2013年6月20日，正在太空中翱翔的天宫一号实验室第一次给全国中小学生上了有趣的一堂课。学生们通过电视看到，航天员王亚平演示的单摆在太空中只能绕支点旋转却不能来回摆动（图1）。试想在空间站的失重环境里，所有物体都漂浮在空中，没有往回拉的重力单摆自然摆不起来。不过再认真做些思考，太空中的单摆也并非完全不能摆动，而是遵循与地面上完全不同的摆动规律。

将空间站的质心 O 作为坐标系的原点，建立与空间站固结的参考坐标系。根据牛顿力学原理，所有相对非惯性坐标系运动的物体除实际作用力以外，还必须增加由于动坐标系的加速度所引起的惯性力。就圆轨道的空间站而言，也就是 O 点圆周运动的离心力。空间站要维持圆周运动，惯性力与地球引力的合力必须大小相等方向相反。地球引力与地心 Oe 至物体的距离平方成反比。空间站内的不同位置因为与地心的距离和引力不同，重力与惯性力不能完全抵消，就会有“残余”的重力出现。可见重力在空间站里并未完全消失。

  图1 天宫一号中的单摆实验

  图2 太空中的单摆 

为便于叙述，设空间站的质量作球对称分布。作此规定是因为非球对称物体在中心引力场中的合力作用点不在质心上，叙述起来有点繁但道理相同^[1]。设单摆的悬挂点与 O 点重合，与地心 Oe 的距离为 R，单摆的长度为 l，摆锤 P 指向地心。一般情况下 R 要比 l 大很多，可略去 l/R 的二次以上小量，则摆锤 P 与地心的距离为R-l（图2）。设 O 点处单位质量的重力加速度为 g₀，与单位质量的离心力，即 O 点的向心加速度相等。摆锤 P处单位质量的重力 g 与 g₀ 之比等于距离平方的反比

        g/g₀ =[R /(R-l)]² = 1+(2l/R)                                                   (1)

如摆锤的质量为 m，所作用的重力 mg 不同于支点加速度引起的惯性力 mg₀，二者之差形成了残余重力，或更确切称之为微重力

　　　　　　                 　mg- mg₀ = (2l/R) mg₀　　　　　　　　　　　　　 　   (2)

既有微重力存在，就应能推动单摆产生摆动。不过推动的动力太微弱，可能产生的摆动极其缓慢。将式(2)代替mg 计算单摆的周期 T，得到

     T = 2π[l/(2lg₀/R)]^1/2 = 2π(R/2g₀)^1/2 = T₀/2^1/2                                 (3)

其中的 T₀ = 2π(R/g₀)^1/2 是摆长 l 与 O 点至地心距离 R 相等的单摆周期。如果 R 等于地球半径，令 R = 6.371×10⁶m，g₀ = 9.81m/s²，算出 T₀ = 84.4分钟。单摆周期 T  约为 T₀  的0.7倍，即大约59.7分钟。也就是说，空间站里的单摆需要一个小时才能完成一次摆动。有趣的是在周期公式(3)里，由于分母中的 g 与摆长l成正比而与分子中的 l 约去，单摆的周期公式就与摆长 l 无关。这表明伽利略发现的单摆周期随摆长增大的规律在太空中已不再适用。另一个有趣现象是如摆锤 P 不是指向地心，而是背朝地心指向相反方向，则离心力大于重力也同样存在微重力，只是方向相反。因此太空中的单摆不仅朝下，而且朝上也能摆动。

上述周期一小时的单摆摆动现象很难在太空舱内用实验验证。因为推动摆锤的微重力如此之微弱，以致支点摩擦或空气波动的影响都要比微重力的作用大得多。除非摆索的长度 l 加得很长，使微重力的作用增大到足以推动摆锤的程度。这种摆索超长的大单摆在太空中的实际存在就是绳系卫星（图3）。绳系卫星是由作为母星的太空船或空间站以及用系绳悬挂在太空中的子星组成的航天器。子星可朝向地球下垂，也可背向地球上浮。利用绳系卫星可以完成探测、运输甚至发电等特殊任务。上世纪90年代意大利最先研制的绳系卫星实际长度为250m，而设计长度长达20km。即使系绳如此之长，也远小于地球半径6371km，上述周期的近似计算公式(3)应仍能适用。即无论系绳有多长，也无论子星下垂或上浮，摆动周期均为一小时左右。在子星刚从母星释放后出现的这种不衰减摆动必须采取有效措施加以抑制，以保证绳系卫星的正常工作。

公式(3)中出现的摆长等于地球半径R的单摆周期 T₀ = 84.4分钟有特殊意义。因为德国工程师舒勒(Schüller,M.) 于1923年证明，当支点沿地球表面作任何加速运动时，都不会对这种单摆指向地心的平衡状态产生干扰。文献中将这种周期84.4分钟的特殊单摆称为舒勒周期摆^[2]。尽管在理论上成立，这种摆长等于地球半径的单摆根本无法实现，除非用周期很长的陀螺摆代替单摆。但关于舒勒周期的理论分析对惯性器件和惯性导航系统的设计有着重要指导意义。

                                                图3 绳系卫星

                         参考文献

[1]       刘延柱. 高等动力学. 北京，高等教育出版社， 2001

[2]       贾书惠. 神秘的数字84.4， 力学与实践，1997, 19(1): 67-69

（原文载于《力学与实践》，2013，35(4): 78-79）