们最终选择的结果，而不是前提。总之，从相互作用的有限理性个体选择行为角度建立的自由效用模型更符合实际，能为社会引力定律提供更合理的解释，有助于我们深入理解交通出行、人口迁移、商品贸易、社会交往、信息流通等群体流动规律背后的机制。

自由效用模型不仅能够描绘交通系统中出行者的目的地选择行为，还可以描绘出行者的出行方式选择和路径选择行为[7]。实际中出行方式的效用会受到使用相同方式的出行者数量的影响，例如公交车上的乘客人数的增加将降低公交车乘客的舒适程度。相比与传统出行方式划分预测中使用的随机效用模型，自由效用模型能更好地刻画这种实际中存在相互作用的出行者们的出行方式选择行为。此外，不考虑学习成本的自由效用模型与交通科学中预测出行者路径选择行为的用户平衡分配模型[8]在数学形式上是一致的，而考虑学习成本的自由效用模型就是交通科学中的一种随机用户平衡分配模型[9]。总之，自由效用模型为建立描绘交通系统中出行选择行为的统一框架提供了新的途径。特别是在当前这个能反映人类移动行为的大数据日益丰富的时代，通过从这些大数据中挖掘个体群体出行选择规律来合理设置自由效用模型中的各类效用函数，可以为定量分析处处充满着出行者相互作用的复杂交通系统提供一套可选的工具。

自由效用模型不仅能够刻画交通系统中的出行选择行为，还可以应用到很多存在选项选择行为的社会系统中。例如，人口迁移是选地点做居住地，社会交往是选人做朋友，科研合作则是选研究者做合作伙伴等。在这些系统中，个体多会倾向于选择活力相对高、距离相对近的选项。但往往选择同一选项的人越多，该选项能带来的效用就会越低。例如在商品贸易中竞争对手增加会导致商品价格下降，在科研合作中选择某人的合作者增多会导致双方的合作强度降低。而这些不同系统中的个体选择行为，都能用自由效用模型来刻画。总之，解释社会引力定律的自由效用理论框架不仅有助于我们理解很多社会复杂系统中由有限理性个体相互作用而涌现出的群体选择行为模式，对于更好地预测、引导甚至控制各种复杂社会系统中人的选择行为，都具有潜在的应用价值。这也体现了系统科学的典型研究范式：从整体的角度探讨、揭示各种复杂系统的共性规律，再把对某一种系统的研究方法提炼成普适性的分析手段，用于理解、预测、优化和调控更多具有共性规律的复杂系统。

参考文献：

[1] ODLYZKO A, The forgotten discovery of gravity models and the inefficiency of early railway networks[J]. OEconomia, 2015, 5: 157–192.

[2] 闫小勇. 社会引力定律追根溯源[J]. 物理学报, 2020, 69(8): 088903.

[3] WILSON A G. A statistical theory of spatial distribution models[J]. Transportation Research, 1967, 1(3): 253–269.

[4] DOMENCICH T A, MCFADDEN D. Urban Travel Demand: A Behavioral Analysis[M]. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1975.

[5] YAN X-Y, ZHOU T. Destination choice game: A spatial interaction theory on human mobility[J]. Scientific Reports, 2019, 9(1): 9466

[6] WANG H, YAN X-Y, WU J. Free utility model for explaining the social gravity law[J]. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2021, 2021(3): 033418.

[7] 王浩, 闫小勇. 用自由效用模型刻画出行选择行为[J]. 交通运输工程与信息学报, 2021, 51.1652.U.20210514.1544.002.

[8] BECKMANN M, MCGUIRE C B, WINSTEN C B. Studies in the Economics of Transportation[M]. New Haven: Yale University Press, 1955.

[9] FISK C. Some developments in equilibrium traffic assignment[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1980, 14(3): 243–255.