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6.狭义相对论的时空变换

什么是相对论？研究相对运动系统内，物质运动变化规律的时空理论，就是相对论.根据相对论的定义，建立相对论，必须具备三个基本要素：第一，要有相对运动的系统存在；第二，相对运动系统都要处于动态平衡状态（爱因斯坦所称的惯性状态）；第三，系统中要有物质（事件）存在.在此三要素的基础上建立起来的时空理论，才是真正的相对论.

相对论存在于在动态平衡系统之中，没有动态平衡系统，就没有相对论的立足之地.因为，在动态平衡系统中，时空变换才能满足线性迭加规律.惯性力概念是马赫误导的结果.马赫认为：“惯性力在本质上是一种引力”（世界科技英才录——科学思想卷上海科技教育出版社）.王永久认为：惯性力是一种虚构的力，“这种虚构的力的本质是什么呢？在经典力学和狭义相对论中这是不可理解的”（空间，时间和引力湖南教育出版社）.

动态平衡原理，是地球上物理学定律成立的必要条件.物体在不受外力作用，或所受合外力作用为零的情况下，能够保持静者恒静，动者恒动，正是物体受动态平衡原理支配的结果.下面我们在动态平衡系统中，来建立物质运动变化规律的时空理论——相对论.在弹性介质中其振动的传播方程不是Galileo变换下不变的，只成立于与介质相对静止的参考系中.如果把介质看成“绝对静止系”，利用它即可测量任何惯性系的绝对速度.其次，同一介质之间不是总能保持相对静止的.

相对性原理告诉我们，在相对做匀速直线运动的系统中，对于同一事件运动变化规律的描述，具有相同形式的数学物理方程.相对性原理是自然界最基本的物理规律之一，也是宇宙学原理的体现.

什么是相对论的时空变换？在相对运动系统中，测量同一事件的时间和空间之间的关系，就是相对论的时空变换.同一事件是相对论时空变换的核心，时空变换是相对论的核心.

下面采用相对运动的物理参考系，来推导相对论时空变换的普适公式.

[图2]所示，在地球上，有两个物理系统Σ和Σ^，，设Σ系统为静止系统，系统中用t记时；Σ^，系统为运动系统，系统中用记时.在=t=0时，两系统重合.当Σ^，相对于Σ以速度V开始向X方向运动的同时，从原点射出一光信号.光在Σ系统中经过时间t，在Σ^，系统中经过时间到达的同一点P，系统的各个坐标轴始终保持平行.光从原点出发，在相对运动着的系统中，经过了不同的时间到达了同一终点P，它们之间的时空关系是：

-------（A）；--------（B）

将（A）和（B）两式两边平方后相加得

将上式移项整理得：---------（3）

在[图2]条件相同的的情况下，改变光的传播方向，如[图3]所示，可得相对论时空变换的新公式：

----（4）

（3）式和（4）式，都是相对论时空变换的一般表达式，它们都将纵向相对论，横向相对论，超光速运动相对论的时空变换都包含在其中，并揭示出了相对论时空的方向特性.

从（3）式看相对论时空变换的方向特征：

（1）当时，（2）当时，这两式是纵向相对论的时空变换公式

（3）当时，（4）当时，这两式是横向相对论的时空变换公式.

宇宙中的诸多天体，都处于动态平衡状态，在这些天体中，都能建立相对论.没有动态平衡，就没有和谐的宇宙.

宇宙飞船是一个动态平衡系统.设宇宙飞船为∑系统，在宇宙飞船中有一个以速度v匀速运动的∑^，系统.在时，∑与∑^，重合.当∑^，相对于∑开始运动的同时，从原点射出一颗速度为u子弹，子弹从原点出发，分别在在不同的系统Σ^，和Σ中，经过不同的时间和t，到达同一点P，如[图4]所示.对于这个同一事件，有下列结果：

-----（e）------（f）

将两式平方后相加：

经移项整理得：

----------（5）

改变光的传播方向，如[图5]所示，经过同样处理，可得：

-------（6），

（5）式和（6）式，都是在动态平衡系统中，自然建立起来的相对论时空变换公式，它们也充分揭示出了相对论时空的方向特征.由此可见，宇宙中普遍存在着相对论.

洛仑兹变换二维双曲函数表达形式：，其中：，.

因为，

可以证明，洛仑兹变换正是复变函数中的莫比乌斯变换：.

