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哲学无限与数学无限的异同点

黑格尔自始至终都没有承认“无限进展”能够完成、能够结束，而是提出我们要超越这个“无限进展”进而认识无限的本质——无限物的内在联系，即认识“真正的无限(真无限)”.一方面，他认为“潜无限”本质上是有缺憾的，是不完全的总和(参见黑格尔，1974年，第269—270页)，因而是不可完成的；另一方面，他直接指出“真无限”与“穷尽无限”无关，也就是与“实无限”无关.在《逻辑学(上)》中，他说到：“他首先把无限物定义为任何性质的存在的绝对肯定，相反地，有限物却是规定性、是否定.当然，一种存在的绝对肯定必须认为是它的自身关系，而不是由于有一他物；反之，有限物则是否定，是与一个他物的关系的终止，这个他物是在它以外开始的.一种存在的绝对肯定，当然没有穷尽无限的概念.这个概念之包含无限，即肯定，并不是作为直接的肯定，而只是通过他物在自身中的反思而恢复的肯定，或说是否定物之否定”(参见黑格尔，1974年，第271页).

在黑格尔看来，“真无限”是一个肯定(否定之否定)，是一个有限，因而是已完成的、现在的、具体的、可认识的.这个“真无限”就是“在别物中达到的自我联系”，是对“潜无限”的扬弃、否定，是无限物之间的共同本质、相互规定、内在联系或普遍性，是一种自为存在，因而也是一个更高级的有限.在《逻辑学(上)》，他继续分析，“那种在一个系列中的无限，斯宾诺莎称之为想像的无限物；另一方面，他称自身关系的无限物为思维的无限物或现实的无限物(infinitumactu).它之所以是现实的(actu)无限，是因为它是已完成的和现在的.这样，0．285714或等系列便仅仅是想像的、或意见的无限物，因为它们没有现实性，总是缺少点什么；反之，或都是现实的无限物，不仅有系列中现在各项的东西，并且还有系列所缺少而只是应该有的东西”(参见黑格尔，1974年，第272页).这儿，那种“想像的无限物”就是潜无限，而“现实的无限物”就是真无限.

综上所述，可以将黑格尔的辩证无限观归纳如下：有限概念的相互规定构成无限(即“真无限”)，无限是“潜无限”与“真无限”的统一，是一个自在自为的存在；“真无限”离不开“潜无限”，自为存在离不开自在存在.人类对无限的认识，由可能到现实、由抽象到具体，完成从“潜无限”到“真无限”的转变.“真无限”是现实的、具体的、完成的无限，是自为的存在和理性的存在，是完成了的质；而“潜无限”是可能的、抽象的、不可完成的无限，是自在的存在和知性的存在.由此可见，数学中的“实无限”观认为“无限进展”可以完成，这与黑格尔的“潜无限、真无限”思想是背道而驰的.

三、恩格斯对“无限”的辩证分析和对“实无限”的否定恩格斯特别重视对无限的正确认识，在《自然辩证法》、《反杜林论》两本书中对“无限”进行了深刻的分析、思考.主要有以下几个方面：(一)恩格斯认为数学理论必须服从现实，对无限的认识要从客观现实来说明.恩格斯说过：“数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借来的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明.”(参见恩格斯，1971年，第249页).在《反杜林论》中，恩格斯重申了这样的思想，“因为在数学上，为了达到不确定的、无限的东西，必须从确定的、有限的东西出发，所以一切数学的序列，正的或负的，都必须从一开始，否则就无从计算.但是，数学家的观念上的需要，决不是对现实世界的强制法”(参见恩格斯，1970年，第48页).

(二)恩格斯认为“无限”客观存在，肯定了黑格尔的辩证无限观.

在《自然辩证法》中，恩格斯指出：“当我们说，物质和运动既不能创造也不能消灭的时侯，我们是说：宇宙是作为无限的进步过程，即以潜无限性的形式存在着，而且这样一来，我们就理解了这个过程中所必须理解的一切”(参见恩格斯，1971年，第214页).上述实际是承认无限的客观存在性.接着，恩格斯对黑格尔的无限观进行评价、肯定，他指出：“潜无限性.真无限性已经被黑格尔正确地安置在充实了的空间和时间中，安置在自然过程和历史中.今天整个自然界也溶解在历史中，而历史和自然史的不同，仅仅在于前者是有自我意识的机体的发展过程.自然界和历史的这种无限的多样性具有时间和空间的无限性——潜无限性，这种无限性只是被扬弃了的、虽然是本质的、但不是占优势的因素”(参见恩格斯，1971年，第215页).(三)恩格斯认为无限纯粹是由有限组成的，并认为这种矛盾不会消灭，也就是“无限过程”不可能完成.这是对“实无限”的直接否定，也是对黑格尔“潜无限”的直接肯定.

