作者 高关中（德国汉堡）2026/1/17

每个高中学生，都要学习解析几何课。这门课的内容古代可没有，无论是古希腊，还是古东方。解析几何是近代才有的课程。它的创立者是法国人笛卡尔（1596-1650）。他还是一位杰出的哲学家，指出了科学研究的演绎法，其哲学思想突破中世纪经院哲学的桎梏，为近代哲学开辟了道路，由此他也被称为近代哲学的重要先驱。

体弱的天才思想家

勒内·笛卡尔（René Descartes，也译作笛卡儿）1596年3月31号出生于图尔南郊40公里的小镇拉海镇（La Haye），当时属于都兰行省（Touraine，又译图赖讷），今属安德尔-卢瓦尔省。为了纪念这位著名的学者，小镇在 1801 年改名为拉海-笛卡尔镇，1967 年之后，人们更习惯称之为笛卡尔镇。笛卡尔故居是一座两层带阁楼的房屋，现已辟为纪念馆，介绍这位大学者的一生。市政厅前还耸立着他的铜像。

笛卡尔出身于贵族家庭，父亲是布列塔尼议会（设在雷恩）的议员，家庭很富有。母亲产后不久就病死，小笛卡尔尚在襁褓之中就干咳不止，在保姆细心照料下才活了过来，因此得名勒内，意为“复活”。他虽然身体孱弱，却好奇心强，总是会提各种各样的问题，什么事都要究根问底。父亲戏称他是小小哲学家。

1604年，笛卡尔在年仅8岁时被送进了拉弗莱什教会学院（La Flèche，图尔西北50公里）。这所学校由法王亨利四世创立，耶稣会管理，学习条件良好。笛卡尔在此学习拉丁文、文学、数学、科学和经院哲学，达8年之久。他博览群书，对陈腐的经院哲学表示怀疑和厌恶。

由于笛卡尔自幼体弱，不能过多地运动，因而被特许不用遵守学院严格的作息时间。他不必每天早晨5点起床，可以在床上度过整个早晨的时光。这个每天利用清晨的时间进行思考和读书的习惯伴随了笛卡尔的一生。他曾对法国数学家帕斯卡讲到，自己保持身体健康并取得丰硕成果的秘诀就是每天早上睡到自然醒。然而，正如我们之后看到的，这句话竟然一语成谶，成了笛卡尔命运的一个悲剧性预言。

1612年笛卡尔以模范生的成绩毕业，又进入了普瓦捷学院（Poitiers，又译普瓦提埃）求学。该校在图尔西南90公里，是普瓦捷大学的前身，创办于1431年。20岁时笛卡尔以律师的身份毕业。但很明显，他从来没有真正从事过任何法律方面的工作。

毕业后，笛卡尔决心走向社会，“去读世界这本大书”。他来到巴黎，研究数学两年。1618年22岁的笛卡尔决定走出国门，加入奥兰治亲王莫里斯的军队，充当文职人员，当时他们驻扎在荷兰的布雷达。有一天，笛卡尔在大街上闲逛，突然看到路边立着一块牌子，上面写着一道数学问题，原来是有奖竞赛，正在征集答案。笛卡尔请一位路人把这个问题从荷兰语翻译为拉丁语或法语。几个小时之后，他就成功地解决了这个问题，这让他真正认识到了自己在数学方面的天赋。而那位为他翻译问题的路人不是别人，而是荷兰数学家贝克曼（Isaac Beeckman，1588-1637），他和笛卡尔成了朋友，对笛卡尔的物理数学研究颇有影响。

当时的欧洲正在“三十年战争”（1618-1648）的痛苦中挣扎，战火四起、处处烽烟，不同宗教派别和政治派系之间纷争不休。但笛卡尔仍然利用战斗的间隙学习数学，正如他后来所说的：“全身心地沉溺于数学学习中。”

在德国巴伐利亚多瑙河畔的诺伊堡服役期间，笛卡尔的一次经历彻底改变了他的一生。1619 年 11 月 10 日，为了躲避寒冷的天气，他躲进了一个只有陶瓷炉取暖的小房间。在几乎没有其他事情可做的情况下，他整天都在冥想。日有所思夜有所梦。一天晚上，他连续做了三个生动的梦。其中一个梦向他启示了打开自然的魔钥。据说，这把魔钥就是数学，他把自然世界看成是一个以数学为关键的单一系统。他想知道数学的确定性是否可以应用到其他知识领域。