在极限理论中，点列的收敛性是核心概念.函数的连续性、导数和积分的定义最终都归结为点列收敛性.点列的收敛性是定义在点与点之间的距离之上的，而且证明收敛性时只用到距离的两条性质，即正定性和三角不等式.所以在分析学中只用这两条性质作为公理定义了距离空间.当然原来的欧氏空间也是距离空间的一个特例.那么定义距离空间的意义在哪里呢？在于可以借用欧氏空间的概念和关系来研究更复杂的函数集合，例如连续函数空间C[0，1]，平方可积函数空间L₂(0，1)等.把这些函数看成点，用这些函数空间中的点列的收敛性，我们就可证明一些微分方程和积分方程的解的存在性和唯一性了.沿着这个方向，分析学定义了众多的函数空间，如赋范线性空间、索贝列夫空间等，它们是解决微分方程和积分方程存在性和唯一性的基本工具.

几何沿另一个方向的发展是研究曲面上的几何问题，如球面上的几何问题，这就是微分几何.主要研究工具是微积分，张量代数及近代发展起来的微分形式等.作为欧氏几何直接推广的黎曼(Riemann)几何，空间中也定义了距离，两点间的长度微元也是坐标微元的正定二次型，只是系数矩阵是坐标函数了.但弯曲空间从局部看来和欧氏空间是相当的，而空间的弯曲程度则由曲率张量来描叙.

如果再把距离函数的正定性取消，我们就得到洛伦兹流形.爱因斯坦用3+1维洛伦兹流形来描叙物理时空，从逻辑上看，比牛顿的绝对平直时空有两大优势：第一、平直时空是弯曲时空的一个特例，弯曲时空是比平直时空更广的概念，所以在逻辑上更可靠.第二、3+1维的耦合时空具有4元数结构，是一个演化的活流形.其中的场方程相对容易解出，而且场量都是活的，物质具有了灵性.所以著名的前苏联物理学家朗道(Landau)说：广义相对论是最接近上帝的工作.

几何沿着连续性方向的进一步发展就是更为抽象的拓扑学.有些几何对象的特点并不需要具体的距离函数来描叙，而只涉及连续变化的等价性，即所谓同胚.如一个球体可通过连续变形变成一个立方体，但不能变成一个环.拓扑直接由衡量远近关系的开集定义，而开集之间只有一些纯粹的逻辑约束，而非数量关系.因此拓扑空间是比度量空间更广的概念，度量空间是拓扑空间的特例，开集可用开球的并集来定义.从逻辑上讲：越抽象的概念，涵盖面越大，结论的适用面越广，但结论越弱，无用的信息越多.

由上面的论述可以看到，数学概念的演化发展是有其内在逻辑的，并非凭空捏造出来的.由此我们可得以下一些重要的启发：（1）好的数学理论都有现实背景，为抽象而抽象、或者很生僻的理论是走不了多远的，也没多少人感兴趣.（2）大自然是用最精致的数学理论设计的，高深的数学理论都扎根在这些基础之上.（3）就数学定理本身而言，只是阐明了概念之间的一些必然的联系和约束.所以希尔伯特说：以桌子、椅子、啤酒瓶取代几何中的点、线、面并没有什么不可，那只是给一个概念起一个名字的问题，重要的是这些概念之间的约束关系.在现代数学中广泛使用的‘同构’概念，就是希尔伯特思想的具体体现；而对量子物理中常用的‘类比方法’，其有效性的逻辑理由也正在于此.爱因斯坦认为：“绝对静止概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性.倒是应当认为，凡是对力学方程适用的一切坐标系，对于上述电动力学和光学的定律也一样适用，……我们要把这个猜想（即相对性原理）提升为公设，并且还要引进另一条在表面上看来同它不相容的公设：光在空虚空间里总是以一确定的速度传播着，这速度同发射体的状态无关.”

爱因斯坦是这样说的：“由于这种方法论上的不确定性，人们将认为这样就会有多种可能同样适用的理论物理学体系，这个看法在理论上无疑是正确的.但是物理学的发展表明，在某一时期里，在所有可想到的解释中，总有一个比其他的一些都高明得多.凡是真正深入研究过这一问题的人，都不会否认唯一决定理论体系的实际上是现象世界”（见《探索的动机》——爱因斯坦在普朗克生日宴会上的演讲）

两个惯性S和S’之间的洛仑兹变换：                  （1）

S’系沿x轴正向相对于S系以匀速v运动.

逆变换：

                                                        （2）

同时的相对性：                                           （3）

反过来：                                              （4）

由此可看出，在S’系中同时发生的事件，只要不在同一地点，在S系中看，这两件事就不同时发生.

