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来自月球引力波的计算

已有 484 次阅读 2026-9-9 14:51 |系统分类:科研笔记

月球绕地球运动也会产生引力波。设月球的轨道半径为R，以地球为参考系，坐标原点在地心，地球上的观察者在半径R的球内，本博文处理来自月球的引力波。

$月球在Y轴时刻记作零，{t}_{1}., 时刻发出的引力波., t., 时刻到达., X系., (x,., y,., z)., 点$

$有关系., t-{t}_{1}=.sqrt {{(x+Rsin.omega {t}_{1})}^{2}+{(y-Rsin.omega {t}_{1})}^{2}+{z}^{2}}.approx R$

$这里利用了R>>r=.sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$

参考上上期的双星旋转图，不难看出月球上坐标X'系与地球上坐标X系存在下列关系

$t'=t,., ., ., ., ., ., ., z'=z,., ., ., ., ., x'=x+Rsin.omega (t-R)., ,., ., ., ., ., ., y'=y-Rcos.omega (t-R)$

$在X'系，月球的引力场是静态的球对称引力场., {g'}_{.mu .nu }={.eta '}_{.mu .nu }+{h'}_{.mu .nu }$

${h'}_{00}=.frac {2GM} {r'}., ,., ., {h'}_{01}={h'}_{02}={h'}_{03}=0$ , ${h'}_{ij}=f(r){.delta }^{ij}+.psi {x'}^{i}{x'}^{j}/{r'}^{2}$

M 为月球质量。现在把这组度规变换到X系，此即地球观察者看到的来自月球引力波。由张量变换关系

${h}_{.mu .nu }=.frac {{.partial x'}^{.alpha }} {{.partial x}^{.mu }}.frac {{.partial x'}^{.beta }} {{.partial x}^{.nu }}{h'}_{.mu .nu }$

计算结果如下

${h}_{00}={h'}_{00}+{(R.omega )}^{2}[f(r')+.psi (r'){{/r'}^{2}}[xcos.omega (t-R)+ysin.omega (t-R)]$ ${h}_{01}=R.omega f(r')cos.omega (t-R)+R.omega .frac {.psi (r')} {{r'}^{2}}[x+Rsin.omega (t-R)][xcos.omega (t-R)+ysin.omega (t-R)]$ ${h}_{02}=R.omega cos.omega (t-R)f(r')+.frac {R.omega .psi (r')} {{r'}^{2}}[y-Rcos.omega (t-R)][xcos.omega (t-R)+ysin.omega (t-R)]$ ${h}_{03}=0,$

${h}_{11}={h'}_{11},., ., ., {h}_{22}={h'}_{22},., ., {h}_{33}={h'}_{33}$

${h}_{12}={h'}_{12},., ., {h}_{23}={h'}_{23},., ., ., {h}_{13}={h'}_{13}$

$完整的度规形式为., {g}_{.mu .nu }={.eta }_{.mu .nu }+{h}_{.mu .nu }$

$注意，r'=.sqrt {{(x+Rsin.omega (t-R)]}^{2}{+[y-Rcos.omega (t-R)]}^{2}+{z}^{2}}$

$在地球表面., r'.approx R$

设一物体静止在地球的表面X轴上，它受到的月球引力的测地线方程为

$.frac {{d}^{2}x} {{dt}^{2}}=-{.Gamma }^{1}_{00}=-R{.omega }^{2}f(r')sin.omega (t-R)-.frac {{.psi (r')., .omega }^{2}{r}^{2}_{0}} {r'}sin.omega (t-R)-$

$.frac {GM} {{r'}^{3}}[x+Rsin.omega (t-R)]$ , ${r}_{0}., 地球半径$

前二项代表引力波，最后一项是通常的引力，忽略第二项，当月亮正对地球时正弦为-1，第一项与第二项之比为

$.frac {R{.omega }^{2}} {R-{r}_{0}}[4GMln(R-{r}_{0})-7GM/6].div .frac {GM} {{(R-{r}_{0})}^{2}}=R{.omega }^{2}(R-{r}_{0})[4ln(R-{r}_{0})-7/6]$

回到国际单位，月球轨道半径R为38万公里，地球半径6400公里，月球运动速度为1.023公里/秒，4ln(380000000-6400000)- 7/6 =78, 上式里的

${(R.omega )}^{2}=.frac {{v}^{2}} {{c}^{2}}={(.frac {1.023} {30000})}^{2}$

代入可知第一项与第二项之比为(即引力波项与通常的引力项强度之比）

$.frac {78} {{300000}^{2}}$

因此引力波微乎其微，现有仪器很难测到。

$注意，f(r')=.frac {4GMlnr'} {r'}-.frac {2GMln{r}_{0}-7GM/6} {r'}$

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