数学哲学宣言——《纯粹理性批判》序言的启示

吕梨杰 吕梨杰 怀疑之路   

数学与哲学由于其各自形式与表达方式迥异，数学哲学的研究面临一个困境，如康德说 的：

人类理性在其知识的某个门类里有一种特殊的命运，就是：它为一些它无法摆脱的问题 所困扰；因为这些问题是由理性自身的本性向自 己提出来的，但它又不能回答它们；因为这 些问题超越了人类理性的一切能力（AVI）。

如果承认数学的背后有某种形而上学，即在数学中有哲学的问题，那数学是无法摆脱这 些问题的；因为这些问题是由人类理性向数学提出来的，但数学并不回答它们，因为它们是 哲学问题，超越了数学的语言表达范围。

数学不回答哲学问题在现实中是常见的，如古希腊第一个哲学问题——万物的本原是什 么？在数学的世界里对应的是——数学的本原是什么？数学对此并无回应。但正如康德说 的：

理性只会看出它自己根据自己的策划所产生的东西，它必须带着自己按照不变的法则进 行判断的原理走在前面，强迫自然回答它的问题（BXIV）。

这也是数学哲学应该做的。以哲学的理性原则作为评判的原理摆在科学面前，强迫数学 回答哲学的问题，对数学本原的形而上思索让我们得出：数学的本原是数，数学是数的回复 与认识。

一．数学哲学的问题

在近代西方，科学出现的前夜，科学是以哲学的面貌为人们所熟知的，如牛顿，莱布尼 茨和笛卡尔等。在那个时代，“形而上学被称为一切科学的女王（AIX）”，我们应该有充分的 理由相信那个时代的科学和哲学之间有某种确切的关系，如微积分由牛顿和莱布尼茨创立， 他们都是当时的伟大哲学家，相信微积分是他们探索哲学问题的理论成果，虽然那时的微积 分与我们现在说的微积分理论略有不同，但数学与哲学在那时是平行发展的。牛顿曾说自己 “站在巨人的肩膀上 ”，那这些巨人都有谁呢？从微积分来看，巨人包括笛卡尔，因为微积 分的哲学是“我思故我在 ”，具体来说，微积分基本公式的逻辑结构与笛卡尔的“我思故我 在 ”具有同一性。莱布尼茨作为哲学家，推进了对这一哲学问题的认识，其成果是单子论； 而在数学中为微积分基本公式奠定基础的是极限论，极限理论与单子论是同一思想在数学与 哲学中的不同表现形式。我们这个时代对数学的认识在呼唤哲学，数学哲学最困难的是认识 数学的主体性和自我性，并在哲学中获得合理的解释，这种哲学应是有批判精神的理性论。 康德说这个时代吁求理性：

要求它重新接过它的一切任务中最困难的那件任务，即自我认识的任务，并委任一个法 庭，这个法庭能够受理理性的合法性保障的请求（AXI）。

现在我的研究观点是前无古人的，以往数学哲学的探讨有二者分离的特点，我自认为在 微积分上找到了数学与哲学二者思想同一的坚实支撑。我也大胆说一句，所有的形而上学问 题在数学中有所体现或在数学中有应对之法，因为微积分涉及的思维与存在的同一性问题在 数学分析中已有完善的总结，如实数理论就是微积分的完备化。在具体的考察中我只关心哲 学的基本内容和数学的基本理念，对二者的详尽认识来自我内心的领悟，对此的一个评判准 则是从逻辑上看它们的一致性。诚如康德所言：

我只想和理性本身及其纯粹思维打交道，对它的详尽的知识我不可以远离我自 己去寻 找，因为我在我自身中发现了它们，······这里有一个问题，即如果我抽掉经验的一切素材

和成分，我凭借逻辑可以大致希望有多大的收获（AXIV）。

当下的数学哲学研究是否在一门科学的可靠道路上进行？其进展的结果如何？我们正 在进行的数学形而上学探究是否走上了一门科学的可靠道路？在我看来，当下的数学形而上 学研究是康德所说的“只是在来回摸索（BVII）”。在回顾科学的可靠道路时康德注意到了逻 辑学，同样数学哲学的逻辑可能自古以来就是很确切的，从古希腊的毕达哥拉斯到近代的笛 卡尔和莱布尼茨，他们的数学跟哲学思想的关系是可以确定的，但我怀疑不研究这些问题的 现代（二十世纪）数学哲学有些不像样子，因为数学哲学的确切规定是：一门要对数学的思 维形式作哲学的阐明和严格的论证的科学。如康德说的逻辑学是一门“要对一切思维的形式 规则作详尽的摆明和严格的证明的科学而已（BVIII）”。逻辑学的成功给康德的提醒是：

