几乎所有的轨道交通都是在两条平行轨道上实现的，因为重心在轨道上方的火车车厢必须由两条轨道支承才能稳定不倒。但随著轨道交通技术的发展，仅受单条轨道支承的单轨火车也逐渐成为现实。

  最早的单轨火车是将轨道改成索道，让车厢倒挂在轨道下运行。1825 年，英国切斯汉特 (Cheshunt) 的帕而墨(Palmer,H.) 工程师发明了悬挂式马车用来运石料，偶尔也运载乘客。这种马拉的单轨车实际上与缆车或索道车无异，还谈不上是真正的单轨火车。

  当马拉动力被蒸汽机代替以后，1876 年在美国的费城才出现真正的单轨火车 (monorail)，成为庆祝美国建国一百周年活动中轰动一时的新鲜玩意。乍一看来，费城的单轨火车外表和悬挂式火车完全不同，车厢不是悬挂而是跨骑在铁轨上。仔细观察还可以发现，火车的乘客座位不在车厢内，而是分布在位于轨道下方的车厢两侧的下伸部分，这里也作为贮存蒸汽机车用煤的仓库。于是整个车厢的重心被控制在铁轨的下方，实际上仍是悬挂式单轨火车的变种 (图 1)。

图 1   重心下移的单轨火车

    1898 年德国工程师朗根（Langen,E.）在德国鲁尔区的乌帕塔尔市 (Wuppertal)，恩格斯的故乡，设计建造第一条成功运行的 “漂浮列车” (Schwebebahn)。自 1901 年完工后，历经一个世纪漫长的岁月，古老的悬挂列车至今依旧穿城而过成为市民的出行工具，这在世界工程史中也是不多见的 (图 2)。

图 2  乌帕塔尔的“漂浮列车”

悬挂式单轨火车的稳定性不成问题，因为它就是一只复摆。受到扰动后只能在垂直轴附近作小幅度摇摆。如果将复摆倒立就成了不稳定系统，再小的扰动也能使它倾覆。1852 年法国物理学家傅科 (Foucalt,J.) 创造了世上第一只陀螺仪。高速旋转就能保持直立稳定性的陀螺现象吸引了物理学家和工程师们的注意。当人们对陀螺动力学的知识有了更多了解时，如何利用陀螺效应使一个重心在上的单轨火车也能稳定住，就成为 20 世纪初的发明家们追逐的目标。这一理想在 1903 年得到了实现。英国人布伦南 (Brennan,L) 在吉林汉姆 (Gillingham) 创造了第一台用陀螺稳定的单轨火车。1909 年 11 月 10 日，单轨火车首次在公众前展示时，40 名士兵站立在车厢里仍能维持稳定行驶引起观众极大的轰动 (图 3)。

图 3   最早的陀螺稳定单轨火车

  要说明单轨火车陀螺稳定的原理，必须先解释陀螺力矩概念。轴对称的陀螺转子快速旋转时，所产生的动量矩与转子的旋转轴，也就是与转子的对称轴保持一致。如果安装陀螺的载体在惯性空间中转动，必须对转子施加力矩才能带动转子一同转动。这个力矩的反作用力矩作用在载体上，称为陀螺力矩，也就是转子因旋转轴改变方向而产生的惯性力矩。陀螺力矩的方向由右手定则确定，将食指指向转子旋转轴，中指指向载体转动轴，则拇指的方向即为陀螺力矩的方向。

  布伦南的单轨火车在车厢里安装了两只陀螺。陀螺的框架轴垂直，框架内的转子直径 3.5 英尺，重 750 公斤，在 20 马力驱动下以每分钟 3000 转的转速绕水平轴朝相反方向旋转 (图 4)。建立与车箱固结的坐标系 (O-xyz)，Ox 轴和 Oy 轴分别为前进方向和侧向的水平轴，Oz 轴为垂直轴。设二只陀螺的极轴及绕极轴的动量矩 L₁和 L₂ 分别沿 Oy 轴的正向和负向，框架轴 Oz₁ 和 Oz₂ 与 Oz 轴平行。当车厢绕 Ox 轴朝一侧偏转时，重力 mg 产生绕 Ox 轴的倾覆力矩 M_g ，使车厢绕 Ox 轴有倾倒趋势，导致陀螺的动量矩 L₁ 和 L₂ 绕框架轴 Oz₁ 和 Oz₂ 朝不同方向进动，进动角速度分别为 ω₁ 和 ω₂，产生陀螺力矩 M_c1 = ω₁×L₁ 和 M_c2 = ω₂×L₂。因陀螺的转速相反， L₁ = - L₂，进动角速度也相反， ω₁= - ω₂，所产生的陀螺力矩 M_c1 和 M_c2 方向相同，与重力倾覆力矩  M_g  方向相反而互相平衡，车厢可保持原有状态而避免倾倒。当车厢因火车转弯绕垂直的 Oz  轴转动时，如框架轴承光滑无摩擦，陀螺的转子因保持定轴性而偏离原来位置。如增加限位装置使转子保持原位，则随车厢一同绕垂直轴转动而产生绕水平轴的陀螺力矩。但两只陀螺的动量矩方向相反，所产生的陀螺力矩也方向相反而自相平衡，不会影响火车的运动。这种单轨火车只需要铺设一条轨道，基本设施的建设时间和成本都大为节省。但是要耗费大量能源去驱动庞大的陀螺。而且一旦电源出故障中断，陀螺突然停转车厢就立刻倾覆。因此布伦南设计的单轨火车未能实际用于运输。

