手执细线悬挂的单摆，站立不动时单摆总是沿地垂线指向地球中心。若向前移步，单摆就会因支点的加速度受到惯性力干扰向后偏离地垂线。偏转的角度和单摆的长度有关。摆的长度 l 愈长，偏转的角度 θ 就愈小（图1）。考虑到地球表面是一个球面，当你沿球面上的大圆弧向前移动时，指向地心的地垂线也发生偏转。于是产生一个有趣的问题：如果增加单摆的长度，使单摆的偏转角度与地垂线的偏转角度完全一致，单摆不就能永远指向地球中心不受支点运动的干扰吗。这样的单摆长度该有多长呢？

图1  惯性力引起单摆的偏转

这个问题的实际意义在于：行进中的船舶、飞机和车辆常需要一个稳定的平台作为导航系统、火炮系统或各种测量系统的基准。单摆是模拟地垂线最简单的工具，但存在易受干扰的致命弱点，实际使用的平台不可能采用单摆。但在理论上探讨如何使单摆免受载体加速度的干扰，对于稳定平台的设计还是很有意义的。

德国哥廷根大学讲授动力学的教授舒勒 (Schuler,M.) 于 1923 年在物理学报上发表了一篇论文^[1]。他从理论上证明：如果将单摆的摆长增加到与地球半径 R 相等，则无论载体的加速度有多大，单摆始终与地垂线方向保持一致。算算这个单摆的周期有多长。令摆长等于地球半径  R = 6371 km，地球表面重力加速度  g₀ = 9.81 m/s²，代入周期公式，得到

这个能避免加速度干扰的 84.4 分钟特殊周期，就是著名的舒勒周期 (Schuler’s period)。证明过程可参阅附录一。

尽管在理论上成立，但要在地球表面实现一个长度等于地球半径的单摆绝无可能。因为摆锤不可能穿透地球摆动。如果将支点放在轨道高度超过地球半径 R 的空间站上，半径等于  R 的单摆倒有可能摆起来。但支点远离地球表面，不符合支点沿地球表面移动的证明条件，单摆的摆动周期也不再是舒勒周期了。既然单摆不可能实现舒勒周期，能不能用复摆实现呢？设复摆的质量为 m，相对支点的惯性矩为 J，质心与悬挂点的距离为 l（图 2）。将惯性矩 J  用惯性半径  ρ  表示为  J = mρ²，代入复摆周期公式，得到

设惯性半径  ρ 为 10 cm，将 T  =  84.4 分钟代入后，算出  l = 0.04 μm。要精确控制如此微小的距离在技术上难以实现。单摆不行，复摆也不行，于是想到了陀螺摆。

                               图2  复摆

在博文“抽陀螺与刚体的规则进动”里，曾解释了快速旋转的陀螺直立不倒的现象。将陀螺的重心向下移到支点的下方，陀螺在重力矩的作用下进动，转子的极轴绕垂直轴作圆锥运动。增加适当的阻尼，极轴的摆幅逐渐减小向垂直轴趋近，就成为指示地垂线的陀螺摆（图 3）。陀螺摆的周期远远大于复摆或单摆。设陀螺摆的质量为 m，质心与悬挂点的距离为 l，转子的旋转角速度为 ω₀，半径为 r 的圆盘形转子的惯性矩为  J = mr²/2，陀螺摆的周期公式为

设转子半径  r = 5 cm,  l= 2 cm，将 T  =  84.4 分钟代入计算，陀螺转速 ω₀ 只要达到每分钟 12000 转即可实现。表明不受加速度干扰的舒勒周期在陀螺摆上实现，技术上不存在问题。

图3  陀螺摆

  实现不受干扰平台的更好的方案是利用自动控制技术。在平台上水平安装一个能测量加速度的加速度计。最简单的加速度计就是一个质量弹簧振子，振子的位移与惯性力成正比，即与加速度成正比。当载体以速度 v沿地球表面运动时，平台必须以角速度 ω = v/R  转动才能时刻保持水平状态。若载体出现加速度  a，将加速度计测得的信息  a  输入积分环节，转化为速度信息 v。然后对平台施加控制力矩，使平台产生与  v  成正比的转动角速度  ω=v/R，就能使平台与地垂线的转动同步，维持水平状态（图 4）。若平台以微小偏角  θ  偏离水平面，加速度计会出现因重力导致的错误信息  -gθ，这个错误信息经过积分后产生错误控制力矩使平台转动。转动角速度为

