接触流体力学的人都很清楚，纳维-斯托克斯方程（即N-S方程）是一组描述粘性流体运动的方程。这组方程的提出者，为法国物理学家Claude-Louis Navier (1785-1836)和英国科学家George Gabriel Stokes(1819-1903)。绝大多数物理学家相信，湍流的复杂性应该就隐藏在N-S方程的解里面，但它在三维空间的严格解还没有找到（图1）。这个解的难度同样吸引了数学和计算科学等领域的高度关注。

图1 美国Clay数学研究所网站将N-S方程列为“未解决”问题(截图)

回顾一下历史。自牛顿提出的科学原理被广泛接受之后，流体力学的发展进入了快车道，其中大神级科学家欧拉(Euler，1707-1783)做出了重大贡献。他创立我们今天称为“物质导数”的概念，提出了描述流体运动的欧拉法（与拉格朗日法并列为流体运动的两种描述方法），并在1775年推导出流体动力学的欧拉方程。这就是N-S方程的前身。不过，欧拉方程是不够彻底的，没有继承牛顿提出的内摩擦定律，即忽略了流体的粘性。作为材料力学领域的领军人物，Navier很清楚粘性力的作用，在1821年完成对欧拉方程的改进，引入粘性力。Stokes也在研究这个问题，1845年发表论文《On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids》，推导出一组考虑粘滞力的流体动力学方程。两人的研究是相互独立的，因此科学界将其称为Navier-Stokes方程。现代形式的可压缩流体三维N-S方程包含了1个连续性方程、3个动量方程和1个能量方程（图2），另外压强与密度的关系还需要使用流体本构方程。

图2 NASA网站提供的现代形式N-S方程组(截图)

那么，提出N-S方程是一种什么样的创新工作呢？

首先，N-S方程是对欧拉方程的改进，不是从0到1的创新。如何改进欧拉方程算是19世纪初的一个重大科学问题，因为流体的粘滞性早在牛顿时代就是一个知识点，但没有被包含在欧拉方程里面。欧拉本人应该也知道粘性问题，但没有关心它，做了无粘性假设使问题简单一些。另一种可能，是欧拉不太熟悉剪切力的表达方式。Navier和Stokes是幸运的，因为神人欧拉竟然留了一个漏洞给他们修补。从原创的角度看，做N-S方程的创新性比提出欧拉方程要差一些。只要将粘滞力理解为一种剪应力，改进欧拉方程的难度并不特别大。我这只是给出了相对意义上的判断，并非故意贬低Navier和Stokes的研究。实际上这两位都是科学史上的大牛。

其次，提出N-S方程几乎是一种纯理论创新。Navier和Stokes只是站在欧拉这个巨人的肩膀上，借用牛顿关于粘滞力的假设，进行一番推导之后写出了改进的偏微分方程。他们并没有获得这个方程的解，也没有用它直接解决什么重大实际问题。也许，对于他们而言，最高的研究目标是填补欧拉留下的理论漏洞。在如今“实证主义”盛行的时代，科学界正在抛弃这种假设演绎法（反而热情拥抱归纳法！），搞理论创新的论文越来越难以发表。我有点怀疑，当“大胆假设、小心求证”逐渐变为“不停求证、不敢假设”的时候，科学是否会进入脑死亡状态。

最后，N-S方程的历史地位是提出者没有想到的。有一件事情很清楚，改进欧拉方程的工作，只是Navier和Stokes科研兴趣中的一个点而已，他们还做了很多其它闪亮的研究。比如，他们的主攻方向都是弹性力学，而Stokes还钻研数学问题。我想他们不会料到，仅仅是增加了粘性，就使流体动力学行为远远超出了欧拉方程所能反映的复杂程度，也应该不会料到150多年后数学家还没有获得N-S方程的严格解。如果欧拉的工作更扎实一点，这个粘性作用在1800年之前就可以加入到方程里面，成为人类200多年不能解决的问题。另外一个结果也是有趣的：在此之后，人们再也没有提出能够显著超越N-S方程的流体动力学方程，只是做了一些轻微的修补工作。如今，大量的科学精力被用于N-S方程的近似解（主要与湍流相关）和CFD数值法求解（工程应用），另外有大量的数学家在绞尽脑汁试图证明或否证N-S方程具有光滑解。

以上情况，让我想起地下水科学的历史。地下水渗流理论的第一个定律，即Darcy定律(1856)，是实验统计的产物（归纳法）。之后，Dupuit公式(1863)、Boussinesq方程(1904)、Theis公式(1935)、Boulton模型(1963)和Tóth模型(1963)等都属于理论创新的产物（假设演绎法）。1970年代以来，地下水数值模拟技术越来越普及，就很少有人再去研究什么方程、公式之类，即使弄出一些改进也被认为是无足轻重的。越来越多的同行只懂得一点肤浅的流体动力学知识（全世界如此！）。目前，Boussinesq方程的非线性行为并没有完全弄清楚，方程本身背后的物理假设也有不少漏洞，却极少有人愿意去做相关的理论研究。地下水的工程技术环节，似乎越来越不需要那些所谓高深的理论。其它方面的地下水研究当然更强烈的依赖于实验统计、分析测试和遥感地理技术。

地下水科学是不是已经“脑死亡”？这个我不敢妄加揣测。但是，归纳法大行其道，假设演绎法寸步难行，已经是不争的事实。退回到以归纳法为主的“培根时代”，一门科学还会有伟大的创新吗？

对上述问题感兴趣的读者可以参考以下链接：

百家号“胖福的小木屋”

困扰人类200年，数学史最难最复杂的公式之一：纳维-斯托克斯方程

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1639211058215515293&wfr=spider&for=pc

mathpass的博客   http://blog.sina.com.cn/u/3036757490

陈sir揭开“千禧”难题Navier-Stokes方程四维时空解的神秘面纱

http://blog.sina.com.cn/s/blog_b5013df20102ziu9.html

https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/nseqs.html

科学网 肖建华的个人博客  

Navier-Stokes 方程的解？ http://blog.sciencenet.cn/blog-39419-570351.html