1.       四元数与K-S 参数

1843 年爱尔兰数学家哈密顿 (Hamilton,W.R.) 创造了四元数，1845 年英国数学家凯莱 (Cayley,A.) 将法国数学家罗德里格 (Rodrigues,B.O.) 利用半角公式创造的 4 个参数以四元数形式表达，使四元数成为处理刚体有限转动姿态变化的数学工具。在前几篇博文中已有详细说明。

经典力学中的二体问题有周知的 Kepler 运动解析解，但在引力中心处存在奇异性，且不适用于有非引力出现时的受扰情形。受扰二体运动问题作为有推力存在航天器运动的基础理论具有重要的实际意义。1906 年意大利数学家 Levi-Civita 提出一种变换能使受扰的平面二体问题的奇异性消除，转换为线性微分方程求解，称为对二体问题的正规化 (regularization)（图1）^[1]。1964 年 Kustaanheimo 和 Stiefel 将 Levi-Civita 变换扩展至三维空间。即利用4个 K-S 参数描述点在三维空间内的位置，使受扰二体问题非线性的三维模型实现正规化^[2]。K-S 参数的提出比四元数晚了一个世纪，所定义的 4 个参数也不同于四元数。但同样是利用 4 个变量表达点在三维空间中的位置变化，而有着类似的功能。K-S 参数并非凭空产生，而是从四元数直接转换形成。本文叙述此转换过程，以说明 K-S 参数与四元数之间的密切联系。

图1  Levi-Civita,T  (1873-1941)

2.      用四元数表达笛卡尔坐标：

由 λ_k (k = 0, 1, 2, 3) 组成的四元数可视为标量 λ₀ 和矢量 λ_k  = λ₁i + λ₂j + λ₃k 的组合。四元数的乘法运算遵循特殊的规则，但可利用矩阵运算实现。将四元数组成列阵 和方阵 ：

                        (1)

用空心圆点 ο 表示四元数的乘法运算，将四元数方阵与另一四元数列阵相乘，即得到四元数的乘积。将基矢量 i 视为特殊的四元数与相乘，得到

                     (2)

设为的共轭四元数方阵，令与 i ο相乘，得到

        (3)

乘积列阵含一个零元素和 3 个非零元素。将上式中的方阵和列阵的第 4 行和第 4 列元素转移到第 1 行和第 1 列，乘积结果变为

                 (4)

式 (4) 与式 (3) 的区别仅改变了乘积列阵中元素的顺序，使零元素从第 1 列移至第 4 列。令其中 3 个非零元素分别与三维空间的笛卡尔坐标 x, y, z 相等，则可利用四元数表达点在三维空间中的位置：

                                     (5)

3.     K-S变量与K-S变换：

将式 (4) 左项列阵的各元素依次改用 u_k (k = 1, 2, 3, 4) 表示，令

                         (6)

上述 u_k (k = 1, 2, 3, 4) 称为 Kustaanheimo-Stiefel 变量，简称 K-S 变量。将其代替式 (4) 左项方阵的各元素，得到的方阵记作 L(u) ，所排成的列阵记作 u ：

                                            (7)

L(u) 与 u 的乘积由零元素和笛卡尔坐标 x, y, z 构成，记作 r

                                                                                                       (8)

其中

                                                                                        (9)

若将 L(u) 的第 4 行元素改变符号，不影响式 (8) 中第 4 元素为零的结论，但可使 L(u) 的第 1 列与列阵 u 相等。改造后的方阵仍记作 L(u) ，称为 Kustaanheimo-Stiefel 矩阵，或 K-S 矩阵。

                              (10)

利用 K-S 变量表达点在三维空间中的笛卡尔坐标称为 K-S 变换。

4.     K-S矩阵的性质：

K-S 矩阵有以下特殊性质：

(1)     K-S 矩阵的第 1 列等于列阵 u。

(2)     正交性：

                                                                                      (11)

     其中  I  为单位阵，r  为K-S变量的范数，即矢径 r = xi + yj + zk 的模：

                                 (12)

(3)     K-S 矩阵的微分等于各元素微分后的矩阵：

                                         (13)

(4)     互易性：

      若函数 u 和 w 满足以下双线性条件：

                                 (14)

     则函数 u 和 w 存在互易性：

                                             (15)

     且存在关系式：  

                           (16)

5.    二体问题的正规化：

 K-S 变换产生的目的主要为解决二体问题的奇异性和受扰运动的计算。讨论由卫星与地球组成的二体问题，动力学方程内增加单位质量的扰动力 p，写作

                                           (17)

其中 μ 为地球的引力参数，r 为二体的距离。无扰动时 p = 0, 存在能量积分：

                                             (18)

积分常数 -E 为单位质量的总机械能，增加负号为使 E 为正值。将时间变量 t 置换为 s，令

                                          (19)

利用式 (8) 和式 (12)，计算 r 和 r 对 s 的导数，以撇号作为对 s 的导数符号。利用 K-S 矩阵的性质 (13), (15)，得到

                       (20)

计算卫星的速度 v，以点号作为对 t  的导数符号。化作

                              (21)

导出

                      (22)

代入能量积分 (18)，导出

                                        (23)

有扰动存在但扰动力 p 远小于引力时，仍近似使用无扰状态的能量积分，但将积分常数 E 视为时间 t 的慢变函数。机械能 -E 对 t 的变化率等于扰动力 p 做的功率。将式 (21) 代入，得到

                  (24)

令式 (21) 对 t 求导计算卫星的加速度，得到

           (25)

令各项左乘 L^T(u)，利用式(11)和式(16)简化后得到                           

                                                              (26)

令方程 (17) 各项左乘 r³L^T(u)，将式 (26) 代入，其中 uʹ^Tuuʹ 以等同的 uʹ^Tuʹu 代替，得到

                                                      (27)

将其中的参数 μ 和 Eʹ 以式 (23) 和 (24) 代入，整理后得到正规化的二体运动方程：

                                                                                                                                        (28)

其中

                                                                               (29)

除上述二体问题以外，K-S 变换也可用于其它引力中心存在奇异性的正规化，如限制性三体问题^[3]。

参考文献：

1.       Levi-Civita, T., Sur la regularization du probleme des trois corps, Acta Math., 1920, 42：99–144

2.       Kustaanheimo,P.,Stiefel,E.,Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization, J. Reine Angew. Math., 1965, 218: 204–219

3.       Chelnokov,Yu.N. Quaternion regularization of the equations of the perturbed spatial restricted three-body problem: Mech. Solids. 2017,52 (6), 613-639