仿射集、凸集、椎

仿射集：如果通过集合 $C$ 中任意两个不同点之间的直线仍在集合C中，那么称集合C是仿射的。

凸集：如果通过集合 $C$ 中任意两个不同点之间的线段仍在集合C中，那么称集合C是凸的。

椎：  如果通过集合 $C$ 中任意点，则 $\theta x$ $(\theta \geq 0)$ 仍在集合C中，那么称集合C是椎。如果集合C是椎，并且是凸的，则称C为凸椎。

区别：仿射集包含任意两点的任意线性组合，而凸集包含任意两点的线性组合，但是要求组合系数满足（ $0\leqslant \theta \leqslant 1$ ， $\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}=1$ ）；凸椎集合内部任意两点的任意非负线性组合

联系：凸集是放射集的子集;凸集也为凸椎的子集；凸椎为仿射集的子集

如果 $x_{i}$ 属于C，对于任意系数 $\sum \theta i=1$ ，我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C的仿射组合；

如果 $x_{i}$ 属于C，对于任意系数 $\sum \theta i=1$ , $0\leq \theta _{i}\leq 1$ ，我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C的凸组合。

如果 $x_{i}$ 属于C，对于任意系数 $\theta _{i}\geqslant 0$ ，我们称 $\sum \theta _{i}x_{i}$ 为集合C的椎组合；

仿射包：称由集合C中所有仿射组合组成的集合为C的仿射包，记为：

$affC=\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\sum_{i=1}^{n}\theta _{_{i}}=1$

仿射包是包含C最小的仿射包。

称C中所有点的凸组合组成的集合称为C的凸包，记为：

$convC=\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}=1,0\leqslant \theta _{i}\leqslant 1$

称C中所有点的椎组合组成的集合称为C的椎包，记为：

$\sum_{i=1}^{n}\theta _{i}x_{i}|x_{i}\in C,\theta _{i}\geqslant 0$

参考书籍：

[1] 凸优化.王书宁等译.清华大学出版社

[2] convex optimization.Stenphen boyd