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任意运动质点辐射的引力波求解

已有 371 次阅读 2026-9-16 17:09 |系统分类:科研笔记

上几篇博文求解了低速运动的质点所发引力波，本文求解任意质点所发引力波。与以往不同的是，这里直接利用球对称的静态度规通过合适的坐标变换得到引力波解，不利用谐和条件，所得引力波完全依赖质点的运动状态，中间不夹杂其它假设（如通常为消除度规张量分量引进的无穷小变换）。证明引力辐射不仅有四极辐射也有偶极辐射。

在直角坐标系，满足光速极限要求的、球对称的远离源处或弱场近似下的静态度规为

${g'}_{00}=-1+.frac {4GM} {r'}，{g'}_{0i}=0，$

${g'}_{ij}=(1-.frac {4GMlnr'} {r'}){.delta }^{ij}+.frac {{x'}^{i}{x'}^{j}} {{r'}^{2}}(.frac {4GMlnr'} {r'}-.frac {2GM} {r'})$ $i,., j., =1,., 2,., 3., 是空间指标，i=j., 时.delta =1，不等时.delta =0$ $撇号代表与质点静止系的坐标，r'=.sqrt {{x'}^{2}{+y'}^{2}+{z'}^{2}}$

这组度规即体现光速极限又能描述三大实验又无奇点，因此是唯一正确的度规，它的地位相当于电磁学里的静电势。

运动物体向外辐射引力势，速度为光速，自然单位为1，空间某点（x, y, z）t 时刻的度规是之前

${t}_{1}., 时刻的静态度规。且., t-{t}_{1}={r}^{*}=.sqrt {{[x-{x}_{M}({t}_{1})]}^{2}+{[y-{y}_{M}({t}_{1})]}^{2}+{(z-{z}_{M}({t}_{1})]}^{2}}$

${x}_{M}., 是运动质点M的坐标$ $，上式原则上可解出{t}_{1}$

${t}_{1}={t}_{1}(t,., x,., y,., z)$ $,., 利用隐函数求导得$

$.frac {{.partial t}_{1}} {.partial t}=1+[.frac {x-{x}_{M}({t}_{1})} {{r}^{*}}.frac {{.partial x}_{M}} {.partial {t}_{1}}+.frac {y-{y}_{M}({t}_{1})} {{r}^{*}}.frac {{.partial y}_{M}} {.partial {t}_{1}}+.frac {z-{z}_{M}({t}_{1})} {{r}^{*}}.frac {{.partial z}_{M}} {.partial {t}_{1}}].frac {{.partial t}_{1}} {.partial t}$

$因此., .frac {{.partial t}_{1}} {.partial t}=.frac {1} {1-.frac {1} {{r}^{*}}[(x-{x}_{M}({t}_{1}).frac {{.partial x}_{M}} {{.partial t}_{1}}+(y-{y}_{M}).frac {{.partial y}_{M}} {{.partial t}_{1}}+(z-{z}_{M}).frac {{.partial z}_{M}} {{.partial t}_{1}}]}$

$.frac {.partial {t}_{1}} {.partial x}=.frac {x-{x}_{M}} {{r}^{*}}(1-.frac {{.partial x}_{M}} {{.partial t}_{1}}.frac {.partial {t}_{1}} {.partial x})+.frac {y-{y}_{M}} {{r}^{*}}.frac {{.partial y}_{M}} {{.partial t}_{1}}.frac {{.partial t}_{1}} {.partial x}+.frac {z-{z}_{M}} {{r}^{*}}.frac {{.partial z}_{M}} {{.partial t}_{1}}.frac {{.partial t}_{1}} {.partial x}$

$.frac {{.partial t}_{1}} {.partial x}=.frac {x-{x}_{M}({t}_{1})} {{r}^{*}-(x-{x}_{M}).frac {{.partial x}_{M}} {{.partial t}_{1}}+(y-{y}_{M}).frac {{.partial y}_{M}} {{.partial t}_{1}}+(z-{z}_{M}).frac {{.partial z}_{M}} {{.partial t}_{1}}}$

