微积分之谜历史回顾

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微积分是近代数学中最微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.—— 冯. 诺伊曼

数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材.

一、    第一代微积分及其困扰

庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门学科的历史和现状.”17世纪社会生产的发展，推动了自然科学的发展，从而使数学从研究常数运算发展到研究变数运算；从分析有限量问题发展到分析无限量问题.于是，要求数学革命的形势就摆在了人们的面前.在这种形势下，英国数学家、哲学家、物理学家牛顿（IsaacNewton，公元1642.12.25～1727.3.20），德国数学家、哲学家、数理逻辑学家、自然科学家莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，公元1646.7.1～1716.11.14），分别于公元第1661～1670年间和公元第1671～1680年间，各自以无穷小量为基点，分别创立了微积分理论，所以叫做无穷小量分析法.牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论.他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”.但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述.牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，a_n无限地接近于常数A，那么就说a_n以A为极限”.它虽然在实践中无所不能，但却在理论上留下了微分dx既等于0又不等于0的矛盾之谜，牛顿（IsaacNewton，公元1643.1.4～1727.3.31）、莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，公元1646.7.1～1716.11.14）创立的微积分理论——无穷小量分析法或第一代微积分，定义并求函数y=x²的导数的过程为：令函数y=x²的自变量x变化无穷小量dx≠0，则y随之变化增量dy，所以dy=(x+dx)²-x²=x²+2xdx+(dx)²-x²=2xdx+(dx)²，G(dx)=== 2x+dx(dx≠0)．因为无穷小量dx非常非常小，所以可以把dx看作是0，所以就把函数F(dx)=2x+dx(dx可等于0)在dx=0时的函数值定义为函数y=x²的导数，记做y′或，于是有：y′==F(dx=(2x+dx=2x+0=2x．(1)

从上述(1)式的推导知，第一代微积分在推导出函数G(dx)==2x+dx(dx≠0)时，无穷小量或微分dx≠0，然而，在定义并求函数y=x²的导数时，又把dx≠0改成F(dx)=2x+dx(dx可等于0)中的dx=0.因此第一代微积分说不清楚到底是dx≠0还是dx=0，亦即产生了dx≠0和dx=0的矛盾.这个矛盾由于dx叫做微分而叫做微分之谜，由于这个谜是第一代微积分理论中的重要内容，所以这个谜也叫做微积分之谜.大数学家柯朗说过：“......在取极限以前，商△y/△x的分母△x已被消去或已变成使极限过程能顺利完成的形式，这一点是微积分的实际过程中的关键所在.我们如果试图不预先作这样的简化而取极限的话，得到的将是毫无意义的关系式△y/△x=0/0，而对此我们是根本不感兴趣的”（柯朗《数学是什么》P446）.

人的天职是勇于探索真理.开普勒经过艰苦的努力描述了天体运动的规律，但是并没有说天体为何这样运动，这个问题牛顿做了回答.可以说对简单性原理更具有权威性的表述者是牛顿，牛顿的科学方法论中有四条法则，其中一条：“除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻求自然界事物的其他原因……自然界不作无用之事，只要少做一点就成了，多种了却是无用；因为自然界喜欢简单化，而不爱用什么多余的原因以夸耀自己”.对简单性原理做了表述，他在研究的过程中总结了引力及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨论等众多的问题，结合前人的研究成果，利用自己的微积分方法成功的证明了椭圆轨道与平方反比定律的联系，并且证明了任何两个物体之间的相互作用力保持不变，这一相互作用力就是万有引力，它的大小与两个物体质量的乘积成正比，与二者之间的距离的平方成反比.之后牛顿以万有引力定律为基础，利用数学方法反推出开普勒第三定律，为开普勒第三定律做了修正，使得更加精确，并从物理学的角度对行星沿椭圆轨道运动的动力学原因做了完美的解释.