当理性不单是和自身，而且也要和对象发生关系时，对于理性来说，选定一条可靠的科 学道路当然会更加困难得多（BIX）。

可见，当下哲学要和数学打交道并发生关系，对哲学来说，选择怎样的数学理论进行反 思极为重要。

二．数学哲学方法的探讨

康德在题为“纯粹知性概念的演绎的先验分析论 ”第二章中的深入考察分两个方面：一 方面涉及到纯粹知性的那些对象，应当对知性的先天概念的客观有效性作出阐明和把握；正 因此这也是属于我的目的中本质的方面。另一方面则是着眼于纯粹知性本身，探讨它的可能 性和它自身立足于其上的认识能力， 因而是在主观的关系中来考察它（AXVI）。

康德提示我们，纯粹数学概念的先验分析和演绎极为重要，分两个方面：一是对数 学对象的先验解释，阐明其思维的本源；另一方面是对其中先验逻辑理念的主体性考察。数 学哲学研究的要求似乎是找到数学的哲学依据，即数学的思维规定，这样“数学是如何可能 的？ ”就有了哲学的解释，但我们的主要问题是数学与哲学的同一认识了什么，对二者是否 有新的认识。

康德关于数学思维革命的认识值得我们仔细分析：

那第一个演证出等边三角形的人，在他心中升起了一道光明；因为他发现，他不必死盯 住他在这图形中所看见的东西，也不必死扣这个图形的单纯概念，仿佛必须从这里面去学习 三角形的属性似的，相反，他必须凭借他自己根据概念先天地设想进去并（通过构造）加以 体现的东西来产生出这些属性，并且为了先天可靠地知道什么，他必须不把任何东西、只把 从他自己按照自 己的概念放进事物里去的东西中所必然得出的结果加给事物（BXII）。

依据上述这一逻辑，我们也对微积分作一番描述：提出微积分基本理念的牛顿或莱布尼 茨，他没有死死盯住笛卡尔坐标系中的曲线，也不是死扣曲线的切线即导数这个概念，去学 习其中的内容；而是凭着“ 我思故我在 ”这一哲学理念设想其对应的数学形式并在笛卡尔坐 标系中构造函数的相关概念来实现这一理念，并且为了使产生的数学对象是有哲学依据的， 他们只把思维按哲学的概念放进曲线即函数里去的导数所得出的思维变化规则加给函数。对 于微积分，是理性论哲学根据自己策划并产生的结果而形成的，理念带着自己思维与存在同 一的法则作为判断的原理出现在牛顿、莱布尼茨的头脑中，强迫自然关系及其规律回答这个 同一性问题。

康德哲学的建立受益于数学的思维方式，尽管他列举出来的例子如“7+5=12 ”等在我们 现在看来并不能代表数学。我们不禁要问：数学哲学对形而上学的发展有何启示呢？数学分 为已知的理论和对未知问题的求索，前者如微积分后者如哥德巴赫猜想，可以想见，形而上 学的未来与数学中的未解问题有关联。在以往对微积分哲学的认识中，我们发现微积分的原 则规定是先前的哲学原理，而今哲学的发展似乎落后科学即数学了，那么现代数学中的理论 和问题是否能推动哲学前进呢，我认为这是有可能的。根本的原因是数学的哲学基础是心灵，

而心灵是人类思想的本原。用康德说的由“知识依照对象 ”转变为“对象依照知识 ”的思路 概括数学与哲学的发展便是： 由“数学依据哲学 ”转变为“哲学依据数学 ”。

康德的思维变革是有代价的，因为：

这种知识只适用于现象，相反，自在的事物本身虽然就其自己来说是实在的，但对我们 却处于不可知的状态（BXX）。

对此，我们也认为数学哲学只能解释一些现象，比如笛卡尔坐标系的哲学是笛卡尔的“身 心交感论 ”，数学的自在之物是人类心灵，哲学思想的自在之物是数（心灵）；数与心灵对于 数学哲学也是不可知的，也就是说无法由数学哲学得知数与心灵的关系；相反，数学哲学的 存在与合理性倒是要由数与心灵的同一性来保障，数与心灵的同一是数学哲学的目的。

