希尔伯特第24个数学问题

                 作者 张寅生

希尔伯特的23个数学问题对于数学界广为人知。数学词典这样描述它：

 1900年，希尔伯特^*在国际数学家大会上作了关于数学问题的演讲，提出了23个在各个数学发展方向有重要意义的问题，称为希尔伯特问题。他认为，这些问题的解决，必将推动20世纪数学的发展，并希望不同数学领域相互促进。在这23个问题中，前6个与数学基础^*有关;其余问题都是各有关领域的重要问题。这些问题的提出，刺激了数学的发展，揭开了现代数学的序幕，许多新数学分支就是在研究希尔伯特问题的过程中发展起来的。20世纪数学的实际发展，部分地证实了希尔伯特的预言。(当然，20世纪数学的发展，大大超出了他所预见的范围)。有人以解决多少个希尔伯特问题，来衡量20世纪以来基础数学^*的进展。至今，希尔伯特问题还没有全部解决，仍受到数学界的关注。（《简明数学词典》，北京理工大学出版社，沈以淡）。

现在，提一个问题：有希尔伯特第24问题吗？

 -----这不是玩笑。真有！尽管希尔伯特没有在那次会议提出，但是最近的研究发现在他的手稿中是存在的：

“作为我的巴黎演讲的第24个问题，我想提这样一个问题：化简证明的标准，或者，表明某些证明比其他的更为简单。总而言之，在数学中建立一个数学方法理论”。（Sara Negri,Jan Von Plato.Proof Analysis A Contribution to Hilbert’s Last Problem.Cambridge: Cambridge University Press. 2011:1.）

这表明，证明论的倡导者明显地认为证明方法存在规律性，并且这些方法应成为证明论的一部分。可惜的是，当前证明论并没有关注证明方法，而是关注证明理论。方法是规则形式，可以是相关于多个对象；而理论则涉及具体的数学对象的命题。

现在，我的《证明方法与理论》在进行一种尝试，它将证明理论与证明方法统一研究，并列列出其关联的规律。例如，在讨论自动化证明方法同时介绍递归理论和可判定理论；介绍关系运算方法同时介绍集合论；介绍系统化方法同时介绍系统相容性理论，等等。在证明方法部分抽象出了11种类证明方法：①关系运算证明方法；②三段论证明方法；③数学归纳法；④反证法；⑤构造性证明方法；⑥同态证明方法；⑦解释性证明方法；⑧系统化证明方法；⑨截消证明方法；⑩归结证明方法；⑪自动化证明方法。证明理论部分分类阐述了自希尔伯特倡导建立证明论以来该学科的主要理论：①可判定性理论（包括邱奇-图灵定理及其证明），②相容性理论（包括数学悖论结构分析和解悖理论；集合论公理系统；算术公理系统及欧几里德、罗巴切夫斯基和黎曼几何公理系统的相容性理论）和③（不）完备性理论（包括第一、第二哥德尔不完备性定理的详细证明，一阶逻辑的完备性定理相容性理论）。④可靠性理论（一阶语言的可靠性定理）。将证明方法与证明理论结合起来阐述其内在联系和统一规律，这实际上正是希尔伯特建立证明论的初衷之一。希望这个探索有意义，有效果。

(张寅生（zhangyinshengnet@sina.com）：《证明方法与理论》，

国防工业出版社，2015年)