关于无限的本质，恩格斯在《反杜林论》中更是一针见血指出：“此外，杜林先生永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性.无限性是一个矛盾，而且充满种种矛盾.无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样.物质世界的有限性所引起的矛盾，并不比它的无限性所引起的少，正象我们已经看到的，任何消除这些矛盾的尝试都会引起新的更坏的矛盾.正因为无限性是矛盾，所以它是无限的、在时间上和空间上无止境地展开的过程.如果矛盾消灭了，那就是无限的终结.黑格尔已经完全正确的看到了这一点，所以他以应有的轻蔑态度来对待那些空谈这种矛盾的先生们.”(参见恩格斯，l970年，第48—49页).上述说明，在黑格尔、恩格斯看来，有限无限矛盾不可能消灭，也就是无限过程不可能终结.

关于“无限过程”的可完成性，恩格斯在《反杜林论》中直接给予了否定，他说：“永恒真理的情况也是一样.如果人类在某个时候达到了只运用永恒真理，只运用具有至上意义和无条件真理权的思维成果的地步，那末人类或许就到达了这样的一点，在那里，知识世界的无限性就现实和可能而言都穷尽了，从而就实现了已经数出来的无限数这一著名的奇迹.”(参见恩格斯，1970年，第84页)

为了说明“潜无限”思想，恩格斯认为不能用“思维与客观世界的同一性”去证明人的思维产物的现实性，进而对黑格尔思辨的神秘色彩——“绝对精神”进行了批判.他说到：“企图以思维和存在的同一性去证明任何思维产物的现实性，这正是一个叫做黑格尔的人所说的最荒唐的热昏的胡话之一”(参见恩格斯，1970年，第39—40页)；“但是在人类历史中，黑格尔承认无限的进步过程是‘精神’的唯一真实的存在形式，虽然他空想地认为这个发展是有终结的——在黑格尔哲学的确立中”(参见恩格斯，1971年，第215—216页).上述论述说明，我们不能因为“有限主观世界”与“客观物质世界”存在“同一性”而去证明我们的思维产物——“无限过程可以完成”——现实性，这实际上指出了“实无限”观存在的致命缺陷.也就是说，“思维的无限可超越性”并不表示“客观无限过程的可完成性”，而且“思维的无限可超越性”也从来没有真正“完成过”.

(四)恩格斯认为无限的东西既可以认识，又不可以认识.这与黑格尔所坚持的“潜无限”、“真无限”在本质上是一致的.即“真无限”(作为无限物之间的普遍联系、内在关联)可以认识、完成的，而“潜无限”不可以认识、不可以完成.

首先，恩格斯认为“无限”可以认识，也就是黑格尔的“真无限”是可以认识的.他说，“这是完全正确的，只要进入我们认识领域的仅仅是有限的对象.但是这个命题还须有如下的补充：‘我们在根本上只能认识无限的东西.’事实上，一切真实的、详尽无遗的认识都只在于：我们在思想中把个别的东西从个别性提高到特殊性，然后再从特殊性提高到普遍性；我们从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来.然而普遍性的形式是自我完成的形式，因而是无限性的形式；它是把许多有限的东西综合为无限的东西.自然界中的普遍性的形式就是规律，而关于自然规律的永恒性，谁也没有自然科学家谈得多.对自然界的一切真实的认识，都是对永恒的东西、对无限的东西的认识，因而本质上是绝对的”(参见恩格斯，1971年，第211-212页).这儿，“普遍性的形式就是规律”就是指黑格尔的“真无限”，因而是“自我完成的形式”，是一种可完成的、可认识的自为的存在，所以是一种肯定、一个更高级的有限.

另一方面，恩格斯也指出“无限”是不可以认识的，也就是说黑格尔的“潜无限”不可以认识.他说，“但是，这种绝对的认识有一个重大的障碍.正如可认识的物质的无限性，是由纯粹有限的东西所组成一样，绝对地进行认识的思维的无限性，是由无限多的有限的人脑所组成的，而人脑是一个挨一个地和一个跟一个地从事这种无限的认识，常做实践上的和理论上的蠢事，从歪曲的、片面的、错误的前提出发，循着错误的、弯曲的、不可靠的途径行进，往往当真理碰到鼻尖上的时候还是没有得到真理(普利斯特列).因此，对无限的东西的认识是被双重的困难围困着，就其本性来说，它只能在一个无限的渐渐的进步过程中实现.这已经使我们有足够的理由说：无限的东西既可以认识，又不可以认识，而这就是我们所需要的一切”(参见恩格斯，1971年，第212页).

