折纸几何学是近些年来比较热门的一个话题，很适合在中小学课外活动中开展。顾森在其科普著作《思考的乐趣》里曾经介绍过，另外一本黄燕苹、李秉彝著的《折纸与数学》则有更深入的讲解。

　　全部的折纸基本操作一共有七条，称为折纸基本公理，其中比较让人困惑的是所谓的公理六：已知A、B两点和a、b两直线，可以把A、B分别折到a、b上。^{补充说明1}按照前述资料的介绍，说这个操作相当于求解三次方程，但是很多资料并没有更进一步的说明。顾森的博客上有网友留言给出了相关链接，但是日文的，蒙科学网博主蒋迅老师帮助利用谷歌自动翻译功能，我又找到了一篇中文文章，总算是自我感觉大致理解了。下面作一介绍。

　　前述两篇文章讲解公理六的部分内容是一致的，讲的是给出两点P₁(a,1)和P₂(c,b)及两直线l₁:y+1=0、l₂：x+c=0，要使P₁折到l₁上，P₂折到l₂上，最多可以有三条折痕，其斜率对应于方程t³+at²+bt+c=0的实数解。这里已知的点、线坐标（方程）和三次方程系数要对应好。

　　下面重点来了。笔者为了给学生直观展示这三个折痕，用这些带字母的式子肯定是不行的，需要用更直观的方式，最好是把这三个折痕画出来。画法如下：

• 构造一个有三个实数解的三次方程，这很容易，我们可以设这个方程为(t-t₁)(t-t₂)(t-t₃)=0。我一开始随意设了三个根，然后把这个三次方程的各项系数分别求出来（最高项系数必须为1）；

• 在几何画板里画一个边长10厘米的正方形代表纸张，以其中心为原点， 并且自定义单位长度（我是以0.5厘米作为单位1），按照前面所说的该三次方程系数与各点、线的对应关系，画出P₁、P₂和l₁、l_2；

• 若P₁经过折叠后的对应点是P₁'，而折痕的斜率是t_i，则P₁P₁'连线的斜率应为-1/t_i（i=1,2,3,因为折痕是对应点连线的垂直平分线），而过P₁、斜率为-1/t_i的直线与l₁的交点即是P₁'，二点连线的垂直平分线即为折痕。

• 过P₂做折痕的垂线，与l₂相交，交点即为折叠后P₂的对应点。

　　经过上述一番折腾，笔者发现原来无意中设定的这些数值，居然有两个解使已知点折到了已知直线的交点上，这也太巧合了吧。这样的例子给学生，会让学生误以为三个解中必然会出现已知点折到已知直线交点。不甘心的我换了一组数值，发现仍然如此，真是无语了。

黑色实线为纸张轮廓，红色实线为已知直线，红色虚线为折痕，蓝线为已知点和折叠后的对应点的连线

　　几经思考，笔者觉得问题出现在我设定的三次方程的解都是简单的整数比，这次我痛下决心，用了无理数，设定三次方程的解分别是1、-sqr(2)、sqr(3)，于是问题完美解决，不再使得已知点经过折叠后到已知直线的交点位置了。^{补充说明2}

本例的三个解

补充说明：

1. 所谓最多三个解，不限定于两条已知直线互相垂直的情况；而且这三个解是这样的：只包括A→a且B→b，如果还包括点A→b且B→a，则最多可能有六个解。

2. 本文最后的三个图，坐标原点不在正方形中心，而是略靠上一点，否则最后一图P2的对应点就跑到纸外去了。

3. 读者可以思考一下，公理六到底什么情况下会使其中一点折叠后过两条已知直线的交点。

参考资料：

http://www.matrix67.com/blog/archives/4169

http://origami.ousaan.com/library/constj.html

数学通报，2007年第46卷第10期，P57，折纸与尺规作图，张贺佳，广东省佛山顺德一中