引导语：作者1988-1991年在北京航空航天大学攻读空气动力学专业博士学位时，研究的课题是“激波与湍流边界层干扰”。研究过程中，对湍流问题的本身产生了深厚的兴趣，并阅读了大量文献。主要原因，众所周知，湍流问题是物理学百年难题，吸引了众多科学家研究此项课题，著名诺贝尔奖获得者海森堡终生都未能解决，而且此问题对航空航天等学科又如此重要。多年来一直对湍流问题进行着考虑，然而仍然是百思不得其解。后来在澳大利亚悉尼大学流变学课题组进行非牛顿流体力学的CFD研究时，一个偶然的机会，从粘弹流体力学的研究启发，萌发了对湍流转捩的机理的想法。然后，经过深入思考，反复验证，终于建立起了用于研究流动失稳和湍流转捩的能量梯度理论，成功解决了湍流难题，理论预测结果与所有得到的实验数据一致。这是一个典型的种花得柳的案例。研究的课题是雷诺数接近于零的粘弹性流动，最终得到了在高雷诺数下湍流转捩的理论。可以设想，如果当初通过立项，专门研究湍流课题，可能永远也解决不了湍流问题。此案例说明，自然科学领域里的原始创新工作不是计划出来的，不是通过课题论证事先安排出来的，也不是进行攻关就可以成功的。湍流问题的攻关，国际上已经持续进行了140年（1883-2023），而且集中了全世界若干位最优秀的科学家，也没有能够成功（包括若干位诺贝尔奖获得者，包括著名物理学家周培源教授，著名华人应用数学家林家翘教授等）。下面内容是翻译自作者出版的专著里面的第四章[1]。

4.2能量梯度理论的建立

4.2.1湍流产生的局部性

对于牛顿流体，Emmons（1951）在平板边界层流动实验中观察到，层流到湍流的转捩在开始阶段是一个局部现象，然后形成湍流斑。然后，他描述了湍流斑的形成原理，以及通过一定频率的有限振幅扰动扩展到完全湍流的原理（图4.1）。从那时起，人们认为从层流到湍流的转捩不是在整个流场中突然发生的，而是首先从流场中的某个位置开始，然后从该位置逐渐扩展。自然地，在流场中找到这样一个最初湍流斑出现的位置具有重要意义。

众所周知，在固体力学中我们了解到，机械设备中金属部件的损坏通常是首先从某个位置先开始的，例如制造缺陷、裂纹、应力集中或疲劳等。在流体力学中，我们认为一个稳定层流的破坏也应该首先从一个最危险的位置开始，该位置应该是湍流斑最初形成的位置。找到这个位置将是解决湍流转捩问题的第一步。这样，我们可能会面临以下问题：

（a） 形成这种湍流斑现象的机制是什么？

（b） 湍流斑现象的主导因素是什么？应该用什么参数来描述这种情况？

（c） 对平面Poiseuille流动，最危险的位置在哪里？

这些问题是我们关心的。找到这些问题的解决方案对于理解湍流转捩这一现象和估算流动转捩的临界条件非常重要。（注：为什么要选择研究平面Poiseuille流动，这是一个经典例子，当年海森堡、林家翘、Jhon von Neumann、Orszag等人都是研究的这个经典流动例子）。

图4.1 平板上边界层流动中层流向湍流转捩期间的湍流斑（来自Emmons 1951）。

由于林家翘先生（1944）著名的渐近性分析工作（线性稳定性分析），发现了平面Poiseuille流动在达到临界雷诺数时是确实是不稳定的，人们认为一个平滑的层流向湍流的转捩是由流动不稳定引起的。因此，预计湍流转捩的临界条件应与首先发生流动不稳定的位置有关。如果找出流动不稳定的机理并找到最危险的位置，就可以确定湍流转捩的临界条件。

