6.唯物辩证法对于实无限与潜无限的认识.docx

引言：芝诺的乌龟

思想实质：发生在无限长时间内的运动速度为零.

从A点到B点的运动不仅涉及到距离，并且涉及到时间.从A到B的运动如果发生在无限长的时间内，那么，此时速度为0.

悖论本质：无限问题.1.空间是否可以无限划分？2.运动者以确切有限“速度”运动.悖论的解决：无限=极限近似.乘法法则进位制是以十进制为标准逢十进一.而无限小数相乘（或相加）并不遵守加减乘除运算法则.

结论：无限分为实无限和潜无限.潜无限=极限近似，实无限与有限之间无法进行运算.

任何无限都是潜无限与真无限的辩证统一（统一体），它是一种客观存在，无限性本身包含了有限无限矛盾，无限的客观存在性并不代表无限过程能够结束、完成.真无限就是无限事物内在的质的规定性，就是内在联系、规律、真理，而潜无限就是无限进展，没有终止的重复、交替，深刻地体现了有限无限矛盾；真无限可以认识、完成，而潜无限不可以认识、不可以完成，潜无限（无限过程）是“有限无限矛盾”的具体表现而不是这种矛盾的解决，这就决定了有限无限矛盾永恒不灭；真无限代表了无限的质（本质），而潜无限代表了无限的量（运动和变化）；真无限离不开潜无限，潜无限是真无限的载体，真无限是潜无限的目标和方向.真无限是现实的、具体的、肯定的、积极的、理性的、完成的无限，是自为的存在和理性的存在，是完成了的质；而潜无限是可能的、抽象的、否定的、消极的、不可完成的无限，是自在的存在和知性的存在.

无限存在而不可完成、不可穿越，无限是一个黑洞，但是无限可以扬弃、可以超越.过程（潜无限）永远，规律（真无限）永恒；过程是变量，规律是常量；无限不可穿越，但可以超越，超越的结果是一个真无限.无限的存在性与过程的不可完成性是完全不同的两个概念，它们是矛盾的两个方面，不可相互替代；正因为它们的存在，才有有限无限矛盾的存在；无限，就像一个黑洞一样，有进无出，无穷无尽，永远不能结束.辩证唯物主义无限观坚持这种矛盾的不灭性，认为无限客观存在、可以认识，但是无限过程却不可以完成，即有限无限矛盾永恒不灭；而实无限观则把无限的客观存在性当成无限过程的完成性，用客观代替主观，用真无限代替潜无限，彻底抛弃有限无限矛盾，从而认为这种矛盾是可以终结、可以解决，因而其思想是遵循了康德的先验的、主观的、形而上学的无限思想.

黑格尔说得很透彻，“这里我们便首先遇着了量，特别是数，不断地超越其自身，这种超越，康德形容为‘令人恐怖的’.其实真正令人恐怖之处只在于永远不断地规定界限，又永远不断地超出界限，而并未进展一步的厌倦性”（参见黑格尔，1987年，第229页）.这无疑给我们的数学家们开了一张清新的药方.

恩格斯对高等数学发展的混乱也给出了明确的批评，在马克思恩格斯的通信中，他批评了今天仍然存在于一些数学家头脑中的极其顽固的观点，他说：“为什么数学家们要那样顽固地坚持把它搞得神秘莫测.不过这是那些先生们的思想方法的片面性超成的”（参见马克思，1975年，第211页）.这已是对当今数学界中很大一部分人的警告了！爱因斯坦在“论科学”一文中也给出了类似的批评，他指出：“哲学上和逻辑上的大多数错误是由于人类理智倾向于把符号当作某种实在的东西而发生的.”

如何解决数学研究中的混乱、让数学回归健康的发展道路也就是回归到辩证唯物主义的发展道路上来？恩格斯指出理论、原则首先要适合客观实际，他指出：“不是自然界和人类去适应原则，而是原则只有在适合于自然界和历史的情况下才是正确的”（参见恩格斯，1970年，第32页）.象数学中的无限观，也只有适合自然，才有生命力.接着，恩格斯指出只有用唯物辩证法作为科学研究的指导思想，才能解决其中的混乱.在其《自然辩证法》一书的“《反杜林论》旧序”那一篇中，他指出，“自然科学家自己感觉到，这种纷扰和混乱如何厉害地统治着他们，现在流行的所谓哲学如何绝对不能给他们以出路.除了以这种或那种形式从形而上学的思维复归到辩证的思维，在这里没有其他任何出路，没有达到思想清晰的任何可能”（参见恩格斯，1971年，第29页）.