四、黑格尔的无限观与数学中两个无限观的差别分析上述从数学、哲学两个方面对“无限性”进行了论述，显然可以看出各种无限观在概念上存在着本质的差异.主要归纳如下：(一)黑格尔的“潜无限”、“真无限”的主要特点与关系

“潜无限”、“真无限”是同一无限物的两个方面、两个属性，谁也离不开谁.无限物是客观存在的.这是不言自明的；只要我们坚持唯物辩证法，我们就会自然得到这一结论.客观物质世界中的空间、时间就是典型的无限物或无限客体.“潜无限”性：承认无限客观存在，但认为无限进程不可以完成，从而是一种恶的无限.“真无限”性：认为无限是“在别物中达到的自我联系”，是对“潜无限”的扬弃，是无限物之间的共同本质、内在联系或普遍性.因而认为无限是可认识、可完成.它本身是质量互变的结果，是“潜无限”的否定、扬弃，是“潜无限”的彼岸，因而是一个肯定，从而是一个更高层次上的有限事物.综合“潜无限”、“真无限”的特点，可以看出黑格尔的无限观：无限客观存在，无限可以认识，无限进展不可以完成.这其实就是马克思恩格斯的无限观点.(当然黑格尔的无限观与马克思主义的无限观是有区别的，马克思恩格斯在剔除了其思辨的神秘成分之后将之发展成为辩证唯物主义的无限观，即马克思主义的无限观.)(二)“潜无限”与“潜无限”的主要差异

虽然人们常常把两者视为同一个东西，但是从哲学上讲，这两者有着根本的质的区别.“潜无限”认为无限并不客观存在，而是一种潜在，因为无限进展完成不了.“潜无限”认为无限客观存在，但同时承认无限进展完成不了.它们的相同点：一无限进展完成不了相对有限的人类的意识，它是潜在的.这深刻地反映了主客观世界的矛盾.由于两者在本质上有很大的共性，人们往往将两者视为同一个概念

(三)“真无限”与“实无限”的主要差异

认真研究黑格尔的无限理论之显而易见，黑格尔的“真无限”与数学中的“实无限”是完全不同的两个概念.

数学中的“实无限”：认为无限客观存在，“无限进展”可以完成，与哲学中的“潜无限”直接对立，承认“实无限”就直接否定“潜无限”.黑格尔的“真无限”：是指“无限物”的内在联系、共同本质、规律性，而不是“无限进展”是否可以完成.由于“真无限”与“潜无限”是辩证统一的，因而承认“真无限”也必然承认无限的客观存在、承认“潜无限”、承认无限不可能完成.因为要承认“真无限”首先必须承认“潜无限”，因为“真无限”是对“潜无限”的扬弃，而不是对“潜无限”的抛弃.“潜无限”、“真无限”是无限物的不同属性，是一个统一体，缺一不可；承认其中一个就必然要承认另外一个.两者与“潜无限”的关系：“实无限”直接与“潜无限”对立，不存在辩证的统一关系，而“真无限”则与“潜无限”是一种辩证的统一，它离不开“潜无限”.两者的共同点：都承认无限对象的客观存在性；都是一种有限(“实无限”是一种有限，见后面的论述).两者的不同点：“实无限”认为无限进展可以完成，而“真无限”认为无限进展不可能完成；前者是一种唯心主义的认识论，而后者则是一种辩证的唯物主义的认识论.由此可见，“实无限”观与黑格尔的“潜无限、真无限”思想完全背道而驰.

(四)“潜无限”与“实无限”的异同点结合朱梧桢先生对这两种无限观的数学和哲学分析，归纳它们的不同点如下：关于“无限”的客观存在性：“实无限”认为无限客观存在，而“潜无限”认为无限不是一种实在，因而否认无限客观存在.关于无限是否可以完成：“实无限”认为无限可以完成，反之，“潜无限”认为无限肯定不能完成.在“潜无限”观者那里，“无限”是一种潜在，处于不断构造之中，因而不是一种实在，这显然是用主观世界对无限的认识的不可能性来否定无限的客观存在性.而“无限物”作为客观事物是真实存在的，不以人类的意志为转移，因而“潜无限”观犯了主观主义的错误，从而是一种唯心主义的无限观.综上所述，“实无限”、“潜无限”都是将有限、无限对立起来，却未能将之统一起来，实际上是延续了康德的先验的“二律背反”思想，而黑格尔的无限观则是将对立的有限、无限辩证地统一起来，把量的无限和质的无限结合起来考察无限，从而形成辩证的无限观，因而是马克思主义的无限观.

