高斯于1827年10月8日发表了《关于曲面的一般研究》，暗示他已经发现了非欧几何学。然而，为什么高斯没有发表他的非欧几何学呢？

他在1829年给Bessel的信札中写到：“恐怕我还不能够迅速修改关于这个问题的自己很广泛的研究，使它可以出版，甚至在我的一生里可能不能解决这件事，因为当我发表自己的全部意见时，我害怕会引起波哀提亚人的叫嚣。”

高斯一虑，终有百得，后来Riemann、Beltram、Klein、Poincare等关于非欧几何的发展与确认，均遵循着高斯的思路。

但也有人说高斯是怕智者千虑必有一失，害了一世英名。如果，希望无虑而一得，那产出投入比就无穷大了。

这里，提出一个问题，学者会不会说外行话，学者敢不敢说外行话。其实，每个人都经常在说外行话，那是对行外的无知，无知自然无畏，无畏就敢于说外行话。不要一说行外话就是“伪科学”。

有一本书，叫《统一无穷理论》，作者是何华灿，出版社是科学出版社。何华灿，湖北江陵人，1960年毕业于西北工业大学计算机专业，70年代主持设计了两个型号的航空机载计算机，1979年开始从事人工智能的教学科研。显然，数学在他的行外。何先生从物理世界的编码模型来认识无穷大，对数学而言是有其局限性，可是何先生敢于说行外话，这就是勇气。

事实上，提出问题，挑起争论，比证明更重要，当然收获桃子的多是搞证明的，挑起争论的大多都牺牲了。

在“新语丝”上，署名为“数学工作者”的朋友，发表了一篇文章“科学出版社竟然出版如此反智的书”。

(www.xys.org)(xys6.dxiong.com)(xys.ebookdiy.com)(xys2.dropin.org)

该文说：

这两天在新浪微博看到一些网友转载的帖子，说是科学出版社去年出版《统一无穷理论》，其基本观点完全错误，甚至可以说是反智的。原来该书作者竟然能断定自然数集与实数集等势！ 这毫无疑问是极其荒谬的。科学出版社竟然能出版如此反智的书，除了可笑之外，也着实让人觉得可悲。

前天，有一朋友将这篇文章转发给我。我曾经花了近一个月的时间，读完了这本书，并应邀写了评论。本来，不打算把评论公开，但想到争论也许是有益的，不妨贴出来，供大家批评。

读《统一无穷理论》的几点注记

    一、研究的问题

    《统一无穷理论》（下简称为本书）研究数学基础集合论中的一个基础问题，即连续统假设问题，希望回答潜无穷与实无穷在理论上是否能“统一”的问题。这一问题的提出源于作者长期从事信息科学基础理论泛逻辑的研究。

    1997年曾任美国数学会主席的斯梅尔仿照当年希尔伯特提出了21 世纪需解决的24个数学问题，其中第18个问题是：“人类智能的极限和人工智能的极限是什么？”这不得不从人工智能的视野研究“无穷”。

    二、主要的观点

作者用“无限倍增法生成的实无穷层满二叉树可与自然数集一一对应”（图6—10）和“无限二分法生成的无穷层满二叉树可与单位区间实数集一一对应”（见图6—11），得出自然数集与实数集等势，其基本思想“是承认自然数集也是进位制数，同样需要用无穷位的编码才能全部表示出来。”（P177）

    于是，否定了康托

的结论，并得出

否定地回答了连续统假设。这是作者建立“统一无穷理论”的前提。

    这样，作者将自身的观点，置于当今形式主义学派占数学主流地位的通常观点的对立面。引起争论、挑战，就是价值。问题是这一证明希望得到数学界的审视。

    本书的观点不属于形式主义学派，也不属于直觉主义学派。但在方法上，更接近直觉主义的构造性观点。

    三、康托的观点

Cantor(1874，1879)和Poincare(1910)用不同的方法证明[0，1]区间构成的集合是不可数集。

然而，本书在第六章证明“自然数集与实数集等势”。显然，本书与康托集合论的最初分歧，就在于此。因此，本书不仅应当给出第六章的证明，还应当举证说明康托的对角线法，有不当之处。为此，作者引用了沈卫国的工作（P81）。由于本书对沈卫国的工作叙述简约，下面作出简要补充。

沈卫国，《区域供热》杂志主编, 高级工程师, 曾被中国人民大学现代逻辑与人工智能研究所、西北工业大学信息智能与逻辑研究所聘为研究员, 主要研究哲学、科学基础理论及计算机自动控制。在研究康托对角线法，给出连续统“可数”并否证“广义连续统假设”方面，有相关著作与多篇文章列举如下：