将上式各项对 t  微分一次，就得到平台的动力学方程。与摆长等于地球半径的单摆完全相同：                

从而证明，当平台受到干扰在水平面附近摆动时，摆动的周期就是舒勒周期。用这种控制方法可以实现一个不受干扰的稳定平台。将平台上安装的加速度计测得的加速度信息积分两次，即得到载体历经的距离信息。结合用陀螺仪测出的平台的方位信息，就能确定载体在地球上的相对位置。这种导航方法称为惯性导航  (inertial navigation)，是不受外界干扰的完全自主的导航系统。

图4  惯性导航平台

舒勒周期也适合于指示子午线的陀螺罗经。在“陀螺罗经：力学与工程的完美结合”的博文里曾说明，若陀螺罗经的摆动周期等于舒勒周期，其指北的功能即不受加速度干扰。不过完全避免干扰要在无阻尼条件下才能实现，而实际的陀螺罗经都带有阻尼设施。虽不能完全避免加速度误差，但舒勒周期能使加速度误差减至最小，因此仍成为陀螺罗经设计的重要指标。证明过程可参阅附录二。

舒勒周期还在另一种情况中出现。当物体沿地球球面移动的速度极快，以至于所产生的离心惯性力与重力相抵消时，就成为沿地球表面运行的人造卫星。设卫星的质量为 m，绕地球球心转动的角速度为 ω，令离心力与重力相等，mRω² = mg，解出 ω = (g/R)^1/2，于是每绕行一周的时间  T = 2π/ω 恰好就是舒勒周期。

还有一种更奇特的情况与舒勒周期有关。设想如果有可能垂直向下打出一个无限深的深井，深度穿过地心成为一条横贯地球的超级隧道，通向地球另一端的南美洲。当一个质量为 m  的物体落在这个超级隧道里时将如何运动？

为回答这个无法实现的假想问题，设物体所在位置为 P，与地球球心 O 的距离为 r。过 P 点作一个围绕O 点半径为 r 的球面，将地球划分为两个部分：半径为  r  的球体和半径介于 r 与地球半径 R 之间的球壳（图5）。依据万有引力定律可以证明，封闭的球壳对于内部物体的万有引力合力为零。因此物体实际上只受到缩小的半径为  r  的球体的万有引力作用。由于万有引力与距离  r  的二次方成反比，而引力参数与球体的质量 m 成正比，亦即与球体的半径 r 的三次方成正比。可以判断，半径为  r  的球体对物体的万有引力 F_r 与  r  的一次方成正比：F_r = mg(r/R)。再根据牛顿第二定律，令万有引力 F_r 与惯性力 -m(d²r/dt²) 平衡，消去 m 后得到

这个单自由度线性振动方程的自由振动周期恰好就是舒勒周期 T = 2π(R/g)^1/2。说明隧道里的物体在万有引力作用下从此端到彼端往复一次的时间是 84.4 分钟。因此人在超级隧道里不需要任何动力就能完成洲际旅行，从亚洲到南美洲仅须花费半个周期，即 42.2 分钟。因为与上述人造卫星的周期相同，假定有两个人从同一地点出发，一位乘宇宙飞船环绕地球贴地飞行，另一位进入超级隧道，可以预见，经过 84.4 分钟两人将同时回到原处。

                              图5 横贯地球的超级隧道

据考证，18 世纪的法国启蒙思想家伏尔泰（Voltaire）就曾有过这个贯穿地心隧道的设想。不过这一奇思妙想绝对不可能实现。如果降低一点难度，将直径改为弦，情况又将如何？在地球上的两个邻近城市之间凿通一条直线隧道。可以证明，物体在隧道里也是作周期 84.4 分钟的往复运动，与隧道的长度无关（图 6）。火车在这特殊隧道里不需要任何动力就能在城市间往返。有趣的是，不论到哪个城市，往返所耗的时间完全相同，都是 84.4 分钟。证明过程可参阅附录三。

                                    图6  直线弦隧道

但建造这种隧道也绝非易事。以北京至上海直线距离约 1000  km 的隧道为例，隧道的中点距地面的高度竟高达 80 km，施工难度可想而知。火车在约  20 分钟的 1/4  周期内，必须从静止加速到时速两万公里以上，然后在同样时间内减速到零。如此巨大的加速度无论对车辆设计或乘客的承受能力都是难以克服的障碍。隧道内各处的地球引力都指向内部，还存在难以解决的排水问题。因此尽管无需动力的优点很诱人，这种直线弦隧道也是难以实现的。

参考文献：

[1]  Schuler, M.. Die störung von pendel und kreiselapparaten durch die beschleunigung des fahrzeuges, Physikalische Zeitschrift, 1923, 24(16): 344-350

             （改写自：刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版)，5.9，5.11节. 高等教育出版社，2018

     刘延柱. 陀螺力学(第二版). 北京：科学出版社，2009）

图7  舒勒周期的理论证明

图8  地理坐标系与速度矢量