图4   双陀螺稳定的单轨火车

尽管利用陀螺稳定性的单轨火车在实际应用上存在不少问题，但并未降低工程师和发明家们的兴趣和创造热情。在布伦南制造单轨火车的同一时期，1904 年德国汉堡的船舶工程师施利克 (Shlick,O.) 发明了利用陀螺效应的船舶消摆器。消摆器由单个陀螺构成，陀螺的框架轴水平安放，转子绕垂直轴旋转，框架下方沿垂直轴利用配重形成一个复摆 (图 5)。当船舶在海浪作用下左右摇晃时，所产生的陀螺力矩恰好能有效地抑制船舶的摆动。在 52 吨扫雷艇上的实航实验表明，消摆器能使原来高达 14⁰ 的横倾摆幅降低到不超过 1⁰ 而大获成功。施利克船舶消摆器的成功使人产生联想，将这种陀螺安装在单轨火车上，应该也能起稳定作用吧。出人意料的是实验结果并不成功，因为遇到了与运动稳定性有关的理论性问题。

图5  施利克船舶消摆器

运动稳定性理论是判断机械系统平衡状态是否稳定的理论。对于受扰后的线性化扰动方程，利用指数函数特解导出特征方程，根据特征方程的根的性质判断稳定性方法最简单易行。特征根的实数部分为负值时平衡状态为渐近稳定，为正值时平衡状态不稳定。纯虚数特征根对应的受扰运动为有界的周期运动，可认为平衡状态稳定。虽然后者仅限于线性化系统，但作为工程实用的稳定性判断方法仍被普遍采用。应用上述方法进行分析,原来静平衡稳定的机械系统只能依靠静平衡稳定的陀螺抑制摆动。而原来静平衡不稳定的机械系统只能依靠静平衡不稳定的陀螺使不稳定转为稳定。漂浮的船舶和单轨车厢之间的差异恰好在于：船舶的重心低于浮心，是静平衡稳定的机械系统，而车厢的重心高于轨道，是静平衡不稳定的机械系统。因此，要将施利克消摆器应用于单轨火车，陀螺框架上的配重必须从支点的下方移到上方，形成不稳定的倒摆，这种单陀螺稳定方案才得以实现 (图 6)。有关的理论证明在附录中给出。

图 6   单陀螺稳定的单轨火车

单轨火车有降低基建成本、节约空间等优点，适合人口密集的城市。现代化的单轨火车采用了更先进的技术方案。以 1952 年德国的阿尔威克 (Alweg) 高架单轨火车技术为代表，车厢为跨越式，两侧也向下伸展，但摒弃了重心下移的笨办法，而是利用增添的侧向轮使车厢稳定。狭窄的铁轨已演化为粗壮的混凝土梁，铁轮被橡皮轮代替 (图 7)。这种新型的单轨火车以节约空间、简化设施、快速、低噪声等方面的独特优势已发展成为实用的交通运输工具遍及世界各地。如果将主轮和侧向轮改为磁悬浮，则发展为磁悬浮列车。2002年开通的上海的磁悬浮列车速度高达每小时 400 公里以上，是最早商业运营的磁悬浮交通线 (图 8) 。我国自主研制的中低速磁浮列车也方兴未艾。2017 年北京地铁 S1 号线就采用了磁悬浮技术。在重庆、成都、长沙、开封等多个城市，各种类型的悬挂式单轨火车纷纷出现，成为这些城市的新景观。

图7  侧向轮稳定的单轨火车

图8   上海的磁悬浮列车

参考文献

 1. 刘延柱. 高等动力学（第2版）. 北京：高等教育出版社， 2016

                 （改写自： 刘延柱. 单轨火车趣谈. 力学与实践，2009，31(4)：98-100）