设与质点随动系X',Y',Z' 与静止系X,Y,Z的坐标轴始终平行，那么有关系

$x'=x-{x}_{M}{(t}_{1}),., ., y'=y-{y}_{M}({t}_{1}),., z'=z-{z}_{M}({t}_{1})., ,., ., ., t'={t}_{1}(t,., x,., y,z)$

$利用张量变换关系., {h}_{.mu .nu }=.frac {{.partial x'}^{.alpha }} {{.partial x}^{.mu }}.frac {{.partial x'}^{.beta }} {{.partial x}^{.nu }}{h'}_{.mu .nu }., 把X'上的静态度规变换到X系就是$

我们所求的度规

${g}_{.mu .nu }={.eta }_{.mu .nu }+{h}_{.nu .mu }$

自此原则上可以求出任何运动质点的引力辐射场度规。具体计算时总要采取一些近似，如低速运动的质点常认为

$.frac {{.partial t}_{1}} {.partial t}=1，质点活动范围不太大时., .frac {{.partial t}_{1}} {.partial x}=0$ $,., 远离源处{r}^{*}=r,., .,$

辐射能流定义仍不变，不过需把原来的-8πG换为4πG，计算结果表明不仅有四极辐射也有偶极辐射。能流

${.iota }^{0i}=-.frac {1} {4.pi G}{.eta }^{0.mu }{.eta }^{i.gamma }[{R}^{（2）}_{.mu .gamma }-.frac {1} {2}{.eta }_{.mu .gamma }{.eta }^{.rho .sigma }{R}^{(2)}_{.rho .sigma }]$ $，其中{R}^{(2)}_{.mu .nu }., 是里奇张量的二阶部分$

这里需要进一步指出的是，以往利用无穷小变换即

${x'}^{.mu }={x}^{.mu }+{.xi }^{.mu }(x)$

$得到的度规物理上不可接受，因为它只有{h}_{11}，{h}_{12}，{h}_{22}=-{h}_{11}., 三项，$

尽管数学上没问题，但它直接抹去了最为重要的

${g}_{00}., 项，而{g}_{00}正是度规理论的主要特征项。当然也可以把这样变换得到的度规理解作$ $另外坐标系里的度规，但这个坐标系已不是我们所在的坐标系，与我们的测量无关$

第一次选择的坐标系才是我们所在的坐标系，这个坐标系里的度规才与我们的观测相对应。在这个坐标系里推迟解为

${h}_{.mu .nu }=k.int {.frac {dV'} {.left | {x-x'} .right |}}{S}_{.mu .nu }(x',., t-.left | {x-x'} .right |)$ $,., {S}_{.mu .nu }={T}_{.mu .nu }-.frac {1} {2}{.eta }_{.mu .nu }T$

${h}_{00}., 不为零，对引力波其决定作用的{h}_{0i}., 也可能不为零，这就保证了我们测到$

的引力波既有偶极辐射成分也有四极辐射成分，是纵横波的混合波。

但这并不是说这个解完全正确，因为它是通过谐和条件得到，而谐和条件的物理意义不清，也没得到太阳系里的检验，相比上面通过光速不变解得到的度规可靠性要差些，但总比只有三项分量的度规好得多。

有人认为坐标变换后的度规与原度规表示同样的物理内容，但这里面有个前提，就是变换后的坐标不得赋予新的独立的意义，如果赋予新的独立意义那就是另外的解。之所以平时所作的直角坐标到球坐标的变换不改变物理内容就是因为球坐标是由直角坐标赋予意义的而不是脱离直角坐标的另起炉灶。

像上面谈到的只有三项分量的度规，如果变换后的坐标仍赋予原来坐标含义，变换后的度规相对于原度规就是新的另外的解。从后来的应用来看是当作新解使用的，因为原解的物理结论不是这样的，新解直接否定了对静止物体的作用力，从它的测地方程可以看出静止粒子不受引力波的作用力。因此，所谓LIGO测到的引力波不可能是这仅有三个度规张量分量的引力波，因为LIGO是静止的。

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