一千七百多年前，我们的祖先就知道，半径为R的球体的体积大约是(9/2)R^3。后来祖冲之的儿子祖暅精确地求得球的体积是(4π/3)R^3。这个结果现在连念初中甚至小学的娃娃都耳熟能详了。我们从这里起步，来考虑一些问题。

 

设想一个小球象小孩一样，有出生和长大的过程。为简单起见，我们假定它刚出生时是个体积为零的“小不点儿”，然后其半径以恒定速率G增长。请问，一个在时刻t1出生的小球，到了时刻t (t ≥ t1)， 它的体积是多大？答案很简单：

(4π/3)[G(t - t1)]^3。也就是说，小球的体积取决于时间间隔(t - t1)。我们把这个变量记作V(t - t1)。当t < t1，V(t - t1) = 0。

 

现在我们要考察分布在空间中的许多小球，其中一些小球出生时刻是t1，而另外的小球的出生在t2.。假设t1时刻出生的小球在每单位体积中的数量是ΔN(t1)，出生于t2时刻的小球在单位体积中的数量是ΔN(t2)(注意，这里ΔN(t1)和ΔN(t2)都不必是整数)。请问，到了时刻t (t > max(t1, t2)), 每单位体积空间中所存在的小球的总体积(即小球的体积分数)是多少？答案也很显然：

 

V( t - t1)ΔN(t1) + V( t - t2)ΔN(t2)

 

问题很容易推广到任意多出生时间。我们还可以进一步考虑小球们的出生不是间断的而是连续不断的情形。用ψ(t)来表示在t时刻小球的体积分数，我们得到如下结果：

 

ψ(t) =∫V(t-s)dN(s)

 

如果N(s)可导，上式也可写成

 

ψ(t) =∫w(s)V(t-s)ds

 

这里的w(s)是N(s)对时间的导数。我们以第一个小球出生的时刻为零时刻，当s < 0 时， N和w都取零值。特殊情况下，N(s)还可以是阶梯函数，而相应的w(s)便表达为δ函数。积分的上下限可以分别是∞和-∞。然而，在区间[0，t]之外，被积函数为零，所以通常以[0，t]为积分区域。

 

这个式子，瞅着象曹老师们这一两天讨论得热火朝天的“卷积”。怎么一不留神也卷进来了？这也不奇怪，因为卷积在工程领域经常会遇到，线性拈弹性的Boltzmann迭加原理也是常见的一例。不过，作为工科出身的人，我本人对卷积的理解主要是从一个个具体问题中来，好象它的出现是一件水到渠成的事。至于当年的数学课，只记得用的是南京工学院数学教研组编的试用教材，很薄，早不知丢到什么地方去了。课程是积分变换，卷积的内容大概只用了两三节课吧。尚留在印象中的，除了老师用抑扬顿挫的南方口音反复塞进我们的耳朵的一句绕口令──两个函数卷积的拉普拉斯变换等于这两个函数拉普拉斯变换的乘积──以外，其余细节都“往事如烟”了。尽管如此，我相信曹老师所说的，从数学上了解卷积的本质对非数学专业的人士也是很重要的，期待看到更多数学科普。好了，我们回到小球的话题上来。

 

不少实际问题可以模型化为许多固体小球悬浮在液体中。分析这些实际问题的时候，前面得到的关于ψ(t)的表达式可否直接用来计算悬浮液中固相小球的体积分数，或曰体积浓度？通常是不行的，因为上述结果隐含一个前提，那就是小球可以在空间中不受限制地增大，而在现实里不存在这样的“自由世界”。实际中的悬浮液总是装在容积有限的容器中，当数目众多的小球体积增大的时候，就会越来越拥挤，继续增大的余地也越来越小，必然导致实际浓度的增加缓慢下来并最终停止。问题开始有点复杂了是不是？但工程的处理方法并不复杂，虽然很粗糙。我们不妨称ψ(t) 为虚拟体积分数，而用φ(t)来代表实际体积分数。如果小球在液相介质中均匀分布，当虚拟体积分数增加一个小量dφ(t) 的时候，相应的实际体积分数增量dφ(t)可以表达为

 

dφ(t)= [1-φ(t)]dψ(t)

 

方程右边的[1-φ(t)]是浮液中液相介质的体积分数。这个方程的物理意义很简单，当液相介质所占的的体积越来越小时候，固相小球的体积分数的增量也随之而下降。解上面的方程，得：

 

φ(t) = 1 - exp[-ψ(t)]

 

这个方程常用于球晶的等温结晶动力学，长期以来被称为Avrami模型，因为Avrami在1939年发表了这个结果。其实，Kolmogoroff在1937年已经用不同的方法获得相同的结果，只是Kolmogoroff的文章发表在俄文刊物上，很迟才引起国际同行的注意。

 

还有一个人们感兴趣的问题是：悬浮小球的存在对系统的物理性质──例如黏度──有什么影响？如果介质(有些场合称为“溶剂”)是牛顿流体，而且小球的体积分数很低，这个问题有一个看起来简单漂亮的答案：

 

η= μ(1 + 2.5φ)

 

式中μ是介质的黏度，φ是小球的体积分数，η是悬浮液系统的黏度。相信多数读者朋友都知道这个公式的发现者是谁。对，爱因斯坦。结果虽然简单，得到这个结果的过程却不简单，论文的审评人之一认为这项工作“完成的论证和计算是流体力学中最困难的”。爱因斯坦用这个方程和扩散理论相结合，提出了一种测定分子大小和阿伏枷德罗数的新方法。当然，他的方法只适用于低浓度，并且需要假设分子是球形的。

 

进一步，可以考虑高浓度，或者非牛顿介质等更复杂的情况，这些，有些已经解决了，有些还有待于后人的既往开来。提到既往开来，让我引用钱宝琮先生的一阕吟咏中国古代数学成就的《水调歌头》来结束本文吧。

 

《水调歌头》
──钱宝琮

 

历法渊源远，算术更流长。
畴人功业千古，辛苦济时方。
分数齐同子母，幂积青朱移补，经注要端详。
古意为今用，何惜纸千张！

 

圆周率，纤微尽，理昭彰。
况有重差勾股，海岛不难量。
谁是刘徽私淑？都说祖家父子，成就最辉煌。
继往开来者，百世尚流芳！