牛顿三大定律不仅从物理语言的表达上非常简单，而且在数学表达上也非常简单，很直观，非常美，万有引力很简洁的说出了物体之间的相互作用力与物体的质量和物体之间的距离有关系，这种力大到天体之间，小到人们生活中的两个小物体，将天地统一在了一起，这就是自然现象是复杂的，可本质具有简单性，彼此具有统一性.牛顿的《自然哲学的数学原理》在1687年发表，对万有引力和三大运动定律进行了描述.这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础.他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律，为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命.

自从牛顿将“奥卡姆剃刀”原理创造性的引入到物理学的研究领域，“奥卡姆剃刀”就成为物理学研究领域的一个有力的武器，物理学家们运用这个武器去思考、研究、分析、解决不少的物理学问题.1687年牛顿的《自然科学的数学原理》一书的出版，建立了经典力学体系.此后200余年时间，物理学家们沿着牛顿所指引的道路继续前进，终于建立了经典物理学大厦.在建立好经典物理学大厦的同时，牛顿的思想、方式、方法、世界观和时空观已经深深的刻印在人们的脑海中，形成了一种思维定式.很多人已经达到了牢不可破、坚不可摧的地步.这样也就束缚了人的思维，禁锢了人的思想.

在１8世纪出现的数学新分支中，变分法的诞生最富有戏剧性.变分法起源于最速降线和其它-些类似的问题.所谓最速降线问题，是要求出两点之间－条曲线，使质点在重力作用下沿着它由－点至另－点降落最快(即所需时间最短).这问题最早由约翰.伯努利提出来向其他数学家挑战.

变分法处理的是－个全新的课题，它与通常的函数求极值有本质区别，即它的值依赖于未知函数而不是未知数.欧拉对于变分问题给出了－般的处理.他在１744年借助－个二阶常微分方程，给出了变分问题的解应满足的必要条件，这就是后来所谓的"欧拉方程"，至今仍为变分法的基本方程.欧拉的工作奠定了变分法的这门新学科的独立基础.

二、第二代微积分及其困扰

到公元第19世纪中叶前后，法国著名数学家柯西（AugustinLouisCauchy，公元1789.8.21～1857.5.22）等人，以极限过程为基点、以成为标准数的实数为极限过程无限趋近的目标修改了微积分，创立了标准分析法.规定=的这个问题，是捷克斯洛伐克数学家、哲学家波尔查诺（Bernard或BernhardBolzano，公元1781.10.5～1848.12.18）、法国大数学家柯西（AugustinLouisCauchy，公元1789.8.21～1857.5.22）、德国大数学家维尔斯特拉斯（KarlTheodorWilhelmWeierstrass，公元1815.10.31～1897.2.19）、戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，公元1831.10.6～1916.2.12）、康托尔（GeorgFerdinandPhilipCantor，公元1845.3.3～1918.1.6）等人于公元第19世纪中叶创立的、并于公元第1871～1880年间才趋于成熟的“标准分析法”中的结论.有人认为牛顿、莱布尼兹的第一代微积分直观性强、逻辑性弱，柯西、维尔斯特拉斯的第二代微积分直观性弱、逻辑性强.

19世纪中叶柯西等人用极限学说修改了微积分，把dx≠0和dx=0的矛盾用极限符号掩盖起来，叫做标准分析法，例如标准分析法求函数y=x²的导数时，令自变量x变化任意增量Δx≠0，则y随之变化增量Δy，所以y+Δy=(x+Δx)²=x²+2xΔx+(Δx)².Δy=2xΔx+(Δx)².Δy/Δx=2x+Δx.

