线性离散系统的无限时间能控丰富性的解析计算(整理中)

      本人的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems) 里定义了线性离散系统的controllable abundance(能控丰富性、能控充裕性)如下：

$v_{c,N}=\mathrm{Vol}(R_{c,N})$

其中 $R_{c,N}$ 为系统的状态能控域,其形状为一 $n$ 维空间中的平行多面体 ; $\mathrm{Vol}(\bullet)$ 为体积计算。

     对单输入单输出(SISO)线性离散系统,这里体积计算可转化为由 $n\times n$ 维系统矩阵 $A$ 和 $n$ 维输入向量 $b$ 生成的向量组 $G_{N}=\{A^{-N}b,A^{-N+1}b,\cdots,A^{-1}b\}(N\geq n)$ 所张成的平行多面体 $C_{n}(G{}_{N}))$ ,其体积可计算如下

$V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\left[\det(A)\right]^{-N}\sum_{(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}([A^{i_{1}}b,A^{i_{2}}b,\cdots,A^{i_{n}}b])\right|$

其中 $\Omega_{0,\infty}^{n}$ 指所有由自然数序列 $\{0,1,2,\cdots\}$ 中任取 $n$ 个数并按从小到大排序而得到的 $(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})$ 组成的集合。

     对无限时间的能控域 $R_{c,\infty}$ ,当矩阵 $A$ 为对角阵，且其特征值 $\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 均为单根且为大于1的正实数,则线性离散系统的无限时间的能控丰富性 $v_{c,\infty}$ 可由下式解析计算

$\lim_{N\rightarrow\infty}V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\left|\left(\prod_{1\leq j_{1}

其中 $[b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}]^{T}=b$ 。对只要其特征值 $\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 满足为单根且为大于1的正实数的任意系统矩阵 $A$ ,则无限时间的能控丰富性 $v_{c,\infty}$ 可由下式解析计算

$v_{c,\infty}=\lim_{N\rightarrow\infty}V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\left|\det(P)\right|\left|\left(\prod_{1\leq j_{1}

其中矩阵 $P$ 为系统矩阵 $A$ 的所有右特征向量组成的矩阵,行向量 $q_{i}$ 为矩阵 $A$ 对应特征值 $\lambda_{i}$ 的左特征向量。

     由上式可以非常方便地求出能控丰富性，并便利地对系统进行优化计算、控制设计，提高系统控制性能和鲁棒性能。