五、结论(一)主观世界与客观物质世界之间的矛盾就是一个有限无限矛盾

主观世界是一个有限世界.关于“人的思维的有限性”，恩格斯在《反杜林论》中进行了精辟的论述，认为人的思维是被限制的、是有限的，是不断前进和发展的一个过程.在“永恒真理”那一篇，他说：“在这里，我们又遇到在上面已经遇到过的矛盾：一方面，人的思维的性质必然被看作是绝对的，另一方面，人的思维又是在完全有限思维着的个人中实现的.这个矛盾只有在至少对我们说来实际上是无止境的人类世代更迭中才能得到解决.从这个意义来说，人的思维是至上的，同时又是不至上的，它的认识能力是无限的，同样又是有限的.按它的本性、使命、可能和历史的终极目的来说，是至上的和无限的；按它的个别实现和某一时候的现实来说，又是不至上的和有限的”(参见恩格斯，1970年，第84页).因而，主观世界是一个不断变化发展着、不断壮大的有限世界，而客观世界则是一个绝对的无限世界；而有限无限矛盾就是主观世界与客观世界之间的一个不断解决着、但却不能终结解决的矛盾.有限无限矛盾是人类在认识客观世界时所面临的一种矛盾，是此时此刻的人类主观世界不能完全了解、掌握的无穷无尽的客观物质世界.它反映了主观世界在认识客观物质世界时所遇到的一种困难、一种矛盾，而这种“困难或矛盾”是长期的、永恒的、不可终结解决的，是人们在认识无限世界时的一个不可逾越的沟壑.这就是人类在认识客观世界时消极、无能的一面.关于主客观世界之间的矛盾，爱因斯坦也曾说过：“在我们之外有一个巨大的世界，它离开我们人类而独立存在，它在我们面前就像一个伟大而永恒的谜，然而至少部分地是我们的观察和思维所能及的.”因此，无限既是真无限与潜无限的统一，也是客观存在与隐性存在的统一，集中体现了有限无限矛盾.我们可以说：人类既能认识客观无限世界，又不能认识客观无限世界，而这就是马克思主义关于“有限和无限关系”的自然辩证法.

(二)“实无限”观是一个彻头彻尾的唯心主义的无限观.

1．“实无限”与“潜无限”是一种对立的关系，不存在辩证的统一关系，因而是一个虚假的无限.“实无限”观直接对“潜无限”进行否定并且没有肯定，这样，“有限无限矛盾”(无限过程)在它那里就消失了；而矛盾消灭了，那就是无限的终结.黑格尔早就从辩证的角度对“有限无限矛盾”给予了阐明：无限进展只是这种矛盾的表现并不是这种矛盾的解决(参见黑格尔，1974年，第243页).我们在“实无限”这儿找不到“潜无限”(无限进展或者“潜无限”)的任何影子，而只有有限物.这种完完全全抛弃了“无限过程”的“无限”，与其说它是一个“无限”，倒不如说是一个实实在在的“有限”；因为它抛弃了“无限过程”，也就抛弃了“有限无限矛盾”，从而让自己变成一个彻头彻尾的有限.

2．黑格尔强调有限和无限的统一，而“实无限”观没有把量的无限与质的无限结合起来，它在对“量”进行否定的同时没有从量的否定中发现质的东西，而是把“质”的东西一同进行了否定，甚至走向了“有限的存在”的对立面，变成了一个抽象物，人为割断“有限”与“无限”的联系，最终让自己陷入虚无主义，让自己变成与“无限过程”没有内在联系的他物，也就是说，“实无限”与“无限过程”完全是两回事.

在黑格尔看来，真正的无限，就是“在别物中达到的自我联系”，就是无限物之间的共同本质、相互规定、内在联系或普遍性，是否定之否定，从而是一种肯定，是一种自为存在；同时，“有限的存在”是具有质的规定性，既是有限的又是可变的，既包含有肯定又包含有否定，而这种“质的规定性”(即相互规定、共同本质)是联系“有限”和“无限”的纽带，即联系潜无限和真无限的纽带.在“希尔伯特旅馆”问题中，“实无限”者在否定“无限进展”的同时把“无限物之间的相互规定(内在联系)”——“没有空余房间”这一本质——进行了否定，而得出“存在空余房间”这一完全相反、对立的结论.这完全违背了有限与无限的统一性，违背了潜无限与真无限的统一性.“实无限”观认为这种纽带并不存在，否认自身的回归(即全盘否定而非辩证否定)，把自己视为纯粹在有限万物彼岸的东西，与无限进展(潜无限)没有内在的联系，从而人为地割断了“有限”与“无限”的联系，最终导致了质的不统一(“实无限”的质与无限进展的质没有统一性)，导致自身的量与自身的质的不统一，而让“实无限”变成一个与“无限进展”、“潜无限”毫无联系的一个事物，变成了一个抽象物、一个他物.黑格尔分别用“直线”、“圆”来形容“潜无限”、“真无限”，而“实无限”既不是“直线”(潜无限)，也不是“圆”(真无限)，而是指存在一个“终极目标”(或绝对真理)，并且这个“终极目标”是经历、完成了一个“无限进展”之后可到达的目标；因而其对“无限进展”(即潜无限)不是辩证的扬弃，而是机械的、形而上学的、人为的抛弃，人为割断了与“无限进展”的联系，从而让自己成为纯粹在有限万物彼岸的东西.事物的质变并不是要与原事物完全没有联系、完全割断，相反，辩证的否定是联系的环节，没有联系的质变是不存在的.人们常用“有限空间”的可达性来说明“无限过程的完成性”，如用坐标轴x上的1可达0来证明这一无限过程可完成，其本质是抛弃了“无限进展”，用“有限性”代替“无限性”，把无限简单地视同有限对待，将人类思维产物强加于客观物质身上，人为地造成不可调和的对立，而“无限进展”仍然独立地存在着；这种想象的无限性(即实无限)并不是“无限进展”本身，与“无限进展”没有任何内在的联系，它只是一个“旁观者”，一个“他物”而已.关于“Cantor-Hilbert对角线法”这种具有“实无限”思想论证方法的有效性，朱梧桢先生也给出了旗帜鲜明的质疑(参见朱梧梗，2010年).