在“自然科学与哲学”那一节中，他再次指出：“固定的范畴在这里消失了；数学走到了这样一个领域，在那里即是很简单的关系，如单纯的抽象的量之间的关系、潜无限性，都采取了完全辩证的形式，迫使数学家们既不自愿又不自觉地成为辩证的数学家.数学家们为了解决这种矛盾，为了调和高等数学和初等数学，为了弄清楚在他们看来是不可否定的结果的那些东西并不是纯粹荒诞无稽的东西，以及为了合理地说明那研究无限的数学的出发点、方法和结果所采用的牵强说法、无聊诡计和应急方法，是最滑稽可笑不过的了”（参见恩格斯，1971年，第181页）.这深刻说明了，要解决数学科学的混乱，必须把唯物辩证法作为其指导思想.恩格斯特别重视对无限的正确认识，在《自然辩证法》、《反杜林论》两本书中对“无限”进行了深刻的分析、思考.主要有以下几个方面：

1.恩格斯认为数学理论必须服从现实，对无限的认识要从客观现实来说明.

恩格斯说过：“数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借来的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明.”(参见恩格斯，1971年，第249页).在《反杜林论》中，恩格斯重申了这样的思想，“因为在数学上，为了达到不确定的、无限的东西，必须从确定的、有限的东西出发，所以一切数学的序列，正的或负的，都必须从一开始，否则就无从计算.但是，数学家的观念上的需要，决不是对现实世界的强制法”(参见恩格斯，1970年，第48页).

2.恩格斯认为“无限”客观存在，肯定了黑格尔的辩证无限观.

在《自然辩证法》中，恩格斯指出：“当我们说，物质和运动既不能创造也不能消灭的时侯，我们是说：宇宙是作为无限的进步过程，即以潜无限性的形式存在着，而且这样一来，我们就理解了这个过程中所必须理解的一切”（参见恩格斯，1971年，第214页）.上述实际是承认无限的客观存在性.接着，恩格斯对黑格尔的无限观进行了评价、肯定，他指出：“潜无限性、真无限性已经被黑格尔正确地安置在充实了的空间和时间中，安置在自然过程和历史中.今天整个自然界也溶解在历史中，而历史和自然史的不同，仅仅在于前者是有自我意识的机体的发展过程.自然界和历史的这种无限的多样性具有时间和空间的无限性------潜无限性，这种无限性只是被扬弃了的、虽然是本质的、但不是占优势的因素”（参见恩格斯，1971年，第215页）.

3.恩格斯认为无限纯粹是由有限组成的，并认为这种矛盾不会消灭，也就是“无限过程”不可能完成，这是对“实无限”的直接否定，也是对黑格尔“潜无限”的直接肯定.

关于无限的本质，恩格斯在《反杜林论》中更是一针见血指出：“此外，杜林先生永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性.无限性是一个矛盾，而且充满种种矛盾.无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样.物质世界的有限性所引起的矛盾，并不比它的无限性所引起的少，正象我们已经看到的，任何消除这些矛盾的尝试都会引起新的更坏的矛盾.正因为无限性是矛盾，所以它是无限的、在时间上和空间上无止境地展开的过程.如果矛盾消灭了，那就是无限的终结.黑格尔已经完全正确的看到了这一点，所以他以应有的轻蔑态度来对待那些空谈这种矛盾的先生们.”(参见恩格斯，1970年，第48-49页).上述说明，在黑格尔、恩格斯看来，有限无限矛盾不可能消灭，也就是无限过程不可能终结.

关于“无限过程”的可完成性，恩格斯在《反杜林论》中直接给予了否定，他说：“永恒真理的情况也是一样.如果人类在某个时候达到了只运用永恒真理，只运用具有至上意义和无条件真理权的思维成果的地步，那末人类或许就到达了这样的一点，在那里，知识世界的无限性就现实和可能而言都穷尽了，从而就实现了已经数出来的无限数这一著名的奇迹.”(参见恩格斯，1970年，第84页)