.(2)

式(1)左数第三个等号左边的dx≠0，右边的dx=0；式(2)左数第二个等号左边的Δx≠0，右边的Δx=0．而式(1)中的dx和式(2)中的Δx都是增量，所以标准分析法和无穷小量分析法一样，没有揭开微积分之谜．苏步青：…实际上做了这样一个基本假定：圆周上无限接近的两点间的弧长等于对应弦的长度，对于更复杂的曲线的弧长也是据此基本假定给以定义并由此给出计算的.第二代微积分把函数y=x²的导数先定义为函数

G(dx)==2x+dx(dx≠0)

在dx→0时的极限值，再替换成函数F(dx)= 2x+dx（dx可等于0）在dx→0时的极限值，又换成函数F(dx)=2x+dx（dx可等于0）在dx=0时的函数值；第一代微积分则是把函数y=x²的导数直接定义为函数F(dx)=2x+dx(dx可等于0)在dx=0时的函数值．所以，第二代微积分和第一代微积分分别定义的y=x²的导数，因为都是函数F(dx)=2x+dx（dx可等于0）在dx=0时的函数值而本质相同，只不过是第一代微积分是直接确认、第二代微积分是用极限符号倒换了两次以后才确认而已.

三、非标准分析的发展

野火烧不尽，春风吹又生.白居易在十六岁的时候写下的这一首《赋得古原草送别》，可能称得上是中国流传最为广泛的古诗之一了.我们每个人小时候几乎都背过，当然随这我们的成长，也会对诗里的含义有更新的理解.标准分析法没有揭开微积分之谜的现实，使第二次数学危机这个世界大难题的解决，延长到300多年后的今天，因此马克思批判说：“为了得到导函数，就必须令x₁=x，所以是严格数学意义上的x₁-x=0，而无须任何只是接近之类的遁辞．这种算法，通过肯定是错误的数学途径得出了正确(尤其是几何应用上还是惊人的)的结果.”

非标准分析是由美国数学家 A. Robinson 于 20 世纪 60 年代创立的一种数学理论.它的主要思想是通过引入超实数系统来扩展实数系统，从而解决一些传统数学中存在的问题.在非标准分析中，实数被扩展为包含无穷小和无穷大的超实数.这些超实数可以看作是实数的“扩展”，它们具有与实数类似的运算规则，但同时也包含了一些新的元素，如无穷小和无穷大.通过引入超实数，非标准分析可以更加精确地处理极限、无穷小量、微积分等问题.非标准分析的一个重要特点是它采用了一种“内部逻辑”的方法，即在超实数系统内部进行推理和证明.这种方法允许我们在不改变传统数学的基本概念和定理的情况下，对一些复杂的问题进行更加深入的研究.非标准分析在数学、物理学、计算机科学等领域都有一定的应用.它为解决一些传统数学方法难以处理的问题提供了新的思路和工具.然而，非标准分析也存在一些争议和批评，一些数学家对其理论基础和应用范围持有不同的看法.需要注意的是，非标准分析是一种相对较新的数学理论，其应用和发展仍在不断探索和研究之中.

美国数学家、逻辑学家鲁滨逊，也对人们做了下述批评：“在这个时期的历史写作中，有一个鲜明的对照：对于莱布尼茨及其追随者，给以严格的待遇，而对于极限学说的发起者的错误，却予以谅解.”由于人们严格地对待无穷小量分析法而谅解标准分析法的错误，因而并未发现标准分析法还增加了一个新的大错误，从而使得现行的经典理论——标准分析法的大错误增加为以下3条：一是“凭空想像”的，而不是来源于实践的；二是“强行看作或认为甚至直接规定”的，而不是用公理或成熟理论推导出来的；三是新增加的那个大错误，即把微分概念和增量概念混淆了，亦即dx=Δx.

微分概念dx和增量概念Δx混淆的大错误，还给现行的经典理论——标准分析法惹了一个大麻烦．那就是：现行的经典理论——标准分析法把瞬时速率v定义为路程增量Δs与相应的时间增量Δt之比在时间增量Δt→0时的极限．即

