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正确理解弹性势能的概念

摘要：分析了经典弹性势能概念的局限性，重新定义了弹性势能，推广给出了势能的一般概念，统一了力的作用效果的描述，指明了力就是改变物体运动状态的原因.

关键词：轻质弹簧；弹性势能；势能；质量；力的作用效果

中图分类号：O 313.1     文献标识码：A

深入探索概念所包含的客观含义、从根本上认识自然规律，不能局限于表面、局部的感知，也不能局限于前人的概念或定义，要潜心于探索概念或定义的本质含义和客观含义.概念都是客观事物的代名词，是不参含人为观念或认识或思想的，是不容歪弯曲的.前人的定律也会存在缺陷，在实际实际问题研究中，要以客观实际为准，不能死板硬套，也不能迷信定律，更不能迷信上帝，否则就犯错误.在传统理论中，人为规定概念含义的现象是普遍存在的.力学中有许多概念的定义都不是在搞清楚其本质含义和各种自然概念之间的客观统一关系规律基础上确定的，因此在力学中概念不清、概念错误、认识片面等问题层出不穷.要避免这种情况的继续发生，就必须在深入探索概念的本质、搞清各个概念之间的关系规律、明确概念的客观含义基础上确立概念的定义.

1.      问题的提出

现在一般力学教材给出弹性势能的定义——发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能，在工程中又称“弹性变形能”，例如被压缩的气体、拉弯了的弓、卷紧了的发条、拉长或压缩了的弹簧都具有弹性势能.同一弹性物体在一定范围内形变越大，具有的弹性势能就越多，反之则越小.弹性势能是存储在材料或物理系统的构造中的潜在机械能，因为执行工作以扭曲其体积或形状.当需要压缩和拉伸或大体上以任何方式变形时，弹性能量就会发生.弹性理论主要发展为固体和材料力学的形式（注意，拉伸橡皮筋所做的工作不是弹性势能的一个例子，它是熵弹性的一个例子）弹性势能方程用于机械平衡位置的计算.在数学上方程可以表示为：E_p=                                               kx²，这个定义其实是不完善的，下面首先以弹簧的弹性势能为例说明一下这个问题，上述概念只谈到了弹簧的弹性势能，没有涉及弹簧的动能，不少人理解为忽略弹簧的动能，只研究其势能.可是这样会造成矛盾，例如分析这样一个理想试验：在地面系把一个弹簧压缩后放入真空中，它的势能不断变化，如果不考虑弹簧的动能，显然不满足能量守恒定律.

质点的势能无法对外界直接做功，只有将质点的势能转化为动能，才能对外界直接做功.根据爱因斯坦质能方程E=mc²,能量一定与质量成正比，E_p=kx²无法体现.E=kx²与重力势能、引力势能公式不同，前者与质量无关，后者与质量成正比，这本身就具有一种不协调性，这是物理学理论所不能允许的，正如爱因斯坦1905年在《论运动物体的电动力学》中指出的：“大家知道，麦克斯韦的电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的.”法国物理学家、数学家彭加勒曾经这样说过：科学家研究自然，“是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的.如果自然不美，它就不值得了解.”又说：“这种美在于各部分的和谐秩序，……正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表.”对于自然界的美，人们可以从不同的视角去审视它、研究它、描画它.如果说艺术家主要侧重于从表观上、形象上去认识和反映自然界的美，那么自然科学家则主要是从物质运动的有序性、规律性、合理性及和谐性等方面去揭示自然界的美.