。。。。。。

[4] 沈卫国，论康托对角线法的局限性与数学、逻辑学中的一些基础性问题[ J]，天津职业院校联合学报， 2008，(03)；

。。。。。。

在文章[4]中，沈认为“康托对角线法要依赖一个隐含的特定前提”，因而，“它并未像普遍认为的那样, 证明了实数集合的不可数性”。认为“康托对角线法只是证明了实数集不能与具有特定含义的位数一一对应, 但却并没有证明实数集不能与其它无任何特定含义的自然数一一对应。”并且，“用丰满二叉树足可证明实数集可数。”并说，“由于实数集(连续统) 的可数性问题的彻底澄清, 关于作为希尔伯特第一问题的连续统问题的地位及解决是不言而喻的”。

沈先生这样轻而易举地否证连续统假设，这在公理集合论经一百多年的发展而为当今主流数学（形式主义学派）所不能接受的。尽管哥德尔曾经指出：“我相信, 由于所讲的一切, 人们有充分理由猜想, 连续统问题在集合论中所起的作用将是导致发现新的公理, 这些新公理将使我们有可能否定康托的猜想。”这里，康托的猜想即连续统假设。

但是，沈先生既然提出来了，当今的主流数学界就应回答这一挑战。不过，由于专业语言与训练的区别，我想有不少搞数学基础的学者还不适应这样的论述与表述。这也是沈先生的文章难以在主流数学杂志上发表的另一个原因。

本书作者在P151页“伪定理5—1”对康托对解线法进行了细致的分析，这很难为形式主义学派的数学家所接受。因为要否定一个定理，在数学上通常的作法有两种，一是在证明中找出直接的逻辑错误点，另一是举出一个反例，而不是对证明方法本身进行评述。这就是数学家难以接受的一个技术上的原因，也是难以读下去的一个原因。

所以，直觉主义学派，干脆不承认实无穷，而采取构造性的作法，不参与超穷数的讨论，并不要求形式主义学派的数学家承认。现在，直觉主义学派在计算机科学中得到了相当的应用。这也是否定康托连续统假设的一条出路。

事实上，连续统假设在数学的更深层次上，产生了许多难以克服的矛盾，但是数学正是把大厦建立在这种深刻而内在的矛盾上。这就是数学家的痛苦。知我者谓我心忧，不知我者谓我何求。

下面，对相关问题作一简单回顾。

记连续统的基数为c，有结论

同时，康托定理证明，对任何集合，其幂集合的基数恒大于该集合的基数。这就解决了无穷多个基数的存在性问题。而本书认为，这缺乏现实模型，且否认这种无穷的分层次观点。

        事实上，[0，1]区间上所有实函数做成的集合的基数就大于c。而且，对任意若干个基数作成的集合，则必存在基数，它大于该集合中的每个基数。

        Bernstrin定理又解决了基数的偏序问题，于是，有基数的序列

康托的连续统假设是

而广义连续统假设是

    Cohen在1963、1966年的著名工作中指出，连续统假设在Zermelo—Fraenkel公理集合论中是不能证明的。但是，Cohen又指出，可构造公理可推出广义连续统假设（这为1949—1961对可传模型理论的研究所证实），当然，可构造公理在Zermelo—Fraenkel公理集合论中也是不能证明的。可构造集合的概念是哥德尔在1938—1940年提出的，由此论证了广义连续统假设与选择公理的相容性。

那么，广义连续统假设是不是在数学上就非常完美而不引起矛盾呢？1947年，Sierpinski发表证明说，广义连续统假设可以推出选择公理。那么，如果选择公理出问题，自然就产生对广义连续统假设的质疑。这从Zermelo—Fraenkel公理集合论中承认与不承认选择公理可以看出矛盾。

    1924年，在承认选择公理的条件下，证明了Banach—Tarski分球定理，讲一个铜球可以分成与之相同大小的两个铜球。这是一个有悖于常识的怪定理。于是，有人不承认选择公理，如直觉主义学派的布劳威尔。但是，不承认选择公理会证明更多的怪定理。基本Cohen模型是不满足选择公理的，于是在该模型中可以证明函数在一点处既连续又不连续。

    所以，数学基础并非坚固不破，也不是不可质疑。数学自身发现的矛盾是非常深刻的，对这些矛盾，数学至今都难以克服，其固有性质也不是用哲学思想就能解决的。如果要从哲学上来考虑，那么，基于公理的数学就是基于信仰。