1621年，笛卡尔退役了。在随后的几年里，他曾到意大利等国游历，然后回到巴黎住了3年。即便在旅途中，笛卡尔也没有放弃研究数学。很多人都鼓励笛卡尔继续他的研究，并将他的思想写下来公开出版。

笛卡尔深知自己的思想与教会大相径庭，易被视为异端，由于害怕受到教会的迫害，1628年笛卡尔卖掉家产，离开法国，移居荷兰，时年32岁，他在荷兰几乎度过了整个余生。他说：“我只要求安宁与平静”。当时，荷兰似乎能提供一个更安静的思考环境。这个国家比欧洲其他任何地方都提供更大的言论自由。

在随后的 20 年里，笛卡尔埋头研究与写作，写出了一本又一本不朽的著作。1633 年他写就《论宇宙》，为太阳系的日心说辩护，为了避免教会的麻烦，他仅将主要部分于1637年出版，这就是他第一本关于科学基础思考的杰作《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》）。这本著作还有三个值得着重关注的附录，分别是《几何学》（Le Géométrie）、《气象学》（Les Météores）、《光学》（La Dioptrique）。此书在莱顿发表，引起学术界的轰动。

紧接着，笛卡尔在1641年出版了一本《形而上学的沉思》（Méditations métaphysiques），详细论述了其基本哲学思想。1644年又出版了一本《哲学原理》，该书以"知识树"为喻构建哲学体系，将形而上学作为根基、物理学为树干、具体科学为分支，综合呈现了笛卡尔的理性主义方法论和自然哲学解释框架。1649年，他最后发表了心理学著作《论灵魂的感情》（Passion of the Soul）。

在出版这几本书以后，笛卡尔的大名传遍整个欧洲，1649年，笛卡尔被邀请访问瑞典，为瑞典女王克里斯蒂娜（1626—1689）讲授哲学。女王甚至专程派来军舰到荷兰接人。盛情难却啊，笛卡尔接受了邀请，来到斯德哥尔摩。

不幸的是，王后是个早起的人，这与笛卡尔相反，那位年仅23岁的女王坚持要求笛卡尔在早晨5点给她上课，每周三次。在北欧这片土地上，清晨实在太过寒冷了。笛卡尔在给朋友的信中写到，在这里甚至连思维也被冻僵了。后来事实证明，这种寒冷对他是致命的。在面对瑞典长达数月的严酷寒冬和黑暗的早晨之后，笛卡尔得了急性肺炎，于 1650 年 2 月 11 日凌晨4点钟溘然长逝，终年才54岁。这位开辟了现代文明的人，成了一位年轻女王任性的牺牲品。几经辗转，他的墓地最终设在巴黎圣日耳曼德佩教堂（Abbaye de Saint-Germain-des-Prés）。墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。

结合几何与代数，创立解析几何

尽管笛卡尔的哲学为人称道，但真正让他获得不朽声望的还是他在数学上的成就。

笛卡尔深刻地了解几何学和代数学各自的缺陷，认为希腊人的几何过于抽象，而且过多地依赖图形；而从东方传入的代数受法则和公式的控制，他想找出一个把二者结合的方法，这就是解析几何学。

首要的问题，怎么样用数字来表示几何上的一个点呢？相传有一天，笛卡尔生病卧床，望着天花板出神。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，正忙着织网。又顺着蛛丝爬上爬下，左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。它在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应。这就是坐标系的雏形。

为简便起见，我们只讨论平面。我们把水平线标记为“ x轴”，把垂直线标记为“y轴”，这两条线相交的点被称为“原点”。 为了纪念笛卡尔，这种以两条相交直线组成的参考系（平面直角坐标系）被命名为“笛卡尔坐标系”。

