1.        对偶数和对偶矢量

关于刚体的姿态如何用数学表达的前两几篇博文里，叙述了刚体绕定点 O 作有限转动的四元数、罗德里格矢量等概念。而工程技术中涉及的刚体运动往往移动和转动同时发生，需要有表达刚体位置和姿态同时改变的更具普遍性的数学工具。

1873 年英国数学家克利弗德 (Clifford,W K.) 创造出对偶数(dual number) 的数学概念 (图1)。对偶数与复数概念类似，是由实数单位 1 和对偶单位 ɛ 组成的包含两个实元的一对有序组合^[1]。ɛ 称为Clifford 算符，被赋予特殊的运算规则：

                                                                                                      (1)

图1  克利弗德（Clifford,W K. 1845–1879）

用带顶标 ˄ 的字符表示对偶数，以 和为例，令

                                                                                               (2)

基于 Clifford 算符的基本规则 (1) ，可推出对偶数的加法和乘法运算规则：

                                                      (3)

对偶数中的实数集合如改为矢量集合，则称为对偶矢量 (dual vector)。将式 (2) 中的标量换作矢量 a, b，构成对偶矢量  和 ：

                                                                                                        (4)

对偶矢量的运算遵循式 (3) 的对偶数规则，以及矢量的加法、点积和叉积规则：

                                                                                              (5)

2.     普吕克矢量

设 a 为空间中的任意矢量，可沿作用线自由滑动。从空间中的固定点 O 向矢量的作用线上任一点作矢量r_a，将 r_a 与a 的叉积定义为 a  对 O 点的矩，记作 aꞌ = r_a×a。1869年德国数学家普吕克 (Plücker,J.) 提出（图2），矢量 a 与矢量矩 aꞌ 二者的结合可完全确定矢量 a  在三维空间内的位置。a  与 aꞌ 组成的矢量偶对称为普吕克矢量  (Plücker vectors)，所对应的 6 个投影坐标称为普吕克坐标  (Plücker coordinates)。设矢量 a  在空间中作任意位移到达矢量 b 的位置，利用Clifford算符 ɛ，将矢量 a  和矢量 b 的位置以对偶形式的普吕克矢量表示为

                                                                  (6)

                                             图2   普吕克 (Plücker,J. 1801-1868)

在单位矢量 a 和 b 的公垂线方向作 p 轴，以 p 为 p 轴的基矢量。设 a 和 b 的垂直距离为 l，则 a 沿 p 轴移动 l 距离后与 b 的作用点重合于 P 点，与 b 的夹角为 θ。可以认为矢量 b 是矢量 a 沿 p 轴平移 l 距离，且绕 p 轴转动 θ 角后到达的位置（图3）。1830 年法国物理学家沙勒 (Chasles,M.) 将这种运动称为螺旋运动 (screw motion)。他同时证明，刚体在空间中的任何位置移动均能通过绕某根轴的螺旋运动实现。换言之，螺旋运动是刚体运动的最普遍形式。

利用 Clifford 算符 ɛ 将转角 θ 与平移 l 组合成对偶数  ：

                                                                                                                                      (7)

称为 a 与 b 之间的对偶角，作为螺旋运动的数学描述。

图3   矢量 a 和 b 的平移和转动

将式 (7) 定义的对偶角  的正弦和余弦函数展成泰勒级数，由于 Clifford 算符 ɛ 的特殊性质，ɛ 的二次以上的所有项均等于零。导出

                                                               (8)

计算式 (4) 的普吕克矢量 ,之间的点积和叉积。利用 r_b =  r_a+lp，以及矢量的点积和叉积公式：

                                                                                                               (9)

遵循对偶数的运算规则，利用适当的矢量变换，导出

                                 (10)

其中为 p 的普吕克矢量

                                             (11)

将式 (10) 与式 (9) 对比，可看出对偶矢量与一般矢量的点积和叉积规则在形式上完全相同。直接验算还可证明，对偶角也存在类似的三角恒等式，例如

                                                                                                                           (12)

由此可见，借助抽象的 Clifford 算符，能使矢量代数和平面三角公式以同样的形式，发展为对偶矢量和对偶角的计算公式。

      3．对偶四元数：

将矢量 b 沿正交的 a 和 p×a 方向分解（图 3），得到

                                                                                              (13)

给定 p 轴的基矢量 p 和矢量 a 绕 p 轴的转角 θ，即可利用式 (13) 算出矢量 a 绕 P 点作有限转动后的位置 b。对于刚体作螺旋运动的更一般情形，矢量 b 的空间位置应以式 (6) 定义的普吕克矢量  表示。将式 (13) 代入式(6)，令 r_b =  r_a+lp，遵循对偶数的运算规则，且利用适当的矢量变换公式，化作

     (14)

依据式 (6),(8),(11)，将上式中括号内的变量用相应的对偶数和对偶矢量代替，得到螺旋运动的变换公式 ^[2]：

                                                                                                            (15)

与式 (13) 对比可看出。将有限转动的变换公式 (13) 中各字符增加顶标 ˄，即转换成螺旋运动变换公式 (15)。二者在形式上完全一致，仅式 (13) 中的矢量 a, b 和转角 θ 分别以普吕克矢量,和对偶角代替。

将对偶数  与对偶矢量  的组合定义为对偶四元数 (dual quaternions)，记作：

                                                                                                       (16)

则式 (15) 可表示为

                                                                                                                                                    (17)

其中的空心圆点 ο 表示四元数的乘法运算，运算规则可参阅博文  “刚体姿态的数学表达(二)：欧拉参数与四元数”。

对偶四元数也称为螺旋算子 (screw operator)，是有限转动张量 A  的扩展概念。利用螺旋算子可以很方便地确定矢量作任意螺旋运动后到达的新位置。多次螺旋运动对应的螺旋算子等于各次螺旋算子的四元数乘积：

                                 (18)

刚体在空间中有 6 个自由度。仿照欧拉角的定义，刚体的任意空间位置变动也可分解为绕不同坐标轴的螺旋运动，所对应的 3 个对偶角可称为对偶欧拉角。所包含的 6 个标量可作为表达刚体位置和姿态的独立变量。

以上利用对偶数和四元数对刚体螺旋运动的推导结果，充分显示出数学表达的简洁和优美。利用对偶四元数处理刚体的螺旋运动在工程技术中，尤其在空间机构和机器人技术中有广泛的实际应用 ^[3]。用对偶形式描述的力学基本定律具有最简练的形式，在此基础上建立起来的运动学和动力学称为力学的旋量理论。将在另文中叙述。

参考文献

        [1]  Clifford M K. Preliminary sketch of biquaternions. Proc. London Math. Soc., 1873, 4: 381-395.

[2]  Wittenburg J. Duale Quaternionen in der Kinematik rämlicher Getriebe, Eine anschauliche Darstellung. Ingenieur Archiv, 1981, 51: 17-20.

[3]  Yang A T. Freidenstein F. Application of dual-number quaternion algebra to the analysis of spatial mechanisms. J. of Appl. Mech., ASME, Ser.E, 1964, N2. 

     （改写自“刘延柱. 关于刚体姿态的数学表达. 力学与实践，2008，30(1)：98-101）