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有限与无限关系问题问题认识的历史回顾

人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程，正如Hilbert所指出的：“无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧；更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清.他还指出“数学是处理无穷的科学”．数学史上所谓三次危机都与无穷有关，它在本质上源于人们对无穷的认识不断深入的过程中所引起的认识上的困难．我们可以把到目前为止人们对无穷小的认识大体上分为以下5个阶段．

第一，对无穷小认识的初级阶段是早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派为了解决不可公度的问题，提出了“原子论”作为一种非常小的度量单位．此后，无穷小伴着古希腊的“穷竭法”，卡瓦列利的“不可分量原理”，促使微积分方法的萌芽和发展．在我国则有战国时期(公元前446-256年)的分杵原理，即惠施提出的“一尺之杵，日取其半，万世不竭”等．

第二，以微积分的诞生为标志，对无穷小量的认识经历了三百年左右的曲折认识，到19世纪才将无穷小量作为其极限为零的变量使用，这是属于潜无穷的认识阶段．

第三，19世纪70年代集合论的建立，使人们对无穷小量的认识进入到实无穷阶段．实无穷抽象作为一种深远的理想化所生成客体的“现实性”并不是直接的.在逻辑上，承认实无穷抽象导致承认排中律而把它作为一条逻辑原理．

第四，20世纪60年代的非标准分析将实数域扩大到超实数域，其中每一个通常的实数看成是超实数的标准部分，它的周围聚集着无穷小邻域即单子，对单子结构的分析，是认识无穷小的一个本质的进步．但这种认识仍有其时代的局限性，例如Robinson仅从数理逻辑的角度来认识无穷小，并且用“互补原则”来看待无集集合等．

第五，20世纪80年代兴起的“超弦”理论，为无穷小理论提供了新的模型．20世纪现代数学的发展，促使人们逐步认识到实数集合有离散性和连续性两方面．每个实数和数轴上唯一的点成一一对应，实数集合从代数的角度看，它呈现出群、环、域等离散性的侧面，而从拓扑的角度看，它是局部列紧的，又呈现出连续性的一面；实数集的无穷性看成潜无穷时，就要研究实数形成过程的一般性质，例如要用有理数列来逼近无理数；而看成实无穷时则是将实数集合当作一个数学客体来研究．超弦理论的基本思路是将基本粒子作为它的一种泛函空间来研究，而不再像传统的观点那样将基本粒子作为一个质点(几何点)来看待．

1.亚里士多德的无限观

亚里士多德是古希腊哲学的集大成者，马克思称之为古希腊哲学家中最博学的人，恩格斯称之为“古代的黑格尔”.他的无限思想主要是：无限存在，但是无限不能以现实的方式存在，也就是说无限只能潜在；无限不能与感性事物分离，不能单独自身存在.他承认无限存在.在《物理学》中，他指出：“但是，如果说根本没有无限，显然许多说不通的结论就会因而产生，例如时间就会有开始和终结，量也就不能分成更小的量，数也不会是无限的.”.他对“无限”的涵义进行了分析，认为无限的本质在于“此外永有”：“‘无限’的真正涵义正好与平常大家理解的相反，不是‘此外全无’，而是‘此外永有’.……,而‘此外再无’的东西是‘完成的’或‘完全的’.”.在《形而上学》一书中，他认为无限的本意就是不可穷尽；他是这样描述无限的：“无限（无尽）或（甲）是不能达到尽处的，因为它的本性就是不可尽（这于声音总是看不到的有所类似）或（乙）是容许无尽地进行的，或是（丙）很难进行到尽处，或是（丁）虽则自然地可到尽处，却从未到过尽处.…….说无限是一个可分离的独立实是而又不可得见，这是不可能的.”

亚里士多德认为无限不是一种现实存在，也就是说在人类主观世界中不可能有真实的无限.他指出：“没有现实的无限物体”；“事物被说成‘存在’，一种指潜能的存在，另一种是指现实的存在.…….现在，如我们已经说过的，量在现实上不是无限的，但分起来却是无限的（驳斥‘不能再分的线’是不难的），因此只有潜能上的无限.……，但无限不是这样，不会有现实的无限.”；“因此，既然没有任何一个感性的量是无限的，也就不可能有一个超过一切已定量的量.”；“也很显然，无限不能作为一个实现了的事物、一个实体或根源.”.