黑格尔要求把量的无限和质的无限结合起来考察无限，认为定量的无限并不是单纯量的无穷进展，而是对自身的质的规定性.而数学上的这种“实无限”没有将量和质结合起来考察，因此其思想是遵循了康德的先验的、主观的、形而上学的无限思想，而不是黑格尔的辩证的无限思想.因而，黑格尔坚决批判了这种“实无限”，认为这种“实无限”是虚无的“抽象物”，错误地把客观存在的无限当成了完成了的、已经认识了的无限，把无限简单地视同有限对待；他在剖析康德的二律背反思想时指出了这种“实无限”的本质：“那种理解的错误，在于把这样的思想物、抽象物，如无限多的部分，当作某种真的、现实的东西；但是这种感性的意识却不会超出经验而达到思想的”(参见黑格尔，1974年，第210页).这样一来，“实无限”就变成了一个抽象物，它不仅越过了“无限进展(潜无限)”，也同时越过了“真无限”，从而让自己变成了一个实实在在的“无”；因为在黑格尔看来，越过了极限就会成了无.

黑格尔认为数学的无限在哲学上之所以重要，就在于它是建立在真正无限的基础上，比形而上学的无限高明得多.数学的无限与形而上学的无限之分别，是无限性理论中的重大问题.真的数学无限是真无限，而形而上学的无限则是坏的无限.形而上学的无限坚持着外在的否定性(潜无限)，界限始终没有被扬弃；而真的无限坚持着内在的否定性，并且这种否定是向自身的回归，是自身的量与自身的质的统一.量的关系的极限与消失，并不意味着质的规定的消失.黑格尔之所以强调质的比例，因为这是从有限量转化为无限量的依据(参见温纯如，2003年).因此，认真对待数学中的实无限观、潜无限观，对数学科学的健康发展至关重要.

3．以“主观世界产物”完全代替“客观物质世界”本身，或者将“主观世界产物”完全等同于、强加于“客观物质世界”，这就从根本上否定了主观世界与客观世界之间的差异、矛盾.“实无限”抛弃了“有限无限矛盾”，也就抛弃了真实的无限；它将人类的思维产物强加于客观物质无限世界身上，并与客观物质世界相对立，因而“实无限”观犯了与黑格尔一样的错误，它又是一个彻头彻尾的唯心主义无限观.

“无限可以完成”这是一种主观世界的认识，“实无限”观认为这就是客观物质世界本身.恩格斯早就对这种唯心主义认识进行了无情的批判.他说到：“企图以思维和存在的同一性去证明任何思维产物的现实性，这正是一个叫做黑格尔的人所说的最荒唐的热昏的胡话之一”(参见恩格斯，1970年，第39—40页).上述论述说明，我们不能因为“有限主观世界”与“客观物质世界”存在“同一性”而去证明我们的思维产物——“无限过程可以完成”——现实性，这实际上指出了“实无限”观存在的致命缺陷.也就是说，“思维的无限可超越性”并不表示“客观无限过程的可完成性”，而且“思维的无限可超越性”也从来没有真正“完成过”；“存在的无限”决不等于“认识了的无限”.