[或：v=(Δs/Δt)=ds/dt=ds/Δt（在Δt→0的条件下）]．

瞬时速率v的物理意义是：瞬时内走过的路程与瞬时之比．那么dt是不是瞬时？若dt是瞬时，ds是瞬时内走过的路程，那么现行的经典理论——标准分析法定义的瞬时速率v=ds/dt就符合物理意义，所以能称得上是来源于实践的理论．但若dt是瞬时，那么Δt就必然是瞬时（因为dt=Δt），而Δt时间内走过的路程是Δs，所以，再按照瞬时速率v的物理意义，就应有瞬时速率v=Δs/Δt，这就与v=ds/dt=ds/Δt发生了矛盾．若dt不是瞬时，那么什么是瞬时？瞬时到底包含多少时间？如果不知道什么是瞬时，不知道瞬时到底包含多少时间，那么又怎么能知道，“路程增量Δs与相应的时间增量Δt之比在Δt→0时的极限”，就一定是瞬时速率v？这样，由于现行的经典理论——标准分析法不知道何为瞬时，不知道瞬时到底包含多少时间，而使得它的瞬时速率v的定义．

恩格斯指出：“数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借来的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明.如我们已经看到的，如果我们从这方面来研究现实，那我们就可以看到数学的无限关系所从之而来的现实关系，甚至可以看到使这种关系起作用的数学方法在自然界中的类似物.”无穷统帅康托尔在《集合论基础》一书中论证了对于完成了的实无穷的反对是毫无根据的,他希望以一种无可反驳的方式来对高斯那样的数学家、亚里士多德那样的哲学家以及托马斯·阿奎那那样的神学家作出答复.他指出:自然数序列1,2,3,⋯是从1开始,通过相继加1而产生的.这种通过相继加1定义有穷序数的过程,被称为“第一生成原则”.将全体有穷整数集合称为第一数类,用(Ⅰ)表示,显然其中无最大数.用一个新数ω来表示它的自然顺序没有什么不当之处,这个新数ω是紧跟在整个自然数序列之后的第一个数———第一个超穷数.要特别注意的是,这里的ω是一个数,而不是微积分中的变量∞(无穷大).ω是“实无穷”,而∞只是“潜无穷”.从ω出发,运用第一生成原则,可以得到一个超穷数序列:ω,ω+1,ω+2,⋯,ω+υ,⋯.由自然数序列1,2,⋯,υ,⋯,到上面这个超穷数序列,这一过程运用的是“第二生成原则”:给定任意实整数序列,如果其中无最大数,则可产生一个新数,它作为这个序列的极限,定义为大于此序列中所有数的一个后继.康托尔的无穷是分层次的,一层上的无穷比其前一层上的无穷“更大”.例如所有几何曲线的数目比所有平面上点的数目大,而所有平面上点的数目又比所有整数的数目大.

M.Kline曾经讲过：“1900年以来的数学基础的进展是令人迷惑（bewildering）的，而数学目前的状况则是反常和可悲的.前进的道理上不再有真理的光芒.尽管数学的证明方法仍然存在需要修正的地方，但是数学曾经是唯一能够得到普遍欣赏和普遍接受的东西，被当作是可靠推理的极致，然而，现在我们只能以矛盾的方式对待数学.……旨在消除可能存在的矛盾以及与建立数学结构相容性的努力宣告彻底失败.已经再也不会存在一致的看法了.按照目前流行的观点，数学不过是不同结构的聚合，每一个结构建立在“属于自己”的公理化集合上.因此需要宣示：必须放弃没有瑕疵（impeccable）的推理.事实上，不同的数学实体只是选择多样性的结果.一部分数学家仍未意识到数学基础的危险，也不知道数学大厦即将倒塌，仍然沿袭传统的数学而乐此不疲.但是，对于另外一些同时代的数学家而言，他们完全清楚数学基础的变幻无常（uncertainties）.只不过他们更愿意无动于衷那些被他们视为与纯粹数学相对立的“哲学”问题.他们发现，相信在数学基础或者起码在他们自己从事的数学活动中存在需要予以严重关切的问题是困难的.对于他们来说，潜台词就是：让我们继续前进，好像过去的75年中什么事情也从来没有发生过.他们仍然按照那种被普遍接受的理性意识谈论证明，而完全不在乎这样的证明是否存在；他们撰写和发表文章，似乎数学基础的不可靠性问题从未存在一样.他们关注的就是不断有新的出版，并且越多越好.个人的成就是必需的，无论是对还是错.个人有选择自己道路的自由.”现行理学中有很多重大悖论和疑难，逻辑主义数学家弗雷格说‘逻辑在哪里出了毛病呢？很多人百思不得其解.这一问题直接威胁到数学的基础………更重要的是，威胁到自然数的定义.’，还说‘对什么是1这样一个貌似简单的问题，尚未有一个完满的答案……否则，我们最终将弄不清楚负数、分数或复数.’^【1】数学家们也都哀叹数学的悖论灾难越来越深重了；有些数学家试图用“零（记为0）和无限大（记为∞）是关于1的反演点，即0∞＝1”的方法^【2】.因为现行的所谓“实数”已（无理的）规定“0是整数、偶数，但不能做除数”；而且0既然是“实数轴”的始点，而∞却在无限的遥远，也不是真正的反演.希尔伯特曾经明确指出:“在现实世界中是找不到无穷的,无论借助于什么样的经验、观察抑或知识.”希尔伯特认为:“在分析中,我们只是把无限大和无限小当作极限概念,当作某种正在到来、正在发生的东西来研究,即我们研究的是潜无限.但这不是真的无限.当我们把数1,2,3,4,⋯⋯的总体本身看作一个完整的统一体,或者当我们把一个区间的点看作同时存在的许多事物的总体时,我们遇到了真的无限.这种无限性称为实无限性.

