在博文 “ 运动员的旋空翻与欧拉-潘索运动 ” 中，对欧拉情形刚体定点运动的永久转动稳定性得出了结论。即刚体绕最大和最小惯性矩主轴的永久转动稳定，绕中间值惯性矩主轴的永久转动不稳定。两个世纪以来，经典力学的这一结论从未被怀疑过。但 1958 年 1 月 31 日，美国发射的第一颗人造卫星探险者一号（Explorer-1）的倾覆事件却动摇了这一结论。

为便于说明，首先对自旋稳定的人造卫星做些解释。人造卫星在绕地球的轨道运行过程中，必须保持稳定的姿态才能完成各种探测任务。按照上述欧拉情形刚体永久转动稳定性的结论，如果令卫星绕最大或最小惯性矩主轴旋转，且转动轴沿轨道面的法线方向，就能与轨道面的法线轴始终保持一致，而不会在轨道内翻滚。利用刚体绕惯性主轴的永久转动保证姿态稳定的卫星称为 “ 自旋卫星 ”  (spin satellite)。

1957 年 10 月 4 日，原苏联发射了世界上第一颗人造地球卫星斯普特尼克一号（Sputnik-1），是带有四根天线的自旋稳定的篮球形状轴对称体（图1）。卫星的极惯性矩略大于赤道惯性矩，绕极轴的永久转动的稳定性得到了保证。

图1  斯普特尼克一号卫星

三个月后，1958 年 1 月 31 日，空间技术暂居落后的美国匆忙发射了探险者一号（Explorer-1）自旋卫星。与斯普特尼克一号不同，探险者一号是一个细长的轴对称体，也带有四根天线（图2）。卫星旋转轴的极惯性矩远小于赤道惯性矩，是最小惯性矩主轴。按照上述经典力学结论，绕最小或最大惯性矩主轴的永久转动都应该稳定。但出人意料，发射升空数小时后，卫星的旋转轴在轨道坐标系内逐渐翻转 90⁰，最终转变为绕赤道轴，也就是绕卫星的最大惯性矩主轴旋转。倾覆后的卫星因无法正常工作而失效。这一意外事故的发生似乎颠覆了经典力学的结论。如何解释这一现象成为当时物理学和力学界的热门话题，各种分析和解释的论文不断涌现。

图2  探险者一号卫星

经过认真的讨论终于找到了原因。探险者一号失稳的原因来自所携带的四根柔软的天线。经典力学的结论并无错误，但仅适用于绝对不变形的刚体。悬浮在太空中的刚体如忽略微小的重力梯度力矩，可视为无力矩的自由状态，即欧拉情形刚体定点运动。根据动量矩和动能守恒原理得出绕最大和最小惯性主轴的永久转动稳定的结论。但由于柔软天线的存在，卫星已不能再视为绝对刚体。由于天线弹性变形的材料内阻尼因素，其总机械能将不断衰减。无力矩状态可导致动量矩守恒，但不能保证动能守恒。在动量矩保持不变的条件下，绕最小惯性矩主轴转动的动能有最大值。反之，绕最大惯性矩主轴转动的动能为最小值。当动能随时间不断减小时，绕最小惯性矩主轴的转动必逐渐向绕最大惯性矩主轴的转动趋近。探险者一号失稳现象就有了合理的解释。

上述论断很容易证明。设角速度 ω 相对刚体的主轴坐标系（O-xyz）的投影为 ω_x, ω_y, ω_z，刚体相对惯性主轴 Ox, Oy, Oz 的主惯性矩分别为 A, B, C。由于天线在卫星中所占的比例极小，卫星的动量矩和动能可足够准确地利用刚体的计算公式，以 T  和 L 表示卫星的动能和动量矩：

                                         动能公式：    T  =  (1/2)( Aω_x² + Bω_y² + Cω_z²)                          (1)

                                 动量矩公式：  L  =  ( A²ω_x² + B²ω_y² + C²ω_z²) ^1/2                                       (2)

设刚体为轴对称，A = B，卫星绕 Oz 轴作永久转动，ω_x = ω_y = 0。无力矩状态下动量矩守恒，L = Cω_z²/2 为常数，动能 T= L²/2C 为 C 的函数。不难看出，动能 T  的最大值必对应于 C 的最小值，动能 T  的最小值对应于 C 的最大值。

  对于非轴对称的一般情况，从式 (1) 和式 (2) 消去 ω_z，导出

                                                        A (C - A) ω_x² + B (C - B) ω_y²  = 2CT - L²                                   (3)

有内阻尼存在时，动量矩 L 仍保持守恒，但动能 T 随时间衰减。将式 (3) 各项对 t 求导，令 dL/dt = 0,  dT/dt < 0，得到

                                          A (C - A) d(ω_x²) / dt  + B (C - B) d(ω_y²) / dt < 0                             (4)

对于绕 Oz 轴旋转的卫星，未受扰时角速度 ω_x  和 ω_y 均为零，受扰后的变化趋势可根据式 (4) 判断：

                                        C > A，C > B ：  ω_x² 和 ω_y² 减小，极轴仍回归原位置

                                        C < A，C < B ：  ω_x² 和 ω_y² 增大，极轴必远离原位置

从而证明：自旋轴为最大惯性矩主轴时稳定，为最小惯性矩主轴时不稳定。图 3 表示不同质量几何的刚体自旋轴的转动趋势，其中 OZ 轴为轨道平面的法线轴，即卫星的设计位置。图 3(b) 直观地显示出细长形的 “ 探险者一号 ” 卫星的倾覆过程。上述结论也适用于阻尼来自外部的情形。以转子陀螺仪为例，其高速旋转的转子依靠静电场或磁场支承在腔内自由悬浮。为保证使驱动后的转子准确绕极轴旋转，可利用磁场对转子施加阻尼力矩，使转子按照图 3(a) 描绘的过程，向有最大惯性矩的极轴自动趋近。

                                                    (a)    C > A, C > B                                            (b)   C < A，C < B

如上所述，无力矩作用的刚体如存在阻尼因素，只有绕最大惯性矩主轴的永久转动是稳定的。绕最小惯性矩主轴的转动或许能暂时稳定住，但随着阻尼因素的持续作用，稳定性最终也会丧失。从而总结出“最大轴原则”：

存在阻尼因素的刚体绕最大惯性矩主轴的永久转动稳定，绕最小和中间值惯性矩主轴的永久转动不稳定。

遵循此原则，自旋卫星此后再也不会出现绕最小惯性矩主轴旋转的错误设计。值得庆幸的是，我们居住的地球是一个略扁的椭球，极惯性矩  C = 8.036 ×10³⁷  kg˖m²  略大于赤道惯性矩  A = 8.010 ×10³⁷  kg˖m²。正因为绕极轴的自转运动符合最大轴原理，地球才能为人类提供一个稳定安全的家园。

               （改写自：刘延柱. 趣味刚体动力学（第2版），北京：高等教育出版社，2018：3.2节）