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我在2016年4月的博客《希尔伯特梦后百年》提出希尔伯特纲要的目标并未被哥德尔证明击垮,而是基本实现了。并在微博(http://blog.sciencenet.cn/u/zhangbeijing)设置向正反方征求反响。虽然反响不大,但多数人仍让坚持希尔伯特之梦并未实现。
现在我发现了一个支持我的观点的佐证:
“从1950年起在数学哲学和逻辑学方面的文献中,这已成为一个普遍共识,即希尔伯特纲要不仅已经被哥德尔不完备性定理’杀死’,而且它如果不是一开始就考虑欠妥的话,就是过于野心勃勃了。尽管如此,在近来的文献中,出现了一些更积极的评价。这大部分原因是希尔伯特学派未发表的作品(尤其是希尔伯特课堂笔记)近年来得到了关注,……希尔伯特的哲学思想能够以怎样的方式得到拯救,这仍有待考察。从上一节的讨论中,无论如何都应该明确的是,那些与希尔伯特思想密切相关的成果已经取得了重大成功。……在过去半个世纪以来,证明论和希尔伯特的目标在更普遍意义上得到了巨大的推进。”
上段文字摘自《爱思唯尔科学哲学手册/逻辑哲学(上)/理查德 扎克:希尔伯特纲领的过去与现在》(北京师范大学出版集团,2015年12月,pp552-553)。
理查德·扎克的基本理由是算术体系结构的建立,但他只引证了几个公理系统(PRA等)-----算术公理体系结构当前的研究进展详情参见本人著作《证明方法与理论》(国防工业出版社,2015年11月),其公理名单如下,先后次序满足相容性≤关系:
(1) PFA
(2) EFA
(3) SEFA
(4) PRA
(5) RCA
(6) IΣ2
(7) IΣ3
(8) PA
(9) ACA0
(10) ACA0+ ("n,X)(TJ(n,X))
(11) ACA
(12) RCA0 + TJ(w)
(13) ACA0 + TJ(w).
(14) ACA + TJ(w).
(15) ACA0 + ("x)(TJ(w,x)).
(16) ACA0 + {("a,x)(TJ(a,x)):a<ww}
(17) ACA0 + {(a<ww)("x) (TJ(a,x))}.
(18) RCA0 + TJ(ww).
(19) ACA0 + TJ(ww).
(20) ACA0 + {("x)(TJ(ww,x))}.
(21) ACA0 + {("x)(TJ(a,x)):a<OE0}
(22) $\Delta$ -CA
(23) RCA0 + TJ(OE0):
(24) ACA0 + TJ(OE0).
(25) ACA + TJ(OE0).
(26) ACA0 + ("x)(TJ(OE0,x)).
(27) {ATI(a):a< G0}
(28) ATR0
(29) ATI (<G0).
(30) ATR
(31) Π-TI0
(32) Π-TI
(33) TI
(34) ID2
(35) ID<w
(36) Π-CA0
(37) Π-CA
(38) Π -CA+TI
(39) Π-TR0
(40) Π-TR
(41) Π-CA0
(42) Π-CA
(43) Π-CA+TI
(44) Z2
(45) Z3
(46) Type Theory.
(47) Weak Zermelo.
(48) ZC:Zermelo+Choice Axiom
(49) ZC + ("a< w1)(V(a))
(50) KP (#)
(51) ZFC
(52) ZFC + strongly inaccesible.
(53) ZFC + strongly Mahlo
(54) ZFC + {strongly n-Mahlo: n< w}
(55) ZFC + ("n < w)(stronglyn-Mahlo)
(56) ZFC + (weakly compact)
(57) ZFC + (indescribable)
(58) ZFC + (subtle):ZFC +“there exists a subtle cardinal”.
(59) ZFC + (almost ineffable):ZFC +“there exists an almost ineffable cardinal”.
(60) ZFC + (ineffable).
(61) ZFC + {n-subtle: n < w}
(62) ZFC + ("n < w)(n-subtle).
(63) ZFC + kÆw
(64) ZFC + ("n < w1)(kÆw)
(65) ZFC + 0#
(66) ZFC + ("x Πw)(x#):ZFC +“for all x containing omega, x# exists”.
(67) ZFC + kÆw1.
(68) ZFC + Ramsey.
(69) ZFC + Measurable
(70) ZFC + Concentrating Measurable
(71) ZFC + Strong
(72) ZFC + Woodin
(73) ZFC + Superstrong
(74) ZFC + Supercompact
(75) ZFC + Extendible
(76) ZFC + Vopenka
(77) ZFC + Almost Huge
(78) ZFC + Huge
(79) ZFC + Superhuge
(80) ZFC + ("n <w)(n-huge)
(81) ZFC + Rank into Itself
(82) ZFC + Rank + 1 into Itself
(83) VB + V into V
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