非标准分析诞生后，其思想方法被运用到了诸如泛函分析、测度与概率论、堆垒数论、随机分析、流体力学等十分广泛的数学领域并取得了新的成果.数学家还把非标准分析的思想与扎德的模糊集合相结合，形成了“非标准模糊集合”的概念.著名数理逻辑专家哥德尔对非标准分析的知识价值有很高的评价：“非标准分析不但常常能够简化初等定理的证明，而且对简化艰深结论的证明也同样有效.例如对于紧算子具有不变子空间的定理就能大大简化.……我们有理由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析.……在未来世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分学后，300年，第一个严格的无限小理论才发展起来.”^[3]

从本体论的视域看，“非标准分析”的出现，也使得那种数学具有唯一不可变动的基础的信仰(如柏拉图主义和基础主义)再次受到了质疑.“非标准分析”表明，数学理论的基础依赖于数学家所采用的理论视角.在数学中，并不存在早已存在的、惟一的和不变的某种基础.从认识论角度看，数学命题正确与否的判断是与所选取的概念和结构相关的.从“标准分析”到“非标准分析”，微积分的发展显示出人们在认识数学的过程采用多重视角的价值.

从方法论的角度看，即使是同一数学领域，可以采用的数学方法也可以大相径庭.不同的数学方法之间并无绝对的优劣之分，而是取决于其理论框架的选取.例如实无限方法虽然在“标准分析”中陷入困境，但在“非标准分析”中却可以获得新的生命力.采用公理化方法研究非标准分析也成为一种选择.因此，在数学发展的道路上，并非是“自古华山一条路”，而常常是“条条道路通罗马”.

四、第三代微积分

中国科学院林群院士和张景中院士采用公理化方法重建微积分基础的可喜尝试和成就，被国内学者称为“第三代微积分”这两种另辟蹊径的做法也是对微积分知识建构多样视角观点的一种强有力的支持.林群教授的基本思想是，不再直接运用极限概念来建立导数的概念，而是采用一致不等式的概念来定义导数.但用一致不等式来定义导数仍然有极限的影子.张景中教授通过定义差商有界函数、甲函数和乙函数等方法，尝试了一条接近导数概念的新思路.2010年林群院士出版了《微积分快餐》一书，张景中院士出版了《直来直去的微积分》一书，这两本书都对第三代微积分的思想进行了系统的阐述.对第一、二代微积分，微分中值定理可以说是一个非常核心的命题.在第一、二代微积分里，借助于实数理论，首先给出函数极限的“ε－δ”定义和利用极限来定义连续的概念，然后是对闭区间上连续函数性质的研究，再通过极限给出导数的概念和一些求导的运算，继而推导出罗尔定理，最后终于得到Lagrange微分中值定理:如果函数F(x)满足:(1)在闭区间［a，b］上连续；(2)在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点ξ，使等式［F(b)－F(a)］/(b-a)=F(ξ)成立.

