近十余年来我们组在相邻原子质量关系方面做了许多游戏，这些游戏是年青人进入核物理领域初期非常好的训练场，初学者由此可以熟悉实验数据库。因为我在这方面人力资源太少了，投入运行的全部也只能是高年级大学生和低年级研究生；而到了研究生二年级之后，就要系统学习和训练核物理理论的复杂框架了。我这么多年之所以对原子质量问题乐此不疲，一个动力是许多游戏确实有意思，而我们也得到了丰厚的回馈。

原子质量指的是整个原子的质量总和，包括原子核的质量、电子的质量，减去处于原子内所有电子的总结合能。电子的静止质量知道得已经很精确了，原子内所有电子的结合能基于量子力学计算也知道得比较清楚 ----- 为什么电子结合能知道得比较清楚呢？因为电子是点粒子，而且原子处于基态时内层电子不激发，外层电子数量不多，相互作用也很清楚，计算就比较简单；人们发展了很多方法来干这件事，甚至经验公式的精度也比较高。所以，原子质量的“未解之谜”就剩下原子核的质量了。

遗憾的是，原子核的质量就不再简单了，这也是这篇文章的最后结论。不过凡事都有两面性，因为原子核质量非常不简单，因此我常对学生们说：当你们象我这个岁数的时候，解决原子核质量问题依然是遥遥无期，依然是非常复杂的，也就是说，这个问题是可以吃一辈子的。当然既然是研究，那么就要常做常新；否则就没有动力，就会失速。所以，我们要从不同角度让这个工作做下去是有趣的。

因为我们在这方面做了许多工作，回头看一下整个过程的简单逻辑是很有必要的，此短文也与感兴趣的朋友们分享。

在2000 年之前，人们知道的最有名、最简单的质量关系是所谓的 Garvey-Kelson 质量关系。1989-1992年我在兰州所读研究生的时候，刘建业老师和钟纪泉老师弄了一个似乎是手写的+copy其它书的一个讲义，里面就有这个东西。Garvey-Kelson 质量关系的原文刊登在60年代的 Physical Review Letters 期刊上。这个 Garvey-Kelson 质量关系的“原理”很简单，就是假定核素图上相邻原子核的核子之间相互作用变化很小，因而近似为相同；在这样的假定下，通过加减乘除把这些相互作用相互抵消，那么就得到了相邻原子核质量关系的公式。这种抵消相互作用的方式有很多种组合，最简单的就是所谓的Garvey-Kelson 质量关系，就是如图1所示的那样，三个“加号位置的原子核质量”[或结合能]减去三个“减号位置的原子核质量”近似等于零，这个关系可以通过掰手指头的方式予以“证明”。图1中的两个结果是相邻原子核最简洁的关系式。

         Garvey-Kelson 质量关系的示意图

Garvey & Kelson 提出这些质量关系提出的时候，原子质量数据表还不行，数据实在太少；但是已经可以看出它们的精度已经比较高了，精度之高是远超预期的。Garvey-Kelson 质量公式的形式极其简单，仅涉及加减法，用起来太舒服了。这两个关系式长期为人所知，但是后来也没有太多人在意它。

根据文献发表文章的纪录，与此相关的人非常少，我的印象中只有J. Janecke 后来长期干过，他还写过不少文章。我在翻阅文献的时候还想过，这个 Janecke 是个什么样的人呢？大概应该是那种比较“轴”的人吧！虽然有那么一些结果，不过那种加加减减游戏玩那么久，那得有多么枯燥乏味啊！现在我想想，这位 Janecke 先生只是生不逢时而已，那时候的数据太少，能供他游戏的原料不多。如果是现在，他大概率地会与我相伴，enjoy 这类游戏吧。

Garvey-Kelson 关系被人们重提起来，是2004年前后被J. Barea、P. Isacker、A. Frank、V. Velazquez、J. H. Hirsch、S. Pittel 等人重新用了起来。这件事对于我其实太巧了，当时我正在荷兰KVI短期访问, 期间有马朗人先生建议我[厚着脸皮]让GANIL 的Isacker 和 Strassbourg 的 Zuker 全额资助我顺便访问他们，结果这两位先生都同意了； 我在GANIL 那几天，Isacker 神秘兮兮地告诉我，他们在 Garvey-Kelson 质量关系应用方面有一些很有趣的结果。当时我做的是另外一个题目(随机相互作用下的原子核性质)，因此Isacker 的话即便再动听，也难以真正进入我的大脑，我那时只是客气了一下就没有接这个话头了。 因此，这件事与我暂时插肩而过。