根据实验和数值模拟的观察，发生最初不稳定的位置可能不一定与湍流斑形成的位置一致。然而，首先发现流动不稳定的位置是一个重要的步骤。

4.2.2粘弹性流动数值模拟结果的启发

1996年至2002年，作者在澳大利亚悉尼大学流变学课题组跟随Nhan Phan-Thien教授进行粘弹性流动的大尺度数值模拟项目。那时，在非牛顿流体力学领域粘弹性流动研究中，大家面临的一个非常困难的问题是模拟中的高德博拉数（Debarah）问题。在由polymetric melt构成的粘弹性流动中，雷诺数接近于零。随着德博拉数的增加（弹性增加），用计算算法求解流动变得困难。当德博拉数超过一临界值时，模拟将无法进行，并趋于发散。这就是所谓的“高德博拉数问题”或“高魏森堡数问题”。我们认为导致问题的原因可能来自两个方面。一个是数值方法在处理大De数下的高弹性应力梯度时失败的局限性，另一个是在临界Deborah数下流动可能在物理上是不稳定的。对于后者，方程模型本身无法处理这种不稳定性。作者通过网格布置和数值格式的仔细模拟发现，法向应力在弯曲壁面法线方向上的梯度可能是物理流动不稳定性的来源，法向应力导致垂直于壁面的压力梯度。这种压力梯度导致二次流离开壁面，速度分布会出现拐点。这是首次在雷诺数为零的粘弹性流中发现导致不稳定性的速度拐点（Dou and Phan-Thien（2001b、2002、2007、2008））。

Joo and Shaqfeh（1992）在Dean和Taylor Dean流中发现了纯弹性不稳定性，这表明间隙中的弹性法向应力梯度对不稳定性起作用，弹性法向应力导致压力梯度垂直于曲面。

Groisman and Steinberg（2000）对弹性流体流动进行了实验，发现雷诺数为零的弹性应力可以产生湍流 (发表在Nature 2000)。实验结果显示出无对流惯性的弹性湍流与牛顿流中的湍流具有相同的行为。

 图4.2 Dou and Phan Thien（2001b，2007）通过数值模拟得到的圆柱和壁面之间间隙内的压力沿垂直于流动方向的分布。（a） 牛顿流动；（b） 非牛顿流动（粘弹性流体）。

Dou and Phan Thien（1998年、1999年、2001a年、2001b年、2002年、2003年、2007年、2008年）研究了通过两平行平壁面之间圆柱绕流和两个平行壁面之间的线性串列圆柱绕流的粘弹性流动，流动的雷诺数接近于零。研究发现，当德博拉数（Debarah）大于临界值时，流动不稳定，计算出现发散。发现这一机制是由于圆柱表面上的弹性法向应力引起的，该应力在圆柱和通道壁之间的间隙中产生垂直于流动方向的压力梯度，如图4.2所示，

                                                                                                                                                                                           (4.1)

这种垂直于流线的横向压力梯度导致法向流动离开圆柱表面，并导致速度出现拐点，从而导致圆柱表面上的流体流动不稳定（Dou and Phan Thien 2001b；Dou and Phan-Thien 2007）。后来，英国卡迪夫大学的Claus和Phillips（2013）对经过圆柱的粘弹性流动进行了进一步的数值模拟，并证实了Dou and Phan-Thien（2007）关于圆柱侧面曲线表面流线弯曲引起的流动不稳定性的发现。

对横流方向压力梯度产生的不稳定性和对湍流现象的直觉使作者将低雷诺数下的粘弹性不稳定性与高雷诺数下牛顿流的不稳定性联系起来。可以想象，自然界中所有类型的湍流（如剪切流湍流、热对流湍流、弹性湍流、沿曲面的粘弹性湍流和磁流体湍流等）中可能存在一种普遍的湍流产生机制。通过这种方式，发展了一种关于流动不稳定性和湍流转捩的普遍理论，并被命名为“能量梯度理论”（Dou，2004a）。经过二十年多的持续研究，这一理论已被许多学术和工程问题所证实。它已成功地用于离心泵、混流式水轮机、离心风机、离心压缩机和旋风分离器等的性能改进。更重要的是，能量梯度理论导致发现了纳维-斯托克斯方程的奇异性，这在数学上证明了转捩流和湍流中，纳维-斯托克斯方程不存在光滑且物理合理的解（Dou 2021a；Dou 2022b）。（注：这个结论，对著名的千禧年大奖难题之一，Navier-Stokes方程的存在性与光滑性，在国际上首次给出了正确的答案，即对转捩流动和湍流流动，Navier-Stokes方程不存在全局定义域上的光滑解 [1-8]。）。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7 (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049

3.科学网-海森堡的第二个问题终于有了答案，窦华书的博文。

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1361491.html

4.新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授。https://mp.weixin.qq.com/s/unFxknnohDUwp11150OfZw

5.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html

6.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm

7. 湍流是怎样产生的? 最新研究进展！https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1341235.html

8.千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明,

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1337452.html