我们不要固守弹簧的弹性势能，这样我们永远无法走出误区，量子力学最初的产生过程也说明了这一点，1900年普朗克在考察了黑体辐射的现象，研究了瑞利——金斯公式和黑体辐射实验数据，应用内插法给出一个实验完全符合的公式：aν/（e-1）；在给出公式后，就立即研究如何从理论上去推导这个公式，为了能够解释他的新公式，普朗克已经决定抛弃他心中的一切，他反复地咀嚼新公式的意义，体会它和原来那两个公式的不同.作为一个传统的保守的物理学家，普朗克总是尽可能试图在理论内部解决问题，而不是颠覆这个理论以求突破.但是在经过种种失败之后，普朗克发现必须接受他一直不喜欢的统计力学立场，从波尔兹曼的角度去看问题，把熵和几率引入到这个系统中去.他发现只要假定原子振动的能量不是按经典物理学所要求的那样在0和∞之间去连续值，而是取如下分立值：E=nhν（n=0,1,2,3，…，ν是振动频率，h为常数），结合数学中的级数知识，推得了这个公式.之后爱因斯坦深化了能量子的认识，认为电磁辐射能量不仅发射与吸收时表现为量子性，而且电磁波本身同时就具有能量子的特性，正是普朗克常数h将代表波动性的ν和代表粒子性的E联系了起来，出于这个考虑，很好的解决了光电效应的困难.之后又提出了固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热的问题，开创了属于量子论的一个新时代.

2. 问题的解决

从上面的分析可以看出只具有弹性势能而不具有动能的弹簧是不存在的，弹弓和弯曲的树枝等发生弹性形变的物体具有势能，在变化的过程中也具有动能，实践中可以忽略动能，是近似处理.轻质弹簧在忽略弹簧质量的同时也忽略了弹簧的势能和动能，现在部分中学教材甚至高考中研究轻质弹簧的弹性势能，这是不准确的，严格讲应该表述为与轻质弹簧连接的质点弹性势能，例如在弹簧振子中静止系测量的势能E_p=kx²=mω²x²，对于运动系质点的弹性势能为E_p=kx²-mωuBsin(ωt)= x²-mωuBsin(ωt)^[1]，如果这样表达弹性势能，就可以看出弹性势能属于质点，而不是属于弹簧，符合质能方程的要求.在大中学阶段可以只研究质点的弹性势能，作为专家可以研究弹簧的弹性势能.当考虑弹簧质量时，可以宏观考虑为若干个受弹力作用的质点，必须研究弹簧的动能了，也可以把弹簧的质量合并到质点中去，必须考虑弹簧的质量是否均匀等因素，不是简单相加.

我们可以把牛顿第二定律和欧姆定律进行类比，合外力相当于电压，质量相当于电阻，加速度相当于电流.导线抽去电阻、电感等属性后用电器的电压等于导线两端的电压一样.类似于不考虑电阻、电感等属性的导线不能承担电压和消耗能量一样，轻质弹簧不能单独承受力^[2]，也不能储存能量^[3]，千万不要认为弹簧振子中弹簧具有势能，忽略动能.这样动能定理就不成立了，外力做功了，动能却没有变化.有人认为弹簧振子中弹簧具有微弱的质量，忽略质量，这显然是错误的.这就像我们忽略摩擦，再考虑微弱摩擦力一样的荒唐.没有质量和具有势能二者不可兼容，理论上不存在运动过程中只具有势能不具有动能的物体，实验中的弹簧是忽略动能(近似处理).有人认为理想的弹簧只具有势能不具有动能，是一个弹性体，但是这个假设违背物理学的基本原理，例如文献[4]构造了一种只具有势能而不具有动能的弹簧，是荒谬至极的.弹簧振子不是质点+实物弹簧，而是质点受到线性回复力，在水平面上受稳定约束的弹簧振子运动模型，实质上是一个与距离r成正比有心力作用下质点的运动问题^[5].在弹簧振子问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑弹簧质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能.