这些同行系列文章的逻辑很简单，就是多次预言、然后把多次预言再平均。他们的结论是：经过多次不同途径预言的平均之后，给出的预言结果精度大幅提高，对于中重原子核而言，精度从大约170 keV 提高到60-70 keV。这当然是非常容易理解的：我们射击队员如果是一个神枪手，随手一枪可以打十环、一个不善于射击的人，一枪下去大概率打不了十环；但是如果让这个不善于射击的人连续打出10000 发子弹，着弹点的平均方位大概率地在十环的位置。这就像做实验的，多次测量可以避免偶然误差是一个意思。从这个方面看，Barea 等人的想法和结果是很容易理解的；考虑到原子质量的重要意义，其实写写文章也差不多“可以发表”吧。他们有一篇文章还登在了Physical Review Letters 上，还有一篇在 Physical Review C 的快报上(Rapid Communication)。

我重新接触到 Garvey-Kelson 质量关系，则是在 2010年春夏之交的时候；也是非常偶然的事情。那时Pittel 在我这里访问，他在我这里反正闲着也是闲着，我就让他在我这里讲课。在他临走的时候，他跟我说：我们最近有一个很有趣的结果，也可以给我们讲讲，其实就是上面说的Barea 和那些人的那些结果。当时我们这里GJ Fu正在跟我做本科毕业论文，那时他在重复兰州所前辈 JYZ 在1989年发表在 Physics Letters B 上的一篇文章颇有心得，那篇文章也是质量的加加减减, 得到一个东西，我们把它记作 delta V-np, 意思是原子核最后一个质子-最后一个质子之间经验的相互作用势。因此GJ Fu随后跟我说：老师，我们是不是也可以玩这个质量问题呢? 我说：当然可以，怎么不可以呢。这就是我们做原子质量方面的起始状态。很快，GJ Fu总结了两篇独立的文章，发表在 Physical Review C 上。那时本科生发表论文其实并不多，从2007年到2010年，我带了6名本科毕业论文[JJS、ZYX、YY、LYJ、HZ、GJF]，他们的本科毕业论文作为第一作者在 Physical Review C 期刊发表了6篇文章；2013年我用原子核质量关系做题目继续带了2名本科[MB、ZH]毕业论文，他们两位发表第一作者发表4篇Physical Review C 论文，并获得了交大优异学士论文、全国挑战杯大学生学术科技作品竞赛的特等奖。这是我们研究质量外推问题的完美开局。

利用 delta V-np 摆弄原子核质量是怎么一回事呢？这个 delta V-np 可以写成相邻四个原子核的质量关系，这个结果有一个整体变化趋势，假如我们能比较精确地模拟这个 delta V-np 数值，那么我们就有四个相邻原子核的质量关系了。这里的关键是把这个 delta V-np数值上定得准确。

在我们之前，人们考察质子-中子相互作用问题时往往对于偶数质子、偶数中子的原子核感兴趣，因为那种情况下具有更好的规则性，因而计算最后二个质子、最后两个中子的质子-中子相互作用，因此这个量变成了delta V-np 的四倍。根据我们的了解，人们真正去做“最后一个质子-最后一个中子”的delta V-np 是两个印度人在1971年在 Physical Review C 上的文章，当时他们限于数据，只有一个非常粗糙的图，也没有相关结论或评论。我们开始的时候对这个量也不喜欢，直到我们突然意识到这个 delta V-np 具有奇偶性。这个奇偶性使得利用 delta V-np 构造质量关系具有超越Garvey-Kelson 的优越性，主要表现在两点：

(1)    Garvey-Kelson 关系涉及6个原子核，而 delta V-np 质量关系涉及到4个原子核；在预言未知质量时Garvey-Kelson 关系属于 5缺1，而delta V-np 质量关系则属于3缺1；实验数据偏差带来的不确定性变小。