“无限”作为“无限个对象本身”，即作为一个“无限过程”，作为“潜无限”，是不可能完成、不可能“结束”的.但是，这并不等于说“不可以将这无限个对象(既包括完成了的有限也包括未完成的无限)看成一个整体、一个集合”，而人类事实上总是自觉、不自觉地把“无限个对象”看成是一个“整体”、一个“集合”；而这正是“无限可超越”的一面，也是“无限”在人类大脑思维中的自然的、必然的“思维结果、思维产物”，是“客观无限世界”在“主观有限世界”中的表象与反映.只是“无限”在“有限”的“人类意识”中是无法完全表达的，正由于无法“完全”表达，这才是“潜无限”或“潜无穷”的根本思想所在.“实无限”观总是混淆了这两个概念——“无限过程”(即潜无限)与“无限整体”(是一种真无限)，混淆有限与无限，混淆潜无限与真无限，并用“无限整体”(“思维的无限可超越性”)这一对客观无限世界的主体认识概念来替代“无限过程”这一认识无限物质世界的客观过程(即用“真无限”来代替“潜无限”)，把“主观有限世界”对“无限客体”的超越性认识当成了“无限过程”本身，把“无限整体”的客观存在性当成“无限过程”的完成性，把思维的认识产物当成人类认识客观无限世界过程本身，用主观认识代替客观事物本身，从而将“有限无限矛盾”彻底否定、彻底抛弃、彻底消灭.在“实无限”观看来，有限无限矛盾消灭了，所以就可以完成、终结一个“无限过程”；可是有限无限矛盾从来也没有消灭过，而且永恒存在.正如恩格斯在《反杜林论》中一针见血指出的那样：“如果矛盾消灭了，那就是无限的终结.黑格尔已经完全正确的看到了这一点，所以他以应有的轻蔑态度来对待那些空谈这种矛盾的先生们”(参见恩格斯，1970年，第48～49页).因此“实无限”观总是不断遇到致命的打击，不断遇到新的矛盾、新的悖论.这正是康托(Cantor)“无限观”的错误之所在.

正是基于这种唯心主义的错误认识，在“实无限”观看来，“无限”作为一群“客体”的“集合”时，即作为一个“整体”时它是可“完成”的，因为这时“无限”的本质内涵——“潜无限性”——“无限过程”已被完全抛弃，所以它是可以“完成”的(即“思维的无限可超越性”).“实无限”观将这种完成性当成了“无限过程可完成”，将无限的客观存在等同于无限过程，将“真无限”的可完成性当成了“潜无限”的可完成性，用“真无限”完全替代“潜无限”，从而彻底抛弃“有限无限矛盾”，这就是“实无限”观的错误本质.“存在性”是一种客观，“完成性”是一种主观，“实无限”观将两者混为一谈，因而必然走向唯物主义的反面，必然导致不可克服的矛盾.让我们进一步举例分析：“一条直线”作为一个“无限整体”是一种客观存在，因而是一个肯定，是自为的存在，是完成了的质，是一个有限(即一个“真无限”)，但是其“无限延展性”却是一个“潜无限”，因而是抽象的、不可完成的，是自在的存在和知性的存在；而“实无限”观将前者等同于后者，并用前者来代替后者(用存在性代替完成性)，从而让自己

摒弃了“无限过程”、把思维的产物强加于客观物质世界身上的“无限观”必然是一种反马克思主义的无限观，是一种实实在在的唯心观，而黑格尔的无限观正是既看到了“客观物质世界的普遍联系性(真无限)”，又看到了“无限过程不可完成(潜无限)”的客观实在性，所以它是一个科学的无限观，是一个辩证的无限观，因而也是一个马克思主义的无限观.因此“无限”作为一个“无限过程”，是永恒不灭的，是绝对的，也是不可“完成”的；而当“无限”作为一个整体、作为一个真无限时，即摒弃了“无限过程”时，这个“无限”是可以完成的，因为此时，这个“无限”与其说是一个“无限”，倒不如说是一个实实在在的“有限”，如“自然数集N”这个概念，是一个“无限客体”，但是其摒弃了“元素之间无限过程”(潜无限性).这种离开了“无限过程”的“无限客体”已经变成了一个单纯的“概念”或“名称”，已经完全变成了一个“有限”性的事物了.因此罗素才肯定地说“我们必须承认有真实的无穷集合”，而事实上，数学家们就是这样干的，而且做得成绩辉煌.我们把自然数集的存在看成是人们的实际现实需要，而这正是辩证无限观的具体体现.