有了坐标系，用平面上的一对数就能清晰无误地确定一个点的位置。笛卡尔利用这一事实发展出了一门非常有用的理论——解析几何。

例如， 有个点A ，其横坐标值为 3，纵坐标值为 5，这样一来，点A就可以用一对有序数 (3,5) 表示了。注意，原点的坐标值被规定为 (0,0)。

试想一下，如果我们想描绘出平面上距离原点5个单位的所有点，肯定会画出一个以原点为圆心、半径为5个单位的圆。这个圆上的所有点的坐标（x,y）都满足X的平方 +Y的平方=5的平方（勾股定理）。反过来说，在这个平面上，只有这个圆周上的点的坐标值能使这个方程式成立。这就意味着，代数等式“X的平方 +Y的平方=5的平方”可以精确且唯一地表示这个圆。

换句话说，笛卡尔发现了一种能用代数等式（方程）表现几何中曲线的方法，反之亦然。如                                               Y=kX+b表示一条直线；甚至椭圆、双曲线、抛物线（统称圆锥曲线）都能用代数方程表示（二元二次方程）。

从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。并向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。所以“解析几何”也可称为“坐标几何”。

今天我们所能见到的一切曲线图，包括炮弹轨迹图、气温变化图，乃至股票市场每周的波动图，全部都来自笛卡尔这一天才的思想。

这还不是全部，笛卡尔进一步提出，不同曲线可以用相同的坐标系来描述，通过找出代表这些曲线的代数表达式构成的方程组的一般解，进而简单地找到这些曲线的交点。

不过，这种蕴含深刻见解的全新定义方式只是笛卡尔解析几何思想的冰山一角。

笛卡尔还指出，如果坐标点（x,y）中的X和Y这两个数有某种关系，也就是说，X的每一个值都对应着唯一的Y值，那么X和Y就构成了一种函数关系。函数的确无处不在，你在减肥时每天测到的体重值、孩子在每个生日那天测量的身高值，或者汽车在行驶途中车速与油表里程的关系，所有这些数据都能用函数来表示。

函数是现代科学家、统计学家、经济学家真正的“面包和黄油”，须臾不可或缺。

如果多次重复的科学实验或观察最终得出了相同的函数关系，它们就可能被提升到自然规律的地位——这里所谓的规律是指所有自然现象都要遵循的、可用数学描述的行为方式。

例如，牛顿发现了万有引力定律。万有引力定律指出如果两个点上物体之间的距离扩大两倍，那么它们之间的引力效应通常会降低为原来的四分之一。

笛卡尔的思想为用数学系统性地处理几乎所有事物推开了一扇门——“上帝是一位数学家”这一理念的核心意思也不过如此。

从纯数学的角度看，几何和代数这两门数学分支在过去被认为是毫无关联的，但笛卡尔证明了，如果从更高角度分析的话，两者是完全等价的。

就说古希腊三大几何难题吧。这是指化圆为方、倍立方和三等分任意角这三个仅用无刻度直尺和圆规（尺规作图）无法解决的几何问题，它们困扰了数学家两千多年，直到19世纪才被证明不可解，这些证明都用到了解析几何的原理。

正如伟大的数学家拉格朗日（1736-1813）指出的：“当几何和代数沿着各自的道路独立前进时，它们的进展缓慢，并且应用范围也有很多限制。但是，当这两门科学结合起来以后，它们相互从对方那里汲取了新鲜的活力，相辅相成，并加快步伐迈向了完美。”

笛卡尔肯定不会知道，有一个人会把他的数学思想作为科学向前迈进的核心力量，而这个人在他去世那年才8岁，这个人的名字叫牛顿！笛卡尔的成就为牛顿创立微积分奠定了基础，而微积分又是现代数学的重要基石。所以有人称笛卡尔是牛顿的人梯。可以说，笛卡尔创立的解析几何拉开了高等数学这个大舞台的序幕。

恩格斯在《自然辩证法》中对此予以高度评价，他说：“数学上的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要。”解析几何的建立使变数进入了数学，人类进入变量数学阶段，它的创立是数学史上一次划时代的转折，引起了数学的深刻革命，有力地解决了生产和科学技术中的许多重大问题。

理性主义哲学家

笛卡尔在数学上的成就让他获得不朽声望，他更在哲学上取得巨大突破，建立了新的哲学体系。黑格尔称他为“近代哲学之父”。作为17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，他也被誉为“近代科学的始祖”。