为了说明“潜无限”思想，恩格斯认为不能用“思维与客观世界的同一性”去证明人的思维产物的现实性，进而对黑格尔思辨的神秘色彩------“绝对精神”进行了批判，他说到：“企图以思维和存在的同一性去证明任何思维产物的现实性，这正是一个叫做黑格尔的人所说的最荒唐的热昏的胡话之一”(参见恩格斯，1970年，第39-40页)；“但是在人类历史中，黑格尔承认无限的进步过程是‘精神’的唯一真实的存在形式，虽然他空想地认为这个发展是有终结的------在黑格尔哲学的确立中”(参见恩格斯，1971年，第215-216页).上述论述说明，我们不能因为“有限主观世界”与“客观物质世界”存在“同一性”而去证明我们的思维产物--------“无限过程可以完成”-----现实性，这实际上指出了“实无限”观存在的致命缺陷.也就是说，“思维的无限可超越性”并不表示“客观无限过程的可完成性”，而且“思维的无限可超越性”也从来没有真正“完成过”.

4.恩格斯认为无限的东西既可以认识，又不可以认识.这与黑格尔所坚持的“潜无限”、“真无限”在本质上是一致的，即“真无限”（作为无限物之间的普遍联系、内在关联）可以认识、完成的，而“潜无限”不可以认识、不可以完成.

首先，恩格斯认为“无限”可以认识，也就是黑格尔的“真无限”是可以认识的.他说，“这是完全正确的，只要进入我们认识领域的仅仅是有限的对象.但是这个命题还须有如下的补充：‘我们在根本上只能认识无限的东西.’事实上，一切真实的、详尽无遗的认识都只在于：我们在思想中把个别的东西从个别性提高到特殊性，然后再从特殊性提高到普遍性；我们从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来.然而普遍性的形式是自我完成的形式，因而是无限性的形式；它是把许多有限的东西综合为无限的东西.……自然界中的普遍性的形式就是规律，而关于自然规律的永恒性，谁也没有自然科学家谈得多.……对自然界的一切真实的认识，都是对永恒的东西、对无限的东西的认识，因而本质上是绝对的”(参见恩格斯，1971年，第211-212页).这儿，“普遍性的形式就是规律”就是指黑格尔的“真无限”，因而是“自我完成的形式”，是一种可完成的、可认识的自为的存在，所以是一种肯定、一个更高级的有限.

另一方面，恩格斯也指出“无限”是不可以认识的，也就是说黑格尔的“潜无限”不可以认识.他说，“但是，这种绝对的认识有一个重大的障碍.正如可认识的物质的无限性，是由纯粹有限的东西所组成一样，绝对地进行认识的思维的无限性，是由无限多的有限的人脑所组成的，而人脑是一个挨一个地和一个跟一个地从事这种无限的认识，常做实践上的和理论上的蠢事，从歪曲的、片面的、错误的前提出发，循着错误的、弯曲的、不可靠的途径行进，往往当真理碰到鼻尖上的时候还是没有得到真理（普利斯特列）.因此对无限的东西的认识是被双重的困难围困着，就其本性来说，它只能在一个无限的渐渐的进步过程中实现.这已经使我们有足够的理由说：无限的东西既可以认识，又不可以认识，而这就是我们所需要的一切”(参见恩格斯，1971年，第212页).

无限是“潜无限”与“真无限”的统一，是一个自在自为的存在；“真无限”离不开“潜无限”，自为存在离不开自在存在.人类对无限的认识，由可能到现实、由抽象到具体，完成从“潜无限”到“真无限”的转变.“真无限”是现实的、具体的、肯定的、积极的、理性的、完成的无限，是自为的存在和理性的存在，是完成了的质；而“潜无限”是可能的、抽象的、否定的、消极的、形而上学的、不可完成的无限，是自在的存在和知性的存在.真无限与潜无限的区别反映了辩证法的理解与形而上学的理解之间的对立.黑格尔在《小逻辑》中总结到（参见黑格尔，1987年，第176页）：“反之，辩证法却是一种内在的超越（immanenteHinausgehen），由于这种内在的超越过程，知性概念的片面性和局限性的本来面目，即知性概念的自身否定性就表述出来了.凡有限之物莫不扬弃其自身.因此，辩证法构成科学进展的推动的灵魂.只有通过辩证法原则，科学内容才达到内在联系和必然性，并且只有在辩证法里，一般才包含有真实的超出有限，而不只是外在的超出有限.”因此，从潜无限到真无限是一个内在的超越、一个辩证过程.真无限、潜无限都是无限性的基本形式，黑格尔提出真无限包含并扬弃潜无限的这一深刻辩证结论，力求具体地、现实地把握无限性，反对对它作抽象的推论.从潜无限到真无限，就是从知性到理性的转变，是人类对无限认识的巨大飞跃，也是黑格尔哲学的最高任务.