如果我们把数学知识作为数的本原（即心灵）的对象，而数学知识实际上是数的对象 及其规定，那么数与心灵就被当成一物的两面，引发矛盾。数学知识与哲学命题的一致性有 怎样的实践理性呢？当我们否认了心灵在数学这一超感官领域中的一切进展之后，留给我们 的试验是在其他领域中（如文学）进行某种实践，即“数学思维建模 ”，对文学这一心灵实 现的产物进行数学的认识，也许能发现另一种意义下的数学，如“伦理学之后（邓晓芒语）” 的微积分。

三．数学哲学的实践与文学数学研究

纯粹思辨理性的这一批判的任务就在于进行那项试验，即通过我们按照几何学家和自然 科学家的范例来着手一场形而上学的完全革命来改变形而上学迄今的处理方式（BXXIII）。

对于数学哲学这一纯粹综合性的理论学科来说，同样地，它的任务就在于“数学思维建 模 ”这一试验，即通过我们按照数学这一自然科学理论（如微积分）来进行一番文学即灵魂 之学的认识和评价。数学哲学自身有一个特点，比如从哲学的角度来看数学，即选择了某一 种哲学思维的角度来审视一个数学理论，但也有这一哲学理论看不到的东西。要想从哲学上 完整地看清一个数学理论，需要把相关的哲学作完整的罗列并分析，如微积分就涉及笛卡尔 的“我思故我在 ”学说，莱布尼茨和康德的统觉理论及《存在与时间》。对于文学中的对象， 用数学或哲学赋予它的是评论者主体从自己对数学哲学的认识中取得的观点，而数学哲学可 以说是一个统一性的体系。

数学哲学由于其理论特点是已完善的，而文学中充满着各种“不定论 ”；也许在用数学 哲学去评论文学中的人物和事件时，只能就事论事，而不能去造就理想人物和为他们做最佳 选择，也就是不要凭纯粹理性去超越文学作品提供的经验，这是第一步要做的。

用数学哲学探讨人工智能分为两步，即理论与实践。理论的部分即用特定的数学哲学理 论来评论特定的文学作品，其最终的结果是对普遍人性有了数学的形式化表示；实践则是从 对普遍人性的符号化认识出发，对现实具体问题进行分析并作出合乎理性的决策。而如果在 理论部分就考察现实问题并试图给出解决方案则是超出了数学哲学理论的界限，结果会使得 这一理论的存在性和合理性被质疑。这里的原由是：人类的心灵本身是数学哲学的自在之物， 是它无法认识的，但数学哲学却能思维人的各种知情意的表象。

心灵的本质是自由的，虽然康德说“就被设想为现象中（在可见的行动中）必然遵守自 然法则， 因而是不自由的（BXXVIII）。”依据这个思路，如果我们关于数学哲学的关系没有 搞错的话，我们已经有了一些数学哲学的结论但其他的或更多的我们一无所知，已知的是现 象，未知的含有自在之物（心灵与数的同一），后者是数学哲学追求的目标。文学是心灵的 表现，即便是在一部文学作品中，人物的行动与关系也被当作现象，而那真实的自我或灵魂 则是自在之物。当我们用已知的数学哲学来设想文学作品中人物的表现现象，是有必然的法则的，亦即有定论，人物的灵魂在此处似乎是不自由的，因为它必须服从数学哲学的原则与要求，而除此之外人的灵魂是自由的，且并无矛盾。

由于对自由的崇敬，康德提出：“因此我不得不悬置知识，以便给信仰腾出位置（BXXX）”。 数学哲学的信仰是：自由灵魂对最高存在的永恒追求。数学哲学的已有结论对此的认识是无 力的，它反而是前者的某种表象。数学形而上学的思考将一直存在，伴随着人工智能的发展。 而在这个未来的人工智能时代里，“一切反对道德和宗教的异议都将以苏格拉底的方式、即最清楚地证明对手的无知的方式结束了（BXXXI）。”

参考文献：

康德《纯粹理性批判》序言，邓晓芒译，杨祖陶校。

吕梨杰  修改于2025年3月11日