3. 正确理解势能的定义

罗曼在《基本粒子理论》中写道：“我们可以说，物理学的所有的第一性原理都是建筑在对称性基础之上的，或者可以这样地被表示出来的.所以看来只有利用对称性和不变性定律来导出自然规律并验证其正确性才是很自然的.”赵凯华认为：“研究一个规律的表述所具有的对称性，并设法消除某种不对称因素，从而使其规律的表述具有更多的对称性，这无疑是有重要意义的.爱因斯坦也提出：一切科学发现的伟大目标在于“寻找一个能把观察到的事实联系在一起的思想体系，它将具有更大的简单性.”因为它不仅满足人类对于美（对称，和谐）的心理追求，而且更重要的是使表述的规律具有更大的普遍性.由于质点受到万有引力而具有的势能叫引力势能，由于质点受到重力而具有的势能叫重力势能，而把弹性势能定义为由于弹性形变具有的势能不具有对称性，因为弹簧振子中质点具有弹性势能而没有形变.沈致远认为：统一必须洞察现有理论之内在矛盾及其症结. 任何真理都有一定的适用范围，例如经典流体力学中阿基米德原理适用于全部或部分浸入静止流体的物体，要求物体下表面必须与流体接触.如果物体的下表面并未全部同流体接触，例如被水浸没的桥墩、插入海底的沉船、打入湖底的桩子等，在这类情况下，此时水的作用力并不等于原理中所规定的力.如果水相对于物体有明显的流动，此原理也不适用（需要利用伯努利方程）.鱼在水中游动，由于周围的水受到扰动，用阿基米德原理算出的力只是部分值，这些要考虑流体动力学效应.水翼船受到远大于浮力的举力就是动力学效应，所循规律与静力学有所不同.

如果把弹性势能定义为由于质点受到保守弹力作用（并非所有弹力都是保守力，例如非弹性碰撞中的弹力.严格讲弹力都不是保守力，当只考虑弹力的大小和方向，而忽略形变的影响时才是保守力，例如斜面的支持力.）而具有的势能叫做弹性势能就比较完整了，不但包括弹簧振子中的弹性势能^[1]，也包括具有质量的弹簧、弹弓、弓箭等弹性势能，甚至包括光滑斜面上的滑块受到的弹力——支持力等具有的弹性势能^[6]和单摆的摆锤受到摆线的约束力具有的势能等.质点只要受到弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变，例如小滑块在光滑斜面上下滑，斜面的形变为0，质点依然具有弹性势能^[6].有人说没有形变哪来的弹力，确实这样，一个物体放在水平地面上受到支持力是弹力，但是我们不必考虑形变，力学中不必考虑力的性质的来源，重力来源于万有引力,摩擦力还来自于电磁力呢？我们计算摩擦力时从来不考虑电磁力的问题，研究质点所受重力时也不考虑万有引力.

由于弹性形变产生的力叫做弹力.有时为了研究问题的方便，我们忽略弹性形变，但是把这个力保留下来，例如质点在光滑水平面上运动，质点受到弹力等于重力.本来浮力是体积力，当物体在流体中平动时，也忽略可以体积，但是把浮力保留下来.

海森堡说过：“我相信自然规律的简单性具有一种客观的特征.”由于质点受到保守弹力作用（并非所有弹力都是保守力，例如非弹性碰撞中的弹力）而具有的势能叫做弹性势能，由于质点受到万有引力而具有的势能叫引力势能，由于质点受到重力而具有的势能叫重力势能，由于质点受到浮力而具有的势能叫浮力势能^[7～18]，由于质点受到支持力而具有的势能叫支持力势能，由于质点受到约束力而具有的势能叫约束力势能、、、、、、，可以给出势能的一般定义——由于质点受到有势力而具有的能量叫做势能，势能定理为dEp=（-f）dr（与F=等价），当有势力不显含时间(即为保守力)时，势能也可以称为位能.（笔者注：类似地可以定义由于电荷受到电场力而具有的势能叫做电势能，从势能的定义式可以看出单质点的势能是坐标的函数，不具有伽利略变换的不变性.），这样更具有对称性与和谐性.本文把势能和位能区别开来，位能是势能的一种情形，对于保守力二者是一致的，对于显含时间的力是有区别的，此时只有势能没有位能.经典力学教材把二者等同起来，认为只有保守力才存在势能，可是有关文献又指出当势能不显含时间时力是保守力，二者之间存在矛盾，按照本文的观点矛盾自然解决.抽象是在思想上抽出各种对象和现象的共同的、本质的特征，舍弃其个别的特征的过程.概括是人脑把抽象出来的事物间共同的本质特征综合起来，并推广到同类事物中去的过程.概括是一种特殊形式的综合，是概念形成的重要基础.