恩格斯在《反杜林论》中充分批判了像杜林先生那样将“思维产物强加于外在客观世界身上”的荒诞观点，有效揭示了数学的本质，认为数学必须正确反映客观物质世界.他说，“但是在纯数学中悟性绝不能只处理自己的创造物和想象物.数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的.和数的概念一样，形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的.和其他一切科学一样，数学是从人的需要中产生的⋯⋯.但是，正如同在其他一切思维领域中一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来的规律而与现实世界相对立”(参见恩格斯，1970年，第35～36页).恩格斯对黑格尔的“绝对精神”这一唯心主义思想也进行了有力的批判.他说：“黑格尔的体系作为体系来说，是一次巨大的流产，但也是这类流产中的最后一次.就是说，它还包含着不可救药的内在矛盾：一方面，它以历史的观点作为基本前提，即把人类的历史看做一个发展过程，这个过程按其本性来说是不能通过发现所谓绝对真理来达到其智慧的顶峰的；但是另一方面，它又硬说自己是这个绝对真理的全部内容.包罗万象的、最终完成的关于自然和历史的认识的体系，是和辩证思维的基本规律相矛盾的；但是这决不排斥，反而肯定，对整个外部世界的有系统的认识是可以一代一代地得到巨大发展的.”(参见恩格斯，1970年，第22页).在这儿，恩格斯深刻批判了黑格尔那种具有“实无限”性质的“绝对真理”的思想.我们所反对的，正是恩格斯在《反杜林论》中所批评的杜林先生的“先验主义”的“终结真理”；而“实无限”观本质正是象“先验主义”一样的东西，它本质上是认为世界的发展、运动一定会有个“尽头”.而“无限”的本质从来就是指“无限的不可穷尽性”，“不可穷尽”即“无限”，“无限”即“不可穷尽”.实无限观认为“无限”能够“完成”，这与客观物质世界直接对立.

恩格斯在《反杜林论》中对这种观点进行了进一步的批判：“如果在人类发展的某一时期，这种包括世界所有联系——无论是物质的或是精神的和历史的最终完成的体系建立起来了，那么人的认识的领域就从此完结，而且从社会按照这一体系来安排的时侯起，未来的历史进展就中断了——这是荒唐的想法，是纯粹的胡说.这样人们就处于矛盾之中：一方面，要毫无遗漏地从所有的联系中去认识世界体系；另一方面，无论是从人们的本性或世界体系的本性来说，这个任务都是永远不能完成的.我们在前面已经看到，杜林先生是无所不在的——在一切可能的天体之上.现在我们又看到，他是无所不知的.他解决了科学的最终的任务，从而封闭了一切科学走向未来的道路.”(参见恩格斯，1970年，第34页).

“存在的无限”不等于“认识了的无限”，客观的无限不等于主观的无限，“实无限”既不是潜无限更不是真无限.关于真无限和潜无限，我们可以打一个很形象的比喻：“潜无限”就像被幽禁在封闭盒子里面的一个“魔鬼”，如果我们不打开这个盒子，这个“魔鬼”就永远不能出来(即无限进展永远不能完成).在这个比喻中，“魔鬼永远不能出来”是一种“潜无限”，而“真无限”则是指这个事件的内在的“质的规定性”——“封闭的盒子中有一个魔鬼”；将两者结合起来表述整个事件就是：“封闭的盒子中有一个魔鬼，但是魔鬼永远不能出来”.前者表示事件的本质，后者表示事件运动、发展的可能，两者相互依存但两者并不等同.更形象的比喻，可以拿黑格尔用来形容“潜无限”的直线来具体说明：直线上的一个点在直线上自由的运动.在这个事件中，“点在直线上”代表了事件的本质、内在的质的规定性，体现了“点”与“直线”的关系，是一个真无限，而“点在直线上自由运动”则是代表“潜无限”，表明这个“点”可以达到直线上的任意一个位置，但是无论如何自由运动都不可能摆脱这条直线、都不可能改变“点在直线上”这一内在的本质.如果说上述事件的表述还有点模糊，那么让我们把“直线”换成一个封闭的“圆”再来进行事件的描述，上述事件就转化为这样的一个事件：封闭圆上的一个点在圆上自由的运动.同样，“点在封闭的圆上”代表了事件的内在规定性，体现了“点”与“圆”的关系，代表了事件的拓扑属性，因而是一个真无限，而“点在圆上自由运动”则是代表了“潜无限”，表明这个“点”可以在圆上任意移动，但是无论如何自由运动都不可能摆脱这个圆.也就是说，“潜无限”的结果是“真无限”，而不是“实无限”；在这儿，我们找不到“实无限”的任何影子.“实无限”自认为自己已经摆脱了“潜无限”，但仍然在无限进展中；它不是从“质”上思考无限、扬弃无限进展，而是主观地、一厢情愿地中断无限进展，用主观代替客观，从而是一个自欺欺人的、唯心主义的认识论，是一种变相的“二律背反”.