借助于Lagrange微分中值定理，函数的单调性的判定定理(函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，如果在(a，b)内f(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数f(x)在［a，b］上单调增加；如果在(a，b)内f(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数f(x)在［a，b］上单调减少)的证明就变得异常容易.同样借助于Lagrange微分中值定理，还可以很轻松地得出函数凹凸性和极值的判定定理.再由积分中值定理(如果函数f(x)在［a，b］上连续，那么在［a，b］上至少存在一个点ξ，使等式成立:dx=f(ξ)(b－a)(a≤ξ≤b))，进一步推导出微积分基本定理———牛顿莱布尼茨公式(如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间上的一个原函数，那么dx=F(b)－F(a))，这样微积分就形成一个知识的逻辑链条.

然而，不用无穷小或极限来建立微积分的想法徘徊在数学家心头很多年，挥之不去.很多前辈数学家如牛顿、麦克劳林、拉格朗日、华罗庚等都曾努力做过这方面的尝试，但都没有成功.到了2006年5月，我国数学家林群院士提出用“一致性不等式”来定义导数，避免了极限概念.一致性不等式虽然不提极限或无穷小，但本质上其思想源于极限或无穷小.大家认为这样的定义仍不太直观，而张景中先生从“平均速度和瞬时速度的关系”这个经典案例，悟出一个道理:“瞬时速度有时不大于平均速度，有时不小于平均速度”.于是有了一个重要概念乙函数的诞生.张景中先生提出的微积分，严格却不用“ε－δ”语言，而且仅用初等数学的语言可以说清楚，这就给初学者带来了极好的福音.

张景中先生用不等式定义了三个概念:一是甲函数与乙函数，二是差商有界，三是定义什么是函数的强导数，把这三者合在一起，就推得定理1:差商有界的乙函数f(x)就是甲函数F(x)的强导数.反过来，也是成立的，有定理2:强可导函数F(x)的导数f(x)差商有界.将二者糅和于是有了估值定理3:强可导函数F(x)的导数f(x)就是F(x)的乙函数.三条定理合起来，得到结论：f(x)就是F(x)的强导数等价于f(x)就是F(x)的差商有界的乙函数，估值定理的作用相当于传统微积分的微分中值定理.难能可贵的是，这里仅仅用不等式定义了两个概念，没有绕弯子，没有烦琐的推导，得到的估值定理却具有与传统微积分的微分中值定理同样的功能，隐藏了300多年的秘密终于揭开了!

补充:仅仅考虑函数差商有界仍有不足之处.为了考虑更广泛的函数类，把“差商有界”的概念放宽为“广义差商有界”，可以得到定理4:广义差商有界的乙函数就是甲函数的赫德尔导数.要是考虑更广泛的函数类，借助于控变函数定义连续函数，把差商有界的函数放宽为连续函数，可以得到定理5：连续的乙函数就是甲函数的导数.最容易的是差商有界函数类，再广泛一些的是广义差商有界函数类，最广泛的是一致连续函数类.相应于这三类函数，导数定义可选择强导数、赫德尔可导和连续可导.不论采取哪个方案，都能使学生明白微积分的原理，就不会“知其然而不知其所以然”了.第三代微积分和第一、二代微积分相比，具体的计算方法基本相同，不同的是对原理的说明，第三代微积分对原理的说明更容易理解和掌握.第三代微积分的出现和发展，对数学教育的影响是不言而喻的.了解微积分的新概念和新方法也可以使自己的学习内容更加丰富多彩，亲身经历学科大发展大变化，对启发创新思维也是大有裨益的.因此，建议所有学习微积分的学生、所有讲授微积分的教师，都能够在百忙之中抽空翻阅一下第三代微积分的内容，多角度地思考微积分，相信一定能从第三代微积分的思想和方法中获益.