笛卡尔的时代，资产阶级处于新兴阶段，迫切需要科学知识。弗朗西斯•培根在17世纪初提出口号“知识就是力量”，代表了鲜明的时代精神。

培根、笛卡尔等人研究的哲学，把认识论放在主导地位，这是近代哲学不同于古代哲学的特色。从这一点来看，培根、笛卡尔是西方近代哲学的开山祖师。

他们都认为欧洲经院哲学的错误主要在于认识方法有问题。经院哲学有三个特点：信仰主义、先验主义、形式主义。这三个特点互为表里。

培根提出了经验主义，重视实验和归纳法，以此来反对经院哲学的先验主义。而笛卡尔提出理性主义，强调演绎法，来对付经院哲学的信仰主义。

这两个人的方法构成科学研究中相辅相成的两个方面，他们都大力提倡具体的科学研究，来反对经院哲学的形式主义。

人们把笛卡尔的哲学称为理性主义。这个名称很好地说明了其哲学的特点。理性主义所主张的，首先是广义的理性，并完全排斥宗教迷信。他重视思维的精密性，不信赖感官经验，认为只有理性思维才可靠。笛卡尔以理性为标准，要用“理性的尺度”对以往各种知识进行检查，去伪存真。这就是笛卡尔方法论上的怀疑一切。他的怀疑原则在当时和对后来的科学发展，都起到了解放思想、激励创造精神的积极作用。

笛卡尔认为，我可以怀疑一切，但不能怀疑“我在怀疑”的事实。怀疑就是思想，既然我在思想，那么在思想的“我”就不能没有：“我在思想，所以有我”。这就是“我思故我在”的含义。

笛卡尔把认识论问题置于其哲学体系的中心地位。他的方法论对于后来科学研究的发展有重要的影响。

在笛卡尔看来，不仅物理宇宙是用数学语言写就的，而且人类的所有知识都遵循数学的逻辑。用笛卡尔的话说：“它（数学方法）是最强有力的知识工具，比人类能动性赠予我们的其他任何工具都有效，它是万物的根源。”

他在古代演绎方法的基础上创立了一种以数学为基础的演绎法：以唯理论为根据，从自明的直观公理出发，运用数学的逻辑演绎，推出结论。他还提倡运用假设和假说的方法，运用直观“模型”来说明物理现象。

这种方法和培根所提倡的实验归纳法结合起来，经过牛顿等人的综合运用，成为物理学等许多学科的重要方法。如今，即使是经济学、社会学、甚至历史学都在采用数学工具。

笛卡尔在《方法论》中指出，研究问题的方法分四个步骤：

1. 永远不接受任何我自己不清楚的真理，不管有什么权威的结论，都可以怀疑。这就是著名的“怀疑一切”理论。例如亚里士多德曾下结论说，女人比男人少两颗牙齿。但事实并非如此。他要从那些自己确信不疑的真理（类似欧几里得几何学中的公理）开始。

2. 可以将要研究的复杂问题，尽量分解为多个比较简单的小问题，一个一个地分开解决。

3. 将这些小问题从简单到复杂排列，先从容易解决的问题着手。

4. 将所有问题解决后，再综合起来检验，看是否完全，是否将问题彻底解决了。

在1960年代以前，西方科学研究的方法，从机械到人体解剖的研究，基本是按照笛卡尔的《方法论》进行的，对西方近代科学的飞速发展，起了相当大的促进作用。但也有其一定的缺陷，如人体功能，只是各部位机械的综合，而对其互相之间的作用则研究不透。直到阿波罗登月工程的出现，科学家才发现，有的复杂问题无法分解，必须以复杂的方法来对待，因此导致系统工程的出现，方法论的方法才第一次被综合性的方法所取代。

综合看来，笛卡尔的思想至少在五方面对欧洲思想产生了影响。1.用机械原理解释宇宙万物；2.对科学实验所采取的积极态度；3.强调在科学中运用数学原理；4.怀疑论；5.对认识论的关注。

笛卡尔身体力行，他用自己的方法在物理学包括光学、气象学、天文学、心理学等分支进行科研，都取得了对后世影响颇深的成就。