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亚里士多德对于连续与离散的认识

“连续”与“无限”是天然联系在一起的，正如亚里士多德(Aristotle)所说，“运动被认为是一种连续性的东西，而首先出现在连续性中的概念是‘无限’.（这就是为什么‘无限’这个术语常常出现在连续性的事物的定义中的缘故，例如说‘可以无限分割的就是连续性’）”（亚里士多德，p.68）.亚里士多德认为，所有的量，要么是离散的，要么是连续的.

关于“连续”，亚里士多德有过如此的分析和定义：“‘连续’是顺接的一种.当事物赖以相互接触的外限变为同一个，或者说（正如这个词本身所表明的）互相包容在一起时，我就说这些事物是连续的；如果外限是两个，连续是不可能存在的.作了上述这个定义之后可以明白，连续的事物是一些靠了相互接触而自然地形成一体的事物.”（亚里士多德，p.148）

在亚里士多德看来，线是不可还原的几何对象而非某种更基本对象（譬如标准点）的集合，任何连续事物都能分成永远可以再分的部分.因此他坚决反对线段由点构成，认为无穷多点不可能构成“连续性”.在无限问题上，亚里士多德是历史上第一个明确地只承认潜无限而反对实无限的学者.

亚里士多德从连续的角度解释线段不可能由点构成.他指出：“如果‘连续’、‘接触’、‘顺联’这些术语的定义如前所述的话------如果事物的外限是一个，它们就是连续的，事物的外限在一起的，就是互相接触的，如果没有同类事物夹在中间，就是顺联的------那么我们说，不可能有任何连续事物是由不可分的事物合成的，例如线不能由点合成，线是连续的而点是不可分的.”（亚里士多德，p.162）

亚里士多德认为“不能由无部分的事物合成连续体”（亚里士多德，p.171），即他认为线段不是由点组成、时间不是由瞬间构成.他详细地进行了如下说明：“再说，点和点，‘现在’和‘现在’也不能顺联起来，以致由点组成长度，由现在组成时间.因为，要没有同类事物夹在中间才能是顺联，而点与点之间总是夹有线段的，现在和现在之间总是夹有一段时间的.…….但是没有一个连续的事物能分解成无部分的事物.在点和点之间或现在和现在之间也不可能有任何不同类的事物.因为，如果有的话，那么显然，这个事物或者是不可分的或者分成永远可以再分的.而这后者是连续的.并且也很显然，任何连续事物都能分成永远可以再分的部分（因为，如果分成不可分的，那么就会有不可分的事物和不可分的事物相互接触了），因为连续诸事物的限相互接触成为一体.”（亚里士多德，p.163）

他认为时间是连续的，并认为时间不是由瞬间组成；时间无限可分，但不是由不可分的部分组成的.他在《物理学》中多处指出：“既然如此，那么必然时间也是连续的.我所说的连续的事物是指可以分成永远可再分的部分的事物；正是根据关于连续事物的这个定义才说时间必然是连续的.”（亚里士多德，p.167）；“因为‘现在’是已过去时间的一个限（没有任何一段将来的时间在这边），又是将来时间的一个限（没有任何一段已过去的时间在这边）.因此我们曾经说过，它是过去时间和将来时间的共同的限.……作为两段时间的限的‘现在’必然是同一个.因为，假定是不同的两个，那么，因为不能由无部分的事物合成连续体，这两个‘现在’不能互相顺联.假定是分离的，那么在这两个‘现在’之间就会有一段时间，因为任何连续体都是这样的：在两个限之间有同名事物.”（亚里士多德，p.171）；“因为时间不是由不可分的‘现在’组成的”（亚里士多德，p.191）；“但是前面已经证明过了，这是不可能的事情，因为时间不是由‘现在’组成的，线也不是由点组成的，运动也不是由‘跳跃’组成的.”（亚里士多德，p.195）

亚里士多德认为点不属于线.他认为在线被分割成两部分时，要问分割点属于哪个部分是毫无意义的，因为点虽然在线上但他们并不属于线，线上的点不过是对于线的概念划分.“点”没有长度，所以不是线段的构成部分，而仅仅是一个位置的“标记物”而已.

亚里士多德在《物理学》中讨论并指出数学中的“点、线、面、体”是抽象物：“数学家虽然也讨论面、体、线、点，然而不是把它们作为自然物体的限，也不是作为这些自然物体显示出来的特性来讨论的.数学家是把它们从物体分离出来讨论的.因为在观念上它们是可以同物体的运动分开来的.而且这样做，不会有什么影响，也不会造成结论上的错误.”（亚里士多德，p.47）

如何建立“连续性”概念，始终是哲学家面临的难题.亚里士多德不承认连续直线（或线段）由无穷多点组成的说法，认为无穷多点不可能构成“连续性”.与此相反，其老师柏拉图(Plato)则认为线段上有无穷多个点.数学大师希尔伯特(Hilbert)认为数学上的连续性不能用于经验，也就是说数学的连续性不是来自经验，而庞加勒(Poincaré)则认为数学上的连续性来自于经验连续性.