(2)    delta V-np 质量关系在质量数为偶数的情况下，delta V-np 质量关系和Garvey-Kelson 质量关系精度差不多[比Garvey-Kelson 好那么一丢丢], 在奇质量数情况下delta V-np 质量关系的精度则高了许多。

因此，在看到这个结果时我的反应是非常兴奋，因为我们有一个全面超越 Garvey-Kelson 质量关系新的质量公式；虽然我们不好意思把我们大名没有写在上面，不过事情是我们做的，是我们指出这个事实的。

我说过：这些事情主要是低年级学生的游戏。这个结果出来没有多久，GJF就转到配对理论上去了。配对理论是我们研究组长期的主要阵地，少年长成后都要去养家糊口，也确实不能再做这样的游戏了。不过有了GJF的这一炮，后边的学生来了都让他们先在这方面练练手，毕竟我们有了一点原始积累，我自己可能也比较擅长游戏的讨论，因此后面相关工作都是顺利成章的了。

我们组在这方面后边的接力运动员第一个是HJ。她在这方面比较细致，动作也比较快，她把GJF的套路写成了程序，预言未知的原子质量 [可是再过了一年后也主要去做配对理论了]。第三批运动员是MB和ZH。那时我们已经知道了所谓Garvey-Kelson 质量公式其实可以化成相邻原子核 delta V-np 之间的关系；这两个delta V-np 相同就给出 Garvey-Kelson 质量公式；但是呢？这两个delta V-np 相同其实存在着很小的、具有某种统计意义的、同时系统的平均偏差。这种偏差会为Garvey-Kelson 质量公式带来微弱而实际的偏离，从而具有特定的奇偶性。抓住这种奇偶性、并有所发扬光大的是MB，她由此很巧妙地构造了消除奇偶性的Garvey-Kelson 质量公式，这个公式可以写成四个相邻原子核的 alpha 衰变能量，这个结果形式非常简单，我们把它称为1n-1p alpha 衰变能公式。

好事不成单，2014年夏天YYC博士毕业后加入到我们这里。她也很快上手做了很多有趣的文章。后来者阅读YYC的文章时常常感慨，YYC 的脑子怎么那么聪明, 有那么多奇思妙想! 她第一个巧妙的结果是指出Garvey-Kelson 质量公式的奇偶性会导致这些公式之间的系统关联，这种关联导致前面Barea 等那些人的假设其实是不成立的。这就好比说，有一个射击运动员连续开了10000 枪，但是由于枪的准星有问题，平均结果还是会系统地偏离了十环；也就是说，Barea等人那个看起来非常自然的想法有点儿太 naive了，我们在图像和数值上都可以证明这一点。 YYC 的证明也很简单, 从Garvey-Kelson 质量公式的奇偶性容易看出，多次使用这些关系式时，这些预言的偏差有时相干相长、有时相干相消、有时杂乱无章；因此为了获得更高的精度，我们应该只看那些相干相消的预言、忽略相干相长和相干相消的那些预言，而且顺着这条路，容易找到那些真正最优的组合。

因为Garvey-Kelson 公式的假定实在太简单了，很容易掰手指头推广这些关系，也容易通过数值实验找到所谓“最优”的预言路线，甚至不同区域可以走不同路径得到好的外推结果，这些方面以及delta V-np 方面后来的细致活儿主要是 MB 、HJ两位女士做的。而把这些方法统一起来写成一个完备和统一的形式是另一位女士 YYC 做的。 值得一提的是，最近MQL（也是一位女士---难道原子质量公式是最适合女士们创新的题目？^-^）学习兰州所的前辈JYZ老师掰手指头的做法时，利用我们组内 HJ 外推预言的质量结果，构造价质子和价中子之间的总相互作用 V_pn，看到质子-中子相互作用强度在同一壳层内不同区域的差异，用这种 V_pn 取代 Rick Casten 倡导的著名NpNn scheme, 结果竟出奇地漂亮，这是我在过去没有预料到的，因此属于意外的惊喜。

这是我希望交流的第一个线索，也就是我说的 Garvey-Kelson 质量公式、 delta V-np 质量公式以及它们的推广和相关数值实验。我们比较幸运，在开始碰原子质量公式这个问题时进展比较顺利，后来的路子就越走越宽。