辩证无限观认为无限是质与量的统一，潜无限代表无限的量（运动），真无限代表无限的质（规律、共性或联系）.辩证无限观认为实无限将有限、无限割裂开，用静止而不是运动的观点看待事物，具有内在的不可调和的矛盾，是一种形而上学、唯心主义的无限观.

在辩证无限观看来，无限是一个客观存在，如时间、空间是天然的客观无限，这就确认了无限集合存在的合理性.在这一点上，辩证无限观与康托尔、希尔伯特思想是完全一致的.但是，他们思想的主要区别在于对“无限进程能否完成”的看法上，辩证无限观认为无限进程不可能完成，而康托尔、希尔伯特则认为无限进程可以完成、结束.所以，辩证无限观者并不反对康托尔的无限集合理论.

如何科学地把握一个无限，辩证无限观与希尔伯特思想仍然是一致的.在辩证无限观者看来，潜无限是抽象的，无法结束、无法把握，是无限的外在表现，体现了无限的运动，但是真无限是具体、现实的，是一个有限，可以认识、把握，它是无限的内在质的体现.希尔伯特认为我们无法在现实世界中找到无限，这里的无限就是指潜无限，因为世界是无限的，而人类思维是有限的，所以任何潜无限都是我们人类智力无法把握的，这深刻体现了主客体之间的矛盾（即有限无限矛盾）.但是，我们人类又是能认识无限世界，这种认识就是指我们人类能够把握无限的内在规律，即无限的质、真无限.因为真无限是一个有限，所以，我们能够通过有限性来掌握无限.因此，辩证无限观的真无限思想与希尔伯特的通过有限性掌握无限的思想是完全一致的.其实，人类文明以来的关于科学认识的历史，无一不证明了这样的一个铁的事实：人类通过认识真无限来认识无限.我们人类只能在真无限的意义上来掌握无限.

在《论无限》一文中，希尔伯特总结道：“最后，我们要再回到我们的主题上来，对我们关于无限的全部思考作出一些结论.我们的主要结果是：无限在现实中的任何地方都找不到.它既不存在于自然界中，也不为理性思维----存在与思维之间一种引人瞩目的和谐----提供合法的基础.与弗雷格和戴德金以往的努力相反，我们认为要获得科学的知识，某些直觉的概念和洞察力是必要条件，单凭逻辑是不够的.以无限进行的运算只有通过有限性才能成为确定的.”；“留给无限去起的作用只是一个观念的作用----如果我们依照康德的术语，把观念理解为一种理性概念，它超乎一切经验之外，而使具体事物得以完成为一个总体----而且是一个在由我们的理论所建立的框架内我们可以毫不迟疑地予以信任的观念的作用.”上述论述，充分说明了希尔伯特的无限思想：无限不是一个客观存在，无限作为理性概念存在于经验之外，我们只能通过有限来掌握无限性.

以希尔伯特（Hilbert）为代表的形式主义派在“无限问题”上本身就是矛盾的，一方面他们承认无限集理论，因而承认“无限”的实在性，是典型的实无限论者，但是在另一方面，在具体的应用中又坚持“有限主义原则”，对实无限性的概念和方法的使用顾虑重重，几乎和直觉主义者一样认为可信性只能存在于有限之中，认为无限性对象是超越直觉而不可信的，因此又是一个“潜无限”论者.因此朱梧槚先生生动地把希尔伯特称之为“幕前的实无限论者”和幕后的“有穷主义者”（参见朱梧槚，2008年，第146页）.这充分说明了希尔伯特在无限问题上的矛盾性，根本原因就在于其没有认识到无限问题的辩证性，没有看到无限是真无限与潜无限的矛盾统一体，也没有看到无限的“存在性”和“过程的完成性”是完全不同的两个概念.因此，在“无限性对象”存在性问题上，形式主义学派与逻辑主义学派是一致的，并与直觉主义学派相对立；在具体的数学推理方法中希尔伯特坚持有限性原则，这又与直觉主义学派站到了同一阵线上.因此希尔伯特是一个不那么坚定的实无限论者、一个矛盾的实无限论者，他的无限思想更接近辩证唯物主义无限观.