向量的四则运算

许秋雨，2021.2.5

实数是实实在在的数，可以对应长度和时间等，这时每个实数都有实际意义。把所有的实数放在一起组成一个数域，即实数域。所有的实数可以做四则运算，任何两个实数相加和相乘都可交换，即对两个数哪个在前哪个在后是沒有关系。这就为解实际问题中的线性方程组提供了方便。

解线性方程组应该是在所有科技领域中最有用的数学，是真正数学在应用中的着陆点。它又叫线性代数，在很大意义上又同等于矩阵理论。讲到矩阵理论，就有了向量的概念。一个向量有多个分量，如果每个分量都是实数，就叫实向量。人们也想对向量做运算，其中加减不是问题，单个数乘一个向量也不是问题，这就是线性空间的概念。

对实向量的运算，一个非常自然的问题是，能和实数一样做四则运算，即加减乘除，且其加法和乘法与两个向量的次序无关么？向量间的加减乘运算容易理解，但两个向量怎么做除法呢？数学家发现，如果实向量的维数是二，即只有两个分量，实向量之间有上面说的四则运算，只需引进一个虚数单位元 i。

对一个两维实向量［x，y］，令z＝x＋iy即可，这就是复数的概念。两个两维实向量等价于两个复数，这样，它们间的四则运算就同等于复数间的四则运算了。因为所有复数组成复数域，两维实向量间的加法与乘法也与它们的次序无关。

既然两维实向量间可以和实数一样做四则运算，人们自然就会问，三维实向量，四维实向量，等等，也能像两维实向量一样可以做四则运算么？这个问题涉及到数学的最本质的问题之一，即数域的扩张。遗憾的是，数学家说了，除了两维实向量外，其它任何高于二维的实向量间不存在像实数间的四则运算。

高维实向量间尽管不存在像实数一样的四则运算，四维和八维实向量存在四则运算，即可以做加减乘除，但是两个向量的乘法与它们的次序有关，即不可交换。其实所有四维实向量组成四元素体，所有八维实向量组成八元素体。注意，它们只是体，不是域，即不可交换。大家也许都知道，不可交换在研究和应用中会带来无穷的不方便。

既然高于两维的实向量间不能像实数一样做四则运算了，即不是域了，哪有没有其它形式的向量使得它们之间有像实数一样的四则运算呢？答案是肯定的，有！

如果向量中的每个分量只取有限个元素，这时向量间就存在像实数域一样的四则运算了，即成域了。这就是有限域的概念，又叫咖罗瓦域。一个最简单的例子就是二元向量，其每个分量只是0或1。这时也类似于两维实向量时的 i，需引进一个本元 α，而把一个向量对应到一个 α 的固定阶的多项式，其系数正是向量的所有分量。这时向量间的运算就等于多项式间的运算了。请注意，在上面提到的复数中，x＋iy正是 i 的一阶多项式。

多项式间的加减乘法容易理解，但怎么做除法呢？这正是为啥要求向量的每个分量只是有限个元素的原因，这时，所有固定维数的向量也只有有限个，所有固定阶数的多项式只有有限个。这样，就可以做到每个多项式正好唯一地对应 α 的某个指数，且是一一对应。从而多项式之间或者向量之间相除就对应 α 的两个指数相减了。

现举个例子。如果向量的维数是 m，向量的分量都只取前面提到的二元域｛0，1｝。这时 α 是一个二元域上 m 阶不可分解多项式的零点，也就是说 α 的 m 次方可以唯一地表示成一个低于 m 阶的二元域上的多项式，即多项式系数全是0或1。这样 m 维二元向量可一一对应于低于 m 阶二元域上的多项式，又可一一对对应于 α 的低于 2^m-1 次方的指数。这时所有 m 维二元向量组成 2^m 个元素的有限域，是二元域｛0，1｝的扩域，它在纠错编中起着至关重要的作用，是著名的RS码和BCH码的基础。

请注意，如果向量里的分量有无穷个值的话，那么向量对应的多项式就有无穷个可能，这时就可能对应到无穷个 α 的指数，这时就可能没有了一一对应，运算就会出问题。但是，如果向量的分量全是有理数时，即有理数向量，尽管每个分量也是无限多，这时向量也能组成域，即代数数域，其构造方法属于代数数论范畴，与上面介绍的有限域扩张有一些区别。所以，有理数向量也能有通常的四则运算。

在一般情况下，如果向量里的所有分量的元素都属于某个域 E，如果该域能扩大成 m 阶的另一个域 F，那么这样 m 维的域E上的向量就组成一个域，即域 F，从而它们就有像实数一样的四则运算。

总之，二维实向量间或者有限元向量间或者有理数/代数数向量间可以做像实数一样的四则运算，从而可以解线性方程组，应用到各种实际问题中去了，而高于二维的实向量间没有。