运动时钟变慢：                                     （5）

质能关系：                                              (6)

相对论还指出，物质的质量和能量之间存在本质联系：              （7）

静止质量为的物体具有能量                                 （8）

由（7）、（8），可以算出运动物体的动能：

                                          （9）

闵可夫斯基把相对论写成四维时空的形式，从而把时空看成一个整体.

如果令洛伦兹变换可写为：

                    （10）

式中                                          （11）

相对论中联系不同惯性系的坐标变换式洛伦兹变换，.在相对论中，矢量被定义为在洛伦兹变换下与坐标一样变的量，即如（10）那样变的量.

二阶张量被定义为在洛伦兹变换下按以下规律变化的量：           （12）

所有的力学量和电学量都可以写成张量，所有的力学规律（除万有引力外）和电磁学规律都可以写成张量方程.所以除去万有引力定律外，力学规律和电磁学规律都满足洛伦兹变换和相对性原理，都符合相对论.

值得注意的是能量和动量一起可以构成四维动量：

                                                       （13）

四维闵可夫斯基时空的一个点，用（t，x，y，z）四个坐标表示称为一个事件.三维空间的一个点，由于时间的不断发展，在四维时空中都会描绘出一根线.

图2光锥

图2中间隔AB是“时间轴”；即有一个这样的参照系其中的事件A和事件B发生在相同的空间位置，仅仅由不同的时间来区别.如果在这个参照系中A先于B，那么在所有的参照系中A都先于B.这假定是可能的因为物质（或信息）从A传递到B，所以才会有因果关系（A为因B为果）.

图中的间隔AC是“空间轴”；即，即有一个这样的参照系其中的事件A和事件B同时发生，仅仅由空间区分.但是存在着在其中A先于C的参照系以及C先于A的参照系.如果对于A和C之间存在的因-果关系来说这是可能的，那么就会产生逻辑上的悖论.例如如果A是因，C是果，那么就会有这样的参照系，在其中果先于因.另一个看问题的方法是如果有一种技术允许超光速运动，就会有一种比如说时间机器那样的作用.然而，狭义相对论的推论之一是（假设因果律作为一条逻辑原则受到保护），没有信息或物质实体能够超光速旅行.另一方面，在广义相对论中逻辑上的情况没有这么明确，所以在广义相对论中是否有确保因果律（从而禁止了超光速运动）的基本粒子还是一个开放的问题.

根据狭义相对论，甚至不需要考虑因果律仍有强烈的理由禁止超光速.例如如果一个恒定的力加在一个物体上保持无限的时间，那么对F=dp/dt求积分就会得出一个无限增加的动量，但这只是因为p=mv达到了无穷，而v达到了c.对于一个没有加速的观察者，很清楚尽管物体的惯性在增加，却使得同样的力产生的加速度更小了.这种情况已经在粒子加速器中被实际观察到了.

SR使用一个“扁平的”4-维闵可夫斯基空间，它是时空的一个例子.然而，这个空间与标准的3-维欧几里德空间非常相似，而且实际上很幸运，也非常容易处理.

在笛卡尔3D空间的距离微分（ds）定义为：

如果我们要将时间坐标也处理得象空间坐标，我们就要将时间处理为虚数：x₄=ict.这样上面的等式相应变为：

因为它显示了狭义相对论仅仅是我们时空的旋转对称（rotationalsymmetry），与欧几里德空间的旋转对称非常类似.就象欧几里德空间使用欧几里德量度（metric），时空使用闵可夫斯基量度.根据Misner（1971.2.3），根本上对于狭义和广义相对论的更深的理解源于对闵可夫斯基量度而不是使用ict作为时间坐标的“伪”欧几里德量度的研究.

如果我们将空间维数减到2，我们就表达出一个物理上的3-D空间.

我们看到沿着双锥面的零（null）测地线：

定义为或

这是一个r=c´dt的圆的等式.如果我们将它扩展到三维空间，零测地线就是4-维锥面：

这个零双锥面表示一个点在空间的“视线”.就是，当我们看着星星时所说的“从我正接受的那颗星发出的光已经是X年前的”，我们正在沿着这条视线：零测地线观看.我们正在看一个米远和d/c秒之前的事件.因为这个原因这个零双锥面也被看作“光锥”.（图像左下方的点代表星星，原点代表观察者，直线代表零测地线“视线”.）

锥面的-t部分是该点正在“接受”的信息，而+t部分是该点正在“发出”的信息.

闵可夫斯基空间的几何能够用闵可夫斯基图来描述，它对于理解狭义相对论中的许多思想实验是有用的.