目前，第三代微积分的内容还没有作为教材在各高等院校推广使用，但是有专家建议:第三代微积分可以限制在初等数学范围内讲授，因为它没有极限的内容，便于高中学生掌握和理解，而以极限为基础的微积分是人类智慧的最高成果在大学讲授，这样可以避免中学微积分和大学微积分之间的重复.

另外，第三代微积分也有其学术价值.现代物理认为当测量的尺度小到一定程度时，时间和空间的性质成为量子了，这样就不能像牛顿所想象的让时间间隔趋于0来取极限，也就是说基于实数理论和极限概念的数学模型仅仅是现实物理世界的近似描述.如果采用第三代微积分的理论，用估值不等式作为数学模型，就克服了这个缺点，使数学理论更适应于现实物理世界.

在十九世纪就要结束之前，至少在物理学，似乎对和谐的追求已经达到极至.英国一位杰出的大科学家开尔文勋爵认为当时在物理学的天空上除了两朵小小的乌云之外是一片晴空，所有已知的物理现象都可以归纳到力学、电磁理论、热力学等高度完美的理论框架里，也许留给后代人解决的物理问题已经不多了.然而正是这小小的两朵乌云引来二十世纪物理学的巨大变革，导致《相对论》和《量子论》两大理论的建立.然而新的观念与传统的观念难以调和，新的理论并不具有传统意义下的完美.传统的完美起码要符合完整、清晰的概念，但是在新的物理学里情况却不是这样：传统的清晰性被新理论内禀的一种不确定性所代替，而完整性只有在统计和几率的意义上才能谈到.这使得科学上的巨人爱因斯坦--二十世纪一个新生理论《相对论》的创立者--在最高的层次上对另一新生的理论《量子力学》进行毕生的质疑，留下名言：“上帝是不掷骰子的.”

　　“我深信，这个理论的基础比起我们仅仅从实验数据所能得到的支持更要有力得多.真实的基础来自这个理论伟大的美.这些基础起源于这个事实，即爱因斯坦引进的新的空间思想是非常激动人心的，非常优美的，不论将来我们会面临什么情况，这些思想一定会永垂不朽.”狄拉克甚至说：“我认为，信仰这个理论的真正理由就在于这个理论本质上的美.这个美必定统治着物理学的整个未来.即使将来出现了与实验不一致的地方，它也是破坏不了的.”日本的粒子物理学家汤川秀树（HiclikiYukawa，1907~1981）评价爱因斯坦时说：“爱因斯坦拥有一份只有少数物理学家才拥有的美感.”爱因斯坦也曾经说：“我坦白地承认我被自然界向我们显示的数学体系的简洁性和优美性强烈的吸引住了……照亮我的道路，并不断给我新的勇气去愉快地正视生活的理想，是善、是美和真.”

计算机只能计算有理数，但在传统微积分中计算所用的理论和公式却是借助实数理论推导出来的.能不能不依赖于实数理论为计算机所用的计算方法提供理论依据呢?第三代微积分提供的数学模型，恰好可以为计算机所用的微积分提供理论基础.第三代微积分基本理论的建立不依赖实数理论和极限，但并不排斥实数理论和极限.极限思想是数学的精华之一，极限的理论和计算在微积分中有重要的地位，实数理论对存在性的论证是不可或缺的.笔者认为所谓第三代微积分就是利用拉格朗日中值定理作为出发点，引入差商控制函数给出导数定义，推演有关微积分的公式，拉格朗日中值定理是第一代和第二代微积分的中间结论，第三代微积分还是没有抓住问题的关键——现有的实数理论不完善.

参考文献：

【1】《当代英美哲学举要》.赵敦华编著.书号IBSN7-80092-552-8当代中国出版社出版.

【2】《话说极限》.张景中主编梁昌洪编著书号为ISBN978-03-023788-0科学出版社出版.

【3】张奠宙．20世纪数学经纬[M].华东师范大学出版社，2002,378.