我们可以处处看到恩格斯批评杜林、所要反对的正是杜林先生的“存在就是被认识了”的观点.假若说“存在的无限”一旦被“思考”，就被“思考”为“统一的东西”——“完成了的无限”(实无限)，那也太滑稽了.恩格斯在《反杜林论》中继续论述：“⋯⋯杜林先生就借助‘我们的统一思想’，把存在的唯一性变为它的统一性了.因为一切思维的本质都在于把事物综合为一个统一体，所以，存在一旦被思考，就被思考为统一的东西⋯⋯”(参见恩格斯，1970年，第38页)“企图以思维和存在的同一性去证明任何思维产物的现实性，这正是一个叫黑格尔的人所说的最荒唐的热昏的胡话之一.”(参见恩格斯，1970年，第39～40页).这儿已经说明：“存在着的无限”一旦被“思维”并不能得到这一“思维产物”——“完成了的无限”(实无限)——的现实性.在这儿，恩格斯无情地批驳了“实无限”观这种逃避“有限无限矛盾”的唯心主义的思想.“实无限”观把自己对“无限”的认识当成了“真实的客观无限世界”本身，所以它必然走向了辩证唯物主义的对立面.因此，“实无限”本质是一个“有限”观，它摒弃了“客观无限世界”与“主观世界”的差异性，否定了“主观世界”与“客观世界”之间的“对立统一关系”——“有限无限矛盾”(无限进展)，从而否定了“主观世界”的不断前进性.(三)坚持辩证唯物主义无限观重新定义、认识“实无限”、“潜无限”，充分吸收黑格尔的辩证无限观思想，回归科学的无限观上，即：无限客观存在，无限可以认识，但是“无限过程”不可以完成，而这就是马克思主义无限观(辩证唯物主义的无限观).据上所述，虽然“潜无限”观因为“无限过程不可完成”而否认了无限的客观存在性，这是其错误的一面.但是，由于其并没有逃避“有限无限矛盾”，它客观地承认了人类认识论上的这种困难、这种无法逾越的矛盾；它承认我们不能够结束一个“无限过程”而到达其某一终点，它没有将“客观存在的无限”思考成“完成了的无限”.因此，数学中的“潜无限”观又有其正确的一面，而且这一面是完完全全坚持了唯物辩证法.

而“实无限”观，表面上承认“客观物质世界的无限性”，但却认为“人类可以完全把握、认识无限物质世界”，完成一个无限进展，从而回避了客观存在的、认识论上的“有限无限矛盾”.因此在本质上，“实无限”观否定了“客观物质世界”的“无限性”(潜无限性)，而只承认“客观物质世界”的“有限性”.这就决定了“实无限”观总是用“有限性”的“方法”去处理、对待一个个“无限性”的客体，从而带来一个又一个更大、更坏的“矛盾”.我们认为第三次数学危机其本质就是“实无限”——“穷尽了无限”(穷尽了一个不可穷尽的东西)——所导致的危机.“最大序数悖论”、“最大基数悖论”都集中体现了“实无限”观的根本错误.上述对“潜无限”、“实无限”观进行了全面的分析，全面论述了“潜无限”、“实无限”存在的哲学上的错误.得出结论：既要承认“有限无限矛盾”的客观存在性——即无限过程不可能完成，又要承认“无限”客体的客观实在性；既要承认潜无限，又要承认真无限；既要承认潜无限不可完成，又要承认真无限可以认识、可以完成.因此从数学上的角度上讲，就是承认所有自然数构成为一个集合N，承认N作为一个“无限客体”的客观存在性.承认N是一个无限性的集合，并不是否认“潜无限(潜无限)”、否认“无限过程不能完成”.从哲学的角度看，无限客体的存在不以人类的意志为转移，也就承认了N作为一个“无限客体”的合理性；但是人类的认知能力又是有限的，这就决定了“无限过程”的客观现实性，也就是承认“无限过程”的不可完成性.这正是马克思主义哲学对“无限”的最科学的、辩证的解释.马克思对“极限”概念的深刻剖析，无疑表明他就是“实无限”的坚定反对者.正如马克思的至理名言：“人的思维是否具有客观的真理性，这并不是一个理论的问题，而是一个实践的问题.人应该在实践中证明自己思维的真理性，即自己思维的此岸性.关于离开实践的思维是否现实的争论，是一个纯粹经院哲学的问题”.数学科学的实践让我们认清了“实无限”的本质.

综上所述，我们全面介绍了黑格尔的辩证无限观，也介绍了恩格斯对黑格尔无限观的批判继承和发展，还介绍了四种无限观之间的区别，并全面分析了“实无限”观的错误，因此现在我们可以自然总结出马克思主义无限观(即辩证唯物主义无限观)就是：无限客观存在，无限可以认识，但是无限过程不可以完成.因此，正确理解和把握“有限无限矛盾”，是数学界、哲学界彻底解决“第三次数学危机”的本质所在，对于彻底认识“罗素悖论”的哲学意义也有着极大的指导意义.

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