金属材料在外力作用下发生弹性变形，分析其内任一有限部分（设其包含的区域为V，表面为S）的功能变化关系.根据热力学的观点，物体受力时发生变形，外力对此金属材料做功，同时该物体与外界还可能有热量交换，物体的动能与内能也发生变化.因此，这是一个简单的热力学过程，必须遵守热力学第一定律，同时必须遵守热力学第二定律.此过程按照热力学第一定律其微分表达式为：，其中：表示外力对此物体做功；物体产生的热量；动能增加；内能增加（应变能增加）.

根据产生能量形式的不同，弹性变形的形式和受力情况也不同，一般可分为三种：

a当弹性体在外力作用下发生塑性变形，弹性体在产生变形能（势能）的同时也产生了热能.数学表达式为，此时弹力不是保守力，受力物体也不再是质点了.b当弹性体在外力作用下发生振动效应的变形，弹性体在产生变形能（势能）的同时也产生了动能，此过程受力为动载荷或恒力.数学表达式为，此时弹力是保守力；c当弹性体在外力作用下只发生弹性变形，此变形只产生变形能（势能），此过程弹性体受的力为弹性力.数学表达式为，此时弹力也是保守力.以上三种情况都满足热力学第一定律.爱因斯坦在1936年的“物理学和实在”文中写道：“科学的目的一方面是尽最大可能理解感觉经验之间在其整体中的联系，另一方面是用最少基本概念和关系来达到这个目的.”

4.正确理解保守力的定义

根据dEp=（-f）dr（与F=等价）可以得出只要力场是空间坐标的函数（稳定场），此力一定是保守力，耗散力和显含时间的力不是空间坐标的函数，是非保守力.

文献[19]说明了所有的稳定场都是保守力场.

显含时间力场的定义：对于力F=F（r，t），如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0，那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场.

静电场是保守力场，动电场、磁场是非保守力场.根据dEp=（-f）dr可以得出力场显含时间的充要条件是势能显含时间，文献[20]的观点是完全错误的，只要质点受到保守力就具有势能，具体数值与势能零点的选择有关，只要势能零点相对于观察者不变即可，文献[20]错误的根源在于势能零点的选取错误.机械能守恒定律是时间均匀性的体现，显含时间的力场能量不守恒.

5.力的作用效果的统一

恩格斯早就指出：“相互作用是事物的真正的终极原因”，（《自然辩证法》）现在不少力学教材在表述力的作用效果时指出：“力是改变物体运动状态的原因”或者“力是物体产生形变的原因”，往往认为力的作用效果有两种，其实二者本身是一致的.“力是改变物体运动状态的原因”，此时物体看做质点.“力是物体产生形变的原因”，此时物体不能看做质点，组成物体的各个质点内力也产生了效果，它们的运动状态也发生了改变，物体产生形变只是一个宏观效果.“力矩是物体转动状态发生改变的原因”是对于刚体而言的，物体转动时组成刚体的各质点运动状态发生了改变，各质点的内部作用力产生了效果，这是一个宏观效应，所以可以统一表达为“力是改变质点运动状态的原因”.牛顿就说过，自然界喜欢简单化，而不喜欢用什么多余的原因以夸耀自己.追求简单性是经典科学奋斗的目标，也是推动它获取成功的动力.开普勒以三条简明的定律揭示了看似复杂的太阳系行星运动，牛顿更是用单一的万有引力说明了千变万化的天体行为.因而现代科学是用简单性解释复杂性，这就隐去了自然界的丰富多样性.普朗克曾经讲过：“在科学史上，一个新概念从来都不会是一开头就以其完整的最后形式出现，象古希腊神话中雅典娜一下子从宙斯的头里跳出来那样.”

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       Correct Understanding of the Concept of Elastic Potential Energy

Abstract: The limitations of the classic concept of elastic potential energy were analyzed, the elastic potential energy was redefined, the general concept of potential energy was generalized and presented, the description of the effect of force was unified, and it was pointed out that force is the reason for changing the state of motion of an object.

Key wrds:lightweight spring; elastic potential energy; potential energy; mass; the effect of force