正方形问题：在边长为1的正方形内部，是否存在一个点，使得此点到正方形四个顶点的距离都是有理数？所谓有理数，包括整数和分数（有限小数和无限循环小数），不包括无限不循环小数。无限不循环小数属于无理数。

1976 年，C.W. Dodge 在《数学杂志》Mathematical Magazine上提出了这个“正方形问题”。

1986 年，John P. Robertson 证明了：如果一个点到两条边的距离相等，就不能满足这种条件。

2005 年，《离散几何中的研究问题》把“正方形问题”列为“有待证明的问题”。

2021年，姬扬证明了：如果这个 点位于正方形的对角线、中线或边上，或者正方形的边长是这个点到某一边距离的 nn 倍（nn 和 n^2+4n^2+4 都是质数），那么这个点到正方形四个顶点的距离就不可能都是有理数。参阅http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1286287.html

单位正方形内部有无穷多个点，只要找到哪怕一个“四有点”，正方形问题就算解决了；如果把无穷多个点都验算一遍还是找不到“四有点”，那么正方形问题也同样就是解决了。

如果一个点到四个顶点的距离中，有一个是有理数，称为“一有点”；

如果一个点到四个顶点的距离中，有二个是有理数，称为“二有点”；

如果一个点到四个顶点的距离中，有三个是有理数，称为“三有点”；

如果一个点到四个顶点的距离中，有四个是有理数，称为“四有点”。

所以现在换一种思路，不是试图证明“没有”，而是尝试证明“有”。可以借助于计算机，让计算机代替人脑去证明“正方形问题”。在正常情况下，一般都是先易后难，先找“一有点”，在此基础上再找“二有点”，再然后找“三有点”，最后找“四有点”，看看结果怎样。

下面提供一种使用计算机寻找“二有点”的例子，具体方案如下：

如下图所示，以AB为直径做一个圆，落入正方形内部的圆弧，

该圆弧上有无穷多个点，现在用计算机来验算圆弧上的点到四个顶点的距离a、b、c、d的长度，编制计算程序，可以计算找到2对“二有点”：

a=0.96,  b=0.28,  c=0.7353910524340...,  d=1.1764352935882...

a=0.8,  b=0.6,  c=0.6324555320337...,  d=0.8246211251235...

由于正方形具有对称性，类似的“二有点”还应有4个。但是该圆弧上没有发现“三有点”和“四有点”，不过“一有点”却是有无穷多个。

如下图所示，随a取值（有限小数）的变化，b具有单调性，而c、d会有最小值；圆弧上的点到四个顶点的距离之和T也具有最小值（Tmin=1.89）。T有最小值这是有“物理意义”的，比如要将一头牛的四蹄用四条绳索分别栓在正方形的四柱上，这样做所用的绳索可以最短，所以相对而言应该是最省钱。

以上仅是针对一条半圆弧的特殊情况，如果是在正方形内部任意一条直线或曲线上寻找“四有点”，尽管方案可行，但计算量很大，在此只是抛砖引玉。