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仿射集、凸集、椎

已有 13635 次阅读 2013-7-3 22:42 |系统分类:科研笔记

仿射集、凸集、椎

仿射集:如果通过集合 $C$ 中任意两个不同点之间的直线仍在集合C中,那么称集合C是仿射的。

凸集:如果通过集合 $C$ 中任意两个不同点之间的线段仍在集合C中,那么称集合C是凸的。

椎:  如果通过集合 $C$ 中任意点,则 $\theta x$ $(\theta \geq 0)$ 仍在集合C中,那么称集合C是椎。如果集合C是椎,并且是凸的,则称C为凸椎。

区别:仿射集包含任意两点的任意线性组合,而凸集包含任意两点的线性组合,但是要求组合系数满足( $0\leqslant \theta \leqslant 1$ , $\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}=1$ );凸椎集合内部任意两点的任意非负线性组合

联系:凸集是放射集的子集;凸集也为凸椎的子集;凸椎为仿射集的子集



如果 $x_{i}$ 属于C,对于任意系数 $\sum \theta i=1$ ,我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C仿射组合

如果 $x_{i}$ 属于C,对于任意系数 $\sum \theta i=1$ , $0\leq \theta _{i}\leq 1$ ,我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C凸组合

如果 $x_{i}$ 属于C,对于任意系数 $\theta _{i}\geqslant 0$ ,我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C椎组合



仿射包:称由集合C中所有仿射组合组成的集合为C仿射包,记为:

$affC=\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\sum_{i=1}^{n}\theta _{_{i}}=1$



仿射包是包含C最小的仿射包。

C中所有点的凸组合组成的集合称为C凸包,记为:

$convC=\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}=1,0\leqslant \theta _{i}\leqslant 1$


C中所有点的椎组合组成的集合称为C椎包,记为:

$\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\theta _{i}\geqslant 0$


参考书籍:

[1] 凸优化.王书宁等译.清华大学出版社

[2] convex optimization.Stenphen boyd





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