    四、研究的对象与模型

    本书认为，无穷层次观缺乏现实模型支持，于是转向自然数的“统一”无穷观，建立新的无穷观的“理想记数器模型”。

    “理想记数器模型”是本书研究的重点，“利用这个模型作者发现了无穷位编码仍然是无穷个的ICI原理（即10^∞=∞），它是作者提出统一无穷理论的基石。”（P95）

    利用“理想记数器模型”，作者探讨了潜无穷与实无穷长期对立的根源，设计出了“潜无穷理想记数器模型”和“实无穷理想记数器模型”。其在计算科学与信息科学中的意义，在本书的序一和序二中有评述。

    “实无穷理想记数器模型”，也试图走公理化的道路（P143），为其建立理论基础，但在这方面还有相当的路要走。一个问题是要考究其正确性。这一模型，还是用自然语言描述的基于语义的模型，还不是逻辑意义上的模型。

        在模型论中，一个一阶语言是符号集、项集与公式集的三元组；一个一阶语言的语义是一个结构，这个结构是该语言的一个解释，即一个结构是全域、函数集、谓词集、以及相应的符号的解释映射所构成的四元组；一个一阶语言上的一阶理论是语言、公理集、推理规则集构成的三元组；如果，一个一阶理论的所有非逻辑公理都在某结构中有效，则称该结构是这个一阶理论的一个模型。

        由此可见，数学意义上的模型不过是满足某个理论的结构，而这个理论的非逻辑公理只要满足相容性、独立性即可。因此，数学上的模型不必要求其一定具有物理世界的原型。而连续统问题，不过是公理集合论中讨论的问题，这与物理现实已有相当距离，它描述不了整个现实世界。在许多数学分枝中，尤其是应用型数学分枝中，也是到∞就止步了

        同样，“实无穷理想记数器模型”，不过是计算科学与信息科学中的一个语义的而非形式化的模型，同样不是世界模型，它的适用范围是特定的。让它与公理集合论中众多的形式模型相抗衡，解决它难以解决的问题，实在有些勉为其难了。

        直觉主义学派就是基于信仰，而走上了另一条有一定价值的道路。

        五、非标准实数系

        在数理逻辑中，自然数模型是具潜无穷观点的。例如，自然数理论N，如下：

        N的非逻辑符号是：常元符号0，一元函数符号s（后继函数符号），二元函数符号+（加）和 （乘），二元谓词符号<。N的非逻辑公理是

满足自然数理论N的模型，称为自然数标准模型，记为N。显然，其全域是“所有自然数的集合”。

       本书认为，这不是自然数集，也不是无穷集合。因为，这里没有实无穷的无穷大∞。在第143页的公理5—1中，作者提出了自然数公理，其中第二条是“无穷大∞是N（自然数集合）中唯一没有后继的元素。”

        但如何理解∞的前趋，作者就提出了“最大的非无穷自然数∝”作为∞的前趋，用编码表示∝=（9…9），那未∝的前趋又是什么。为此，作者又引入“有穷自然数的内极限 ”，用编码表示 =[9…9],其后继为ω。作者认为“这是实无穷位计数器模型中出现的意想不到的现象之一，它帮助作者发现了趋近无穷自然数序列的存在。所谓趋近无穷自然数就是从ω到∝之间的超穷自然数，它们都是在现实世界中无法书写的理想数”。

        从而，作者构造出实无穷的一个“完整自然数集N”，

N={0，1，2，…，n，n+1，…， ，ω，…，∝，∞}

相对于N，N是非标准自然数系。通过无穷大∞，作者引用实无穷小δ=1/∞，并给出具实无穷的实数区间[δ，∞]。至此完成统一的无穷概念的建立。

下面的问题是如何定义N上的运算，显然这比标准自然数集N上的运算要复杂。例如，超穷自然数上的加法，能否用递归的方式来定义。似乎要依赖实无穷理想记数器模型上的加法器设计。

        顺便提一下，数理逻辑上非标准实数域是通过超滤子的代数方法构造出来的。将自然数集到实数域的映射按函数的加法与乘法做成一个交换环，再将该交换环与其上的最大理想做商集，从而得到非标准实数域。

    后记

。。。。。。

        说实在的，要想在近一个月的时间里看完而非看懂《统一无穷理论》，尤其是要深入了解其中的技术细节，基本上是不可能的，所以，只能凭一时的感觉写了一点读书注记，遑论中肯，也只能请专家批评了。

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后记的后记：可以拍砖，但不要笑，我说的都是行外话。