我的第一篇科研论文，献給导师八十大寿

夏香根，2019年6月5日

前些天我写这个题目是为庆祝明年中国科学系列期刊及科学通报创刊70周年，今天再写这个题目是为祝贺我的硕士导师南开大学周性伟先生今年80周岁大寿！周先生正好比我大两轮！

在明年中国科学系列期刊及科学通报创刊的70周年及我导师80大寿之际，我非常激动，因为我的人生第一篇科研论文，在导师的带领下，就是发表在1986年的《科学通报》第8期上。那时《科学通报》每月双刊，一年24期。所以我的第一篇论文已经发表整33年了，33是一个多么美好的数字！

今年是2019年，是我高中毕业整40年，前些日子，高中同学们正好搞过毕业40周年纪念活动，场面热烈，让人感动。2019年也是我大学入学整40周年（【江城子】入大学40年：四十年前提纸箱，衣二件，被一床。车离高淳，许久见城墙。路宽树直鸡鸣寺，过鼓楼，停中央。进了随园古模样，三宿舍，一食堂。同窗四载，一起添身长。林间平房学微分，求极限，算列行。  *中央指中央门汽车站）。40年前的79年高考是文革后的第三次高考，录取率只有百分之六左右，是文革后大学录取率中的第二低，据说那年全国录取27万左右大学生。作为一名农村学生，我非常有幸能生逢在这个对农村孩子们的千载难逢之时，就是对这两三届的高中毕业生，他们所经历的中小学基础教育的城乡差距最小。在79年入学的大学生中，出生在农村的学生在所有学生中的比例大于70％。

记得就在我们高中时，徐迟关于陈景润做哥徳巴赫猜想的报告文学让我们每位年少的心里留下了对科学的热爱，特别是对数学的兴趣让我大学选择了数学专业，又更让我有了继续研究生学习的决心。我们那时上大学最短的短板应该是英语，因为我们中学基本没有学英语。所以我的英语是从大学开始学的。考研究生是要考英语的，当时我每天都要花很多时间在学习英语上。据说我们那一年，即83年，全国就招不到一万名硕士研究生，入学竞争相当激烈。我记得，我的考点是在南京大学，好在从南师走到南大也就不到半小时（就在两三年前我还又特意走过一次，是从南大走到南师的）。考研的那几天，紧张得我晚上基本上不能入眠。其实那全是无形的紧张，因为当时大学包分配，考上了研究生只是锦上添花，而考不上也一样会是有正式工作的国家户口。所以当时在大学里，大家对学习成绩并不是太关注。那次研究生考试真是太不容易了，因为我晚上都睡不好觉，每天白天考试时，脑子根本就不转，我写的答案基本上靠得是死记的，发挥不好完全算正常。我记得，在大学里，只要前一天晚上能睡好觉，第二天的考试一定会非常好，都只需考试的三分之一时间就交卷了。

三天考五门课，我考的课程是，实变函数，数学分析，高等代数，英语，和政治。考完后就是慢长的等待，等待考研的结果，等待班上拿信的同学，等待信的来临，天天等，每个明天都是新的希望。我考的是南开大学，特别当听到报考南开大学化学系的同学收到复试通知信时，我更加焦急。过了几天，我还是没有信，后来我就放弃了，觉得应该不可能了。因为我知道，那时就南师来说，考不上才是常态，考得上算是奇葩。比我高一级的78级，整个南师数学系150位同学，只有一位考取了浙江师范学院的研究生。

我记得，83年5月1日当天，我们大学宿舍的同学们来到了南京离南师不远的清凉山踏青，大家玩得都很开心，尽管天气已经非常热了。当我们返回宿舍时，班上一位同学，我们的老组长（我们大学第一年是9人一个筒子间宿舍，到第二年后就8人一间了，老组长第一年后主动换了宿舍）当即给我送来了信，它恰恰正是我等待已久的南开大学研究生复试通知书。我现在很难形容我当时有多激动了，反正那天晚上，我一夜未眠。我记得，复试时间就是两天后，而南京到天津的火车最快也要16个小时，如晚一丁点就赶不上复试了。可以想像，当时邮差送信的及时有多重要。后来入了南开大学后听说了为啥我的复试通知书信来得晚了的原因。我考的五门课里，已有政治和英语两门课不及格了，当时国家规定不能有超过两门课不及格。可是，我还有一门课就差一分才及格，我导师看到这个情况后，要求学校再查了一下我的考卷，哈哈，学校还真正地找回了真的一分，这样才造就了我的复试资格，也才有了今天的我。非常感谢我的导师。

