1.       动量矩坐标系

前篇博文中叙述了表达刚体姿态的 Serret-Andoyer 变量，文中涉及动量矩坐标系，即利用动量矩矢量 L 为坐标轴的参考坐标系。Serret-Andoyer 变量鲜为人知，但所涉及的动量矩坐标系作为一种特殊的数学工具，在动力学分析中却有着应用价值。如 1938 年俄罗斯力学家布尔加科夫 (Bulgakov,B.V.) 的博士论文就利用动量矩坐标系分析陀螺仪的运动。国内涉及动量矩坐标系的文献除刚体以外，还扩大到陀螺体、多体系统，乃至充液刚体等对象，有较广泛的应用范围。

动量矩坐标系的特点在于，无力矩作用时与惯性坐标系无异。但利用坐标轴与动量矩矢量L共线的特点，可直接写出用欧拉角表示的一阶微分方程，便于分析处理。1849 年雅可比 (Jacobi,C.G.J.) 曾从欧拉方程解出椭圆函数形式的解析解。若利用动量矩坐标系，可更简洁获得同样的解析结果^[1]。

一般情况下，可将刚体的运动分解为相对动量矩坐标系的运动，和动量矩坐标系在惯性坐标系内运动的叠加。若作用的力矩较微弱，可采用逐次近似方法，将无力矩状态作为零次近似，导出欧拉角的变化规律计算动量矩坐标系的受扰运动。且作为一次近似，对刚体的运动进行修正。若两类运动的时间尺度相差悬殊，刚体快速旋转而动量矩矢量缓慢进动。则分析前者运动时可近似忽略后者的运动，分析后者运动时可近似以前者运动的平均效应代替。因此适合于对高速旋转而力矩微弱的刚体运动作近似解析分析^[2,3]。

以下就无力矩刚体定点运动，和微弱力矩作用的刚体定点运动两种情形，叙述动量矩坐标系在动力学分析中的特殊作用。

2.       欧拉情形刚体定点运动

设无力矩作用的刚体绕固定点 O 运动，对  O 点的动量矩为 L。以  O 为原点建立动量矩坐标系 (O-XYZ)，其中 OZ 轴与守恒的动量矩矢量 L 重合。刚体的主轴坐标系 (O-xyz) 相对 (O-XYZ) 的姿态以欧拉角 ψ, θ, φ 确定（图1）。刚体的瞬时角速度 ω 对 (O-xyz)  各轴的投影为

                                                                                                         (1)

图1   刚体相对动量矩坐标系的姿态

设刚体相对 (O-xyz)  各轴的主惯性矩为 A, B, C，将动量矩矢量 L 直接向 (O-xyz) 各轴投影，分别等于 Ap, Bq, Cr。导出

                                                                                               (2)

令式 (1) 与式 (2) 各项相等，得到 ψ, θ, φ 的一阶微分方程组：

                                                                                               (3a)

                                                                                             (3b)

                                                                        (3c)

其中 ν = L/C,  σ = (A-C) /A,  ρ = (B-C) /B。作为刚体运动的数学模型，一阶微分方程组 (3) 比欧拉方程简单得多，实际上是以动量矩守恒的首次积分代替了动力学方程。令式 (3a) 与式 (3c) 相除，消去时间变量 t，得到仅含 θ 和 φ 的自治的一阶微分方程：

                                                                                     (4)

从式 (4) 积分得到 θ(φ)，代入式 (3c) 和式 (4) 消去 θ，即导出椭圆函数形式的解析积分，与雅可比从欧拉方程解出的结果相同。推导过程在附录1中给出。

   方程 (4) 也可用于定性分析。利用相平面的奇点理论，在 (θ, φ) 平面内分析刚体绕主轴转动的稳定性。令方程 (4) 的分子和分母同时为零，共确定 6 个奇点 S_j  (j = 1,2,⸱ ⸱ ⸱,6)，分别对应于刚体绕 3 个惯性主轴正负方向的稳态转动。利用对奇点类型的判断，确定刚体绕主轴转动的稳定性条件。分析过程可参阅附录 2。

3.       粘性介质中的刚体定点运动

   对于有微弱力矩作用情形，必须考虑动量矩坐标系在惯性空间中的运动。设 (O-ξηζ）是以 O 为原点的惯性坐标系。利用卡尔丹角 α, β 确定动量矩矢量 L，以及以 L 为坐标轴的动量矩坐标系 (O-XYZ) 在 (O-ξηζ) 中的姿态（图 2）。

图2   动量矩坐标系相对惯性坐标系的姿态

设 M 为刚体上作用的对 O 点的力矩，依据动量矩定理 dL/dt = M，列出

                                                                                                                             (5)

考虑  (O-XYZ) 坐标系牵连转动对刚体角速度的影响，式 (1) 中应增添动量矩 L 进动产生的角速度增量，改为

                                                                       (6)

为简化表达，其中与和相乘的括弧内 α, β, ψ, θ, φ 的三角函数组合以省略号表示。令动量矩矢量  L  在 (O-xyz) 各轴上的投影分别与 Ap, Bq, Cr 相等，且利用式 (5) 消去和，导出

         (7)   

方程 (5), (7) 组成以 L, α, β, ψ, θ, φ 等 6 个状态变量的一阶微分方程组，作为欧拉方程的替代。

  以刚体在粘性介质中的运动为例，设阻尼力矩 M 与角速度ω之间满足线性关系：

                                                                                                               (8)

将式 (6) 代入上式，变换为对 (O-XYZ) 各轴的投影，再代入式 (5)。设刚体的自旋角 φ 和进动角 ψ 均快速变化。令式 (5) 在 φ 和 ψ 的每个变化周期内平均化，得到 L  和,的平均值：

                  (9)

表明阻尼力矩的平均效应使刚体的动量矩 L 的模减小，而平均方向仍保持与 Oζ  轴一致。

参考文献

1.   刘延柱. 欧拉情形刚体定点运动新解. 上海力学, 1981, 2 (3) : 52-55

2.   刘延柱. 刚体的拟Euler-Poinsot运动. 固体力学学报, 9, 1988 ,4: 294-302

3.   Liu Yanzhu. The development of the dynamics of rigid body with state variables. Acta Mechanica Solida Sinica, 1990, 3 (3) : 307-314

附录1  欧拉情形刚体定点运动的解析积分

附录2   欧拉情形刚体定点运动的定性分析