本科生科研指南（42）：无量纲数

张宇宁

华北电力大学（北京）

对于无量纲的数字，在我们的日常生活中实际上非常之多。比如，我们平时经常说的角度便是一个无量纲的数字，其他的例子包括圆周率、黄金分割率和自然常数等等。在科学研究中，为了更为深刻地揭示相关科学规律，也需要定义诸多的无量纲数以方便后续的研究和分析。另外，无量纲数的引入还有利于减少科学研究中所涉及的变量，有效地对研究所涉及的核心内容进行梳理。本期，结合近些年来的教学和科研工作，笔者和同学们一起探讨无量纲数的奥秘。

首先，无量纲数的引入可以极大地方便使用。在科学研究的过程中，所涉及到的很多变量有时候会很大或者很小。如果我们全部用它们有量纲的绝对量来表述，会带来很多的不便。比如，一个分子的质量与我们通常所接触到宏观物体的质量相比非常之小。在我们学习化学的过程中，如果每次分子的质量均用其绝对的质量来表述的话，不但学生基本上很难记住，而且也非常的没有必要。因此，国际上，对物质的原子和分子质量的表述便采用了相对原子和分子质量的概念进行，以碳12原子的十二分之一作为基本单位，将其他物质的原子、分子等等与其进行比值得到相对原子和分子质量。例如，按照此定义，碳原子质量为12，氢原子为1，氧原子为16。那么，由上述原子组成的各类分子的质量便可以很快计算出来。比如，氧气有2个氧原子，其分子量为32；二氧化碳有1个碳原子和2个氧原子，其分子量为44；甲烷有1个碳原子和4个氢原子，其分子量为16。由此可见，通过定义相对原子和分子质量等无量纲数，中学生对于化学的学习便会非常的方便。

对于物质的密度，同学们都很熟悉。但在很多特殊的场合，为了方便起见，经常会用到相对密度的概念。例如，在消防行业中，当密度低于水的物质发生火灾时，如果用水对火灾进行扑灭，该物质因为浮力会浮在水面上，对救火极为不利。所以，消防行业通常使用物质与特定温度下水的密度之比来表征密度，并有针对性地制定相应的消防对策。同样的道理，通风口的设置也要充分考虑危险气体与空气的密度之比，相关措施的制定也是运用了相对密度的概念。密度低于空气的，通风口设置在上方，而密度高于空气的，通风口应设置在下方。石油行业也有类似的相对密度的概念，主要是因为石油的密度随着温度的变化较为显著。因此，我国石油工业将油品在20℃时的密度定义为标准密度，其他温度下的密度可以采用相对密度进行度量，使用起来很方便。

其次，无量纲数经过数学运算以后仍然是无量纲数。如果对无量纲数进行数学运算，所得到的新的数仍然是无量纲的。比如，将一个无量纲数加上另一个无量纲数其结果仍然是无量纲数。类似地，其他数学运算也不改变无量纲数的量纲特性，包括减法、乘法、除法、幂指数、开根号等等。例如，我们把上述的相对密度取一个倒数，便可以得到一个新的无量纲数。值得一提的是，当两个无量纲数相乘时可以产生一个新的无量纲数，但是在很多情况下，该新无量纲数的价值会大打折扣。例如，流体物理中，一般用雷诺数反映流体中惯性力与粘性力的比值，用欧拉数反映压差产生的力与惯性力的比值。如果同学们在学习流体力学的过程中，将雷诺数和欧拉数相乘得到的一个新的无量纲数，它的物理意义是压差产生的力与粘性力的比值。但实际而言，对于一个流动，如果主导该流体流动的物理机制已经完全可以用雷诺数和欧拉数表述，一般不再引入其他的无量纲数。一个特例是毛细数，其表征的是粘性力与表面张力之间的比值。

最后，科学和工程上重要的无量纲数的选择应有科学依据。根据上述数学运算，同学们便会发现对于同一个物理现象和目的，无量纲数的选择是无穷的。因此，无量纲数的定义必须要遵循一定的科学准则才能让其发挥作用。一般而言，我们更为关注无量纲数本身的物理含义。比如，上述消防行业，消防员对于相对密度小于1的流体，立刻便可以形成较为明确的救火对策。如果我们把上述相对密度重新定义，比如让其乘以2或者减去0.5，虽然肯定得到的数也是无量纲的，但失去了该无量纲数原本的物理意义。

无量纲数的定义应对减少科学问题中所涉及的变量个数有所帮助。例如，对于给定管道中的流体流动，该流动现象涉及到管道直径、管内流速、以及流体的密度和动力粘度等多个物理量。通过引入雷诺数作为无量纲数，将上述变量统一考虑到雷诺数之中，极大地减少了该问题所涉及的变量，为后续科学研究和工程实验带来了诸多便利。

在无量纲数的使用过程中，另外的一个需要考虑的因素是约定俗成。如果我们把上述相对密度做个倒数，比如将其定义为空气密度与仓库中存储气体的密度之比。那么，这时候，此无量纲数如果大于1表征气体密度小于空气，如果小于1表征气体密度大于空气，与已有的约定俗成的概念正好相反。从概念上看，似乎没什么问题，但实际使用上却会因与已经约定俗成的概念相违背，带来诸多不便和误解。如果这个“新概念”没有带来新的好处，后续便无法推广。

综上所述，无量纲数可以更为深刻地揭示事物的物理本质，并且起到方便研究、学习、使用等等诸多作用，同学们应该加以牢固掌握。