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5.时空间隔的导出及其普适性分析

在相对论中，定义四维标量                  （1）

为两事件间隔，并由此推断出空间和时间是密不可分的‘时—空’统一体.

从上图易看出，若在时刻，静止于三维直角坐标系原点处的光源开始辐射球面波，相对于点观测者而言，在时刻，波前的波振面方程是同（1）式四维时空间隔的形式完全一致.据此（1）式应理解为是静止光源辐射电磁波的波振面方程，是时刻点到波振面的切线长度，情形是波前在时刻还尚未到达点；情形是波前在时刻恰好到达点，此时的波振面方程为                                                （2）

波振面上任意一点的坐标是可以用四维坐标或来描述，并可以在三维直角坐标系中把这一点表示出来，见图2所示.四维坐标点在三维坐标中实际上就是一个具有长度为的矢量.

如果球面波不是静止于点的光源辐射，而是在时刻以速度运动的光源在通过点瞬间辐射的球面波，在时刻，这个球面波上的任意点则一定满足波振面方程                                                （3）

须要指出，上面带撇坐标仅表明是运动光源辐射球面波的方程，不能认为它是相对于动系的坐标，这里没有动系，只有一个静系和光源相对这个静系静止和运动两种情形.

由麦克斯韦电磁理论知道，满足（2）式的电磁波波函数是

（4）

其中，；是波矢方向上的单位矢量；；是静止光源辐射的球面波其波前沿方向相对静系的传播速度.满足（3）式的电磁波波函数是

（5）

其中；；；；是运动光源辐射的球面波其波前沿方向相对静系的传播速度.

如果假设和含有的电磁波波数相同，则必有（6）

也就是有（7）

上面两式两边分别相乘，则有     （8）

显然，若令                                          （9）

及                                                               （10）

就可得到                             （11）

可见，（11）式的导出并非是通过假设后，由（1）式导出的，而是通过假设和含有的电磁波波数相同，由（6）式导出.满足（11）式的变换式，一定是满足电磁波相位不变变换式.与‘时—空’变换毫无关系，也根本不存在‘时—空’变换式及‘时—空’不变间隔.

考虑惯性系与其同族的任一惯性系间的洛伦兹变换，相对性原理表明该变换原则上只取决于惯性系间的相对速度，也即变换系数应为速度的函数，令

下面证明对于同一个惯性系族，是一个常数，不妨称之为洛伦兹常数.

首先考虑轴上的情形，设惯性系、分别相对惯性系沿轴以速度、匀速运动，而惯性系相对的速度是，于是有

                                  （12）

                                  （13）

                                    （14）

将（12）代入（14）得

          （15）

比较（13）与（15）中各项系数可得

即有    

由惯性系的各向同性不难将结论延拓到任意同族惯性系，注意到洛伦兹常数的量纲是速度倒数的平方，由此不妨定义惯性速率为：

惯性速率不变推论:对于同一个惯性系族，一质点在相对其中一个惯性系的运动速率为惯性速率，则该质点相对同族其他惯性系的运动速率也为惯性速率.

系到系的速度变换如下：

若，可设

则有

证明了上述推论，可进一步引入四维时空点到坐标原点的时空间隔函数：

时空间隔不变推论：在洛伦兹变换下，矢量和张量一般都会发生变化，但有一些量会保持不变，因而称之为洛伦兹变换的不变量.因为洛伦兹变换在几何学上表现为“闵氏时空”的转动，在坐标系转动时，矢量的“长度”或“模”是不变的，因此洛伦兹变换保持时空间隔不变.由狭义相对论可知，时间间隔和空间间隔都是相对的，但时间和空间的统一融合体———闵可夫斯基连续空间却是绝对的，它表示为事件的四维时空间隔具有洛仑兹不变性.即dx2+dy2+dz2-c2dt2=dx2+dy2+dz2-c2dt2，这就是四维间隔的绝对性（不变性），它是光速不变原理、狭义相对性原理、时空均匀且各向同性三者的集成（数学表示），在相对论中具有核心地位，堪称相对论的基石.爱因斯坦本人对于这种时空融合的绝对性有过这样的论述：“依照狭义相对论，由空间和时间结合而成的四维连续区，仍保持着绝对性，而依照以前的理论，这种绝对性则分别为空间和时间各自所有.”

在闵可夫斯基时空中，一个惯性系中测得某静止事件（即发生在同一空间位置的事件）的时间间隔为，空间间隔为；测得某静止物体的质量为，动量为．在另一个相对于上述惯性系以任意恒定速度运动的惯性系中测量，上述事件的时间间隔为，空间间隔为；上述物体的质量为，动量为．根据狭义相对论，

             （16）

                 （17）

通过对比容易发现，上述两个关系式具有完全相同的数学结构．将（1.1）式等号两边同除，得

                                                       （18）

将（17）式等号两边同除，得                          （19）

将（18）式和（19）式进行对比，得                             （20）

即质量与时间间隔满足完全相同的物理规律．同样，动量与空间间隔也满足完全相同的物理规律．假设在第三个以另一恒定速度运动的惯性系中测量，前述事件的空间间隔为，前述物体的动量为，则

狭义相对论的上述结论分别揭示了时间、空间与物质、运动之间本质性的内在联系，是经过大量实验证明了的事实．我们把该结论作为物理学的一个基本原理，称为“狭义同一性原理”．其表述为：对于一切惯性系，物体的质量和动量分别与事件的时间间隔和空间间隔满足同一变换规律．

参考文献

【1】《狭义与广义相对论浅说》，上海科学技术出版社，1964.8，31页

【2】《场论》，Л.Л.朗道、Е.М.栗弗席兹著，任朗、袁炳南译，人民教育出版社1958年8月第一版，第14—15页.