怀特海讲过：“亚里士多德关于称谓和关于基本实体的学说，就发展而为实体的诸属性相互联系而基本实体之间却相互分离的学说了.所有的现代认识论和现代宇宙论都为此问题而大伤脑筋”.牛顿所谓的力，不管表现为何种数学公式，都不过是上帝施予的外加条件而已.亚里士多德认为无限是潜在的、无限不可穿越，无限不能与感性事物分离，不能单独自身存在.在亚里士多德看来，无限是一种关系或属性，是客体存在的表现形式，即客体的量的存在形式，因而也可以说是客体的一种属性，即客体的量的属性.如时间、空间具有无限属性，也因此称时间空间是无限的.他指出：“无限是一种脱离感性事物的自在的无限----这种说法是不可能的.”；“总的说来，不可能有感性物体是无限的.”.他认为无限是不可穿越的，“无限者一种是指不可能有‘穿越’的事物，…….另一种是指，虽可以谈得上穿越，但穿越不到尽头的（……）事物.”

数学中的实无限思想实际上起源于古希腊哲学家柏拉图（Plato）.“但这和‘无限是一个实现了的事物’的说法又有矛盾，因为后者必然是一个一定的量.因此，无限是作为属性属于实体的”.在柏拉图看来，无限是一个可以完成、实现的事物，也就是无限过程是可以完成的.柏拉图认为无限是一种实在，“有些人，如毕达哥拉斯派和柏拉图，把无限看作为自在的实体，而非其它事物的属性.”；“可是柏拉图则主张有两个无限：大和小.”，但是柏拉图从来没有使用过这种无限大、无限小.

综上所述，亚里士多德的无限思想是一种朴素的、唯物主义的无限思想，仅仅从量的方面分析了无限，但是却深刻的揭露了潜无限的本质.

2.逻辑主义学派的无限观

逻辑主义学派主要观点：认为能把全部数学化归为逻辑，承认实无限观点下的无限集理论，承认无限性对象的存在性，从而承认实无限性研究对象在数学领域中的合理性，因此就无限观而言，逻辑主义学派是实无限论者，罗素是其典型的人物代表.就无限的存在性，这一点与辩证唯物主义无限观是完全一致的.辩证唯物主义无限观认为，无限是一种客观存在，它承认数学把无限性客体作为一个研究对象的合理性，它认为无限客体的整体性与无限客体内在的过程性是完全不同的两个概念（而逻辑主义学派却没能区分），它所反对的就是在具体的数学方法、步骤中涉及无限过程的完成性.然而，逻辑主义学派面临无穷公理、选择公理的挑战，为解决集合悖论而发展了“分支类型论”，从而变相地回归到潜无限思想上去.因此，逻辑主义学派最终没有能逃离潜无限，从某种程度上也可以说，他们回归到辩证唯物主义无限观的发展道路上.

3.形式主义学派的无限观

形式主义学派的本质是将系统形式化、公理化，认为数学是纯粹的符号游戏，认为数学的真理性在于形式系统的无矛盾性，他们根本不关心数学的客观实在性.以希尔伯特（Hilbert）为代表的形式主义派在“无限问题”上本身就是矛盾的，一方面他们承认无限集理论，因而承认“无限”的实在性，是典型的实无限论者，但是在另一方面，在具体的应用中又坚持“有限主义原则”，对实无限性的概念和方法的使用顾虑重重，几乎和直觉主义者一样认为可信性只能存在于有限之中，认为无限性对象是超越直觉而不可信的，因此又是一个“潜无限”论者.因此朱梧槚先生生动地把希尔伯特称之为“幕前的实无限论者”和幕后的“有穷主义者”.这充分说明了希尔伯特在无限问题上的矛盾性，根本原因就在于其没有认识到无限问题的辩证性，没有看到无限是真无限与潜无限的矛盾统一体，也没有看到无限的“存在性”和“过程的完成性”是完全不同的两个概念.因此，在“无限性对象”存在性问题上，形式主义学派与逻辑主义学派是一致的，并与直觉主义学派相对立；在具体的数学推理方法中希尔伯特（Hilbert）坚持有限性原则，这又与直觉主义学派站到了同一阵线上.因此可以讲，希尔伯特是一个不那么坚定的实无限论者、一个矛盾的实无限论者，他的无限思想更接近辩证唯物主义无限观.