就这样，四年大学的努力学习没有让我失望，终于在83年大学毕业时考取了南开大学数学系的硕士研究生，我非常幸运，成了那一年全国一万名研究生新生中的一员。那时，全国各个高校对研究生都非常重视，同时，考取的研究生学习也非常自觉，非常努力。因为考取研究生对我来说已经是最大的奖赏了，当时也没有什么更诱人的东西去追求，所以入了研究生，就是一心一意地读书和做科研，心无任何杂念。

我在南开大学的研究生导师是周性伟先生，我的研究生研究方向是信号处理。我83年秋季入学，第一个学期及第一年主要是上一些研究生基础课程。到84年，周先生给我介绍了一些研究题目，先让我读了他自己在解反卷积问题方面的一些结果。解反卷积问题在70年代及前80年代是国际信号处理界的热点问题之一。由于国内对地震信号的关注（是因为76年唐山大地震的原因），在国内也有很多研究，如北京大学的程乾生先生，杭州大学的王思雷先生等等。

周先生又给我介绍了一些关于由部分信息恢复信号的问题，如由相位或者幅值来恢复信号等。这些问题在70年代到80年代初也是国际信号处理界的热点问题，主要是由于数字图像处理的发展。我记得当时美国MIT的Oppenheim组和UIUC的黄熙涛组最为活跃，成果也比较多。也正是在那时，我第一次读到了清华大学李衍达先生在MIT 的Oppenheim组时做的用幅度重构信号的结果。当时周先生又给我推荐了一篇83年黄熙涛组的IEEE Trans. on Acoustics，Speech，and Signal Processing （TASSP）论文，这篇论文是关于信号外推的，即怎么从一个带限信号的一小段值来恢复整个信号，或者说，从某已知时间段的信号外推到别的时间段。TASSP 在1990年后变成了IEEE Trans. on Signal Processing (TSP)，由原来的双月刊变成了月刊。现在TSP已变成了每月双刊且每刊的厚度也是TASSP的两倍以上。

带限信号的内插是信号处理界最经典的问题之一，如香农采样定理就是一个经典的答案。它是数字和模拟信号之间的桥梁，是从模拟时代过渡到数字时代的关键。而带限信号的外推，问题显得更加有挑战性。从理论上说，由于带限信号被拓广到复平面上后是整函数（即在整个复平面上它都有Taylor展式表示），它的任何一小段都唯一决定整个信号。所以带限信号外推在理论上没有问题，只是怎么来计算的问题。但是在实际中，并没有严格的带限信号，或者说，实际中的带限信号一定会有噪声（或误差）。怎样从有误差（或带噪声）的一个带限信号的一小段来外推出该带限信号的其它段才是真正的问题，而此问题正可以归到一个经典的反问题中去，即第一类Fredholm积分方程的求解问题。这类反问题的求解是非常有挑战性的，也是不定的问题。所以说，其实上面提到的这些问题是30多年前信号处理界的热点问题，又何况不是现在的热点问题呢？

周先生给我的黄熙涛组的83年TASSP论文中提出了关于带限信号外推的两个猜测。第一个是对无噪声带限信号外推的猜测而另一个是对有噪声带限信号外推的猜测。我们先做的是第一个猜测。我们发现，对于这个猜测，它等价于某种在复平面的点上多项式插值的收敛性估计问题。周先生和我经过多个月的努力，终于完整地证明了这个猜测。那时没有电脑，也没有中文打字机，只能手写到方格子纸上，下面带上几层复印纸，这样就能得到一式数份稿件。该论文是周先生亲自起草写的，写完后就投到了《科学通报》。这是我平生中的第一篇科研论文，尽管我大学毕业时写过一篇毕业论文，但是我觉得那篇毕业论文更像是一个深度练习而没有投稿。

我们投《科学通报》的文章在86年4月份就顺利地发表了，紧接着我也硕士研究生毕业留校任教。后来我们又证明了黄熙涛先生论文中的第二个猜测，即关于有噪声带限信号外推的猜测。再后来我又到了美国读博士学位，博士毕业后就在研究所和大学做科研，直到现在，我已经有了33年的科研论文发表历史。

三十三年前能做出一个新的科研结果发表在中国科学系列期刋上是我的梦想，没想到现在我很荣幸地成为了《中国科学》的编委会成员。不得不说我的第一篇《科学通报》论文是一个非常正确的开端和指引。

正值周先生80周岁之际，衷心感谢周先生33年前把我就这样带进了学术界！