4.直觉主义学派的无限观

直觉主义学派主要观点：坚持潜无限而排斥实无限，“存在必须被构造”是其口号，坚持从“可信性”考虑数学概念与方法，认为自然数集N永远处于构造之中，认为实无限性对象是不可构造的，它不承认无限作为一个客体的存在性，所以，其无限观是典型的潜无限，其哲学观属于典型的主观唯心论.其典型的人物代表有彭加勒、布劳威尔.彭加勒主张最基本的直观，无需再作进一步的分析就可认为是可信的，多次谴责实无限集合观念，主张潜无限概念；而布劳威尔则旗帜鲜明提出了“存在必须被构造”的观点，从而成为直觉主义的奠基人.因此直觉主义无限观与辩证唯物主义无限观是完全背道而驰的.辩证唯物主义无限观既坚持无限客体的存在性，又坚持无限过程的不可完成性，而直觉主义无限观只机械地看到无限过程不可完成（这一点与辩证唯物主义无限观一致），并由此否定无限客体的存在；它只看到量变，而看不到质变，只看到局部，而看不到整体，只看到人类思维的有限性，而看不到人类思维的能动性.因此直觉主义者不能超越潜无限过程而发现无限事物的真谛（即真无限）.

关于“无限是否能被构造”问题，我们从辩证唯物主义无限观的角度来讨论.由于无限性包含了有限无限矛盾，因此无限的构造问题本质就是一个有限无限问题.所谓“构造”，首先是一个主观行为，因而也是一个有限性的概念，从这一点讲，任何“构造”必然陷入一个无限过程中、陷入潜无限中，因而不可能完成，从而我们自然得出这一结论：无限是不可能被构造的.任何一个“构造”，是对存在的判断，都是一种潜无限、一种无限过程，这充分体现了有限无限矛盾.如果说自然数集N是构造的，那就是不完全的、不可完成的；如果说N“已构造出来”，那也仅仅是我们想象的完成的“无限”，而构造过程仍然独立存在着，所以自然数集N作为一个无限物是不可构造的.同样而言，关于罗素悖论，应该说集合的构造必须符合“潜无限原则”，构造是对存在的判断，是面向历史、而不是面向未来；坚持这一原则，则我们就可以清晰地解决罗素悖论问题.

上述，我们从过程的角度即从潜无限角度解释了无限是不可构造的.然而，由于无限既可以完成（共性、内在联系，作为真无限）、又不能完成（从过程看，作为潜无限），因此，从真无限的角度，无限又可以被构造.让我们从真无限的角度来构造这个集合.我们规定以下这一构造规则：令n的“后继”n+=n+1.这一构造自然数集N的规则是一个真无限，它明确了任一元素与其“后继”的逻辑关系（前者是后者的条件），从而确定了所有自然数之间的内在联系和规定性.有了这样的规则，再加上一个“原点”，同时明确经此规则所生成的一切元素组成一个集合，这样一来，我们所需要的自然数集N也就构造出来了.这种构造方法，本质是通过“共性”（即内在联系、规律，一个真无限）来构造一个具有“序结构”的无限对象，因此这种构造与其叫做“构造”，不如称之为“定义、规定或公理”，这样可能更恰当一点.因此，从真无限的角度，也就是说从内在的联系、逻辑关系的角度，自然数集N是可以被构造的，这也就承认了自然数集N作为一个无限客体存在的合理性.这正体现了人类思维的能动性，实现了人类对无限认识的飞跃.然而这种基于真无限思想对无限物的构造，并不表示我们可以完成一个无限过程，因为存在的无限不等于可以完成的无限.