我们的周围充斥着波。我们听到的声音是一种波——声波是传播声音的波。我们能够看到遥远的恒星，那是由于光波——通常是指电磁波谱中的可见光，在宇宙中传播。有时我们还会感觉到由地震或其他方式产生的穿过地面的波——地震波引起地面剧烈震动。

波传播能量

波以有规律的振荡方式，在空间和物质中传播的扰动或变化。波将能量而不是物质，从一个地方转移到另一个地方。波作为介质中的一种扰动，它可以携带能量而没有粒子的净运动。它可能采取弹性变形、压力、电或磁强度、电势或温度的变化的形式。

中文“波”字从水，表示水面起伏为波。在海洋和湖泊，更容易直观感受到波的行为。例如，湖水上下移动，产生了称为波峰的高点和称为波谷的低点。当水上下移动时，波峰和波谷带着能量向侧面移动。再如，如果你跳进水坑，你的脚会在一个地方推动水面。这引起了一个小波动。你的脚碰到的水向外移动，推动附近的水。这个动作在你的脚附近创造了一个空白的空间，将水向内拉回。水来回振荡，形成波峰和波谷。然后波浪在水坑上荡漾。你跳跃产生的能量穿过水坑，但物质（水分子）只是来回晃动。

声音、光和亚原子粒子的运动，也都表现出类似波的特性。光能通过一种叫做电磁场的介质传播。这个场在宇宙中无处不在。当能量干扰它时，它会振荡，就像有人摇动绳子时，绳子会上下移动。与水中的波或空气中的声波不同，光波不需要物理物质来传播。它们可以穿越真空，因为它们的介质不涉及物理物质。机械波（如声音）需要介质才能传播，而电磁波不需要介质，可以通过真空传播。

波以许多不同的形式出现。那么所有这些不同的波，有什么共同特征呢？

科学家使用几种属性来测量和描述所有这些类型的波。在任意时间t，波长是从一个波的一点到下一个相同点的距离，例如从波峰到波峰或从波谷到波谷（图1上）。波长范围很广。海浪的波长大约为120米。但是典型的微波炉产生的微波的波长只有0.12米。可见光和一些其他类型的电磁辐射的波长要短得多。

波长是波的连续波峰之间的距离，定义了波的空间特征。而周期是指两个连续波峰通过给定点所花费的时间，定义了波特性的时间方面。在任意位置x，该位置出现两个波峰之间的时间间距，即为周期（图1下）。波长通常以米为单位测量，表明其空间焦点，而周期以秒为单位测量，突出其时间性质。

图1 波长（上）与周期（下）

电磁辐射是以波的形式传播的能量。能量传递有三种主要方式，辐射是其中之一，并可以在真空中传递能量。另外两种能量传递方式（传导和对流），则与之不同，需要材料来帮助传递能量。

电磁辐射通常按其波长分类。电磁辐射的光谱范围从无线电波到伽马射线。波长比可见光短的辐射包括伽马射线（通常由爆炸恒星内部和周围的过程产生的高能辐射，伽马射线是能量最高的光）、X射线和紫外线。波长较长的辐射包括红外光、微波和无线电波（无线电波是人们现在用于远距离交流的一种类型，用来传输无线电和电视信号，也被用于雷达）。图2的电磁波谱可以看出，波长可以从很长（无线电波为千米长）到很短（伽马射线为百万分之一米）。图2的标尺显示这些电磁波的长度，单位是米或几分之一米。人眼只能看到这些波的很小一部分（可见光）。

图2 电磁波谱（来源：改编自网络）

我们已经知道，连续波峰或波谷之间的距离称为波长。波的高度就是振幅。在单位时间内有多少波峰或波谷通过一个特定点称为频率。波速可以用波长乘以频率来表示：波速=频率×波长。同样，波长可以用波速除以频率表示：波长=波速/频率。

频率是某些周期性现象在特定时间间隔内发生的次数。频率描述了一秒钟内有多少波通过一个点。频率的单位是Hz（赫兹）。以国际标准音A-la-440Hz为准：do的频率为261.6Hz，re的频率为293.6Hz，mi的频率为329.6Hz，fa的频率为349.2Hz，sol的频率为392Hz，la的频率为440Hz，si的频率为493.8Hz。例如，一架钢琴上的do（“中央C音符”）的声音频率为261.6Hz，在空气中传播时，每秒钟推动空气分子震荡261.6次。如果要问其波长，利用公式“波长=波速÷频率”，由声速为344 米/秒，我们得到波长= 344/ 261.6= 1.315（米）。

频率和波长与波的能量有关。例如，当在绳子上制造波时，制造更高频率的波需要更多的能量。每秒上下移动手10次（10Hz）比每秒仅移动手一次（1Hz）需要更多的能量。绳子上10Hz波比1Hz波的波长要短。

不同类型的波的周期不同，波速也不同。例如：海啸（由地震或海底滑坡引发），其周期10分钟-2小时，波速<800公里/小时；潮汐（由月亮和太阳引发），其周期12-24小时，波速<1700米/小时；风暴潮（由于低压区引起），其1-10小时，波速~100米/秒；声音（来自海洋生物、船只），其周期10⁻¹~10⁻⁵秒，波速1.52公里/秒；毛细波纹（由风引发），其周期<10^-1秒，波速0.2-0.5米/秒。

波有两种，纵波（其中粒子平行于波的传播方向振荡）和横波（其中粒子垂直于波的传播方向振荡）。

横波就像水面上的波，水表面上下起伏；纵波就像声音，由介质中交替的压缩和稀疏组成。横波的高点称为波峰，低点称为波谷。对于纵波，压缩和稀疏类似于横波的波峰和波谷。

注意，横波和纵波都可以是周期性的。横波的传播使得扰动垂直于传播方向。图4上显示了一个横波的例子，一个人上下移动一个玩具弹簧，产生的波在水平方向上远离自己传播，同时在垂直方向上干扰玩具弹簧。电磁波是横波。多个证据均指出，电磁波的电场和磁场振动方向与波的传播方向垂直，这是横波的特征。

相反，在纵波中，扰动平行于传播方向。图4下显示了一个纵波的例子，其中这个人现在通过拉伸然后压缩玩具弹簧在水平方向上产生扰动——这与波传播的方向相同。声波通常被认为是纵波。当振动在介质中传播时，声波的振动方向与传播方向是相同的。声波的这种性质使得它在任何介质中都可以传播，包括气体和液体。

图3 横波（上）和纵波（下）

横波和纵波都是在大块物质中传播的。横波的传播速度大约是纵波的一半(例如，在铁中，横波的传播速度是每秒3200米，而纵波的传播速度是每秒5200米)。

在地震记录中，纵波是所谓的“P波”（P代表主波，因为它们最先到达）。横波是地震记录中所谓的“S波”。

许多研究人员研究了波的特性和行为。这包括天文学家（天文学家是从事天体、空间和物质宇宙研究领域的科学家）、地质学家和音响工程师。

波是移动的函数

在数学意义上，波是任何移动的函数。要将任何函数f（x）向右移动，只需将其参数从x更改为x-x₀，其中x₀是正数。如果我们令x₀=ct，其中c为正（波的速度），t为时间，则位移随着时间的流逝而增加。所以，f（x-ct）表示向右或向前传播的波。类似地，f（x+ct）表示向左或向后传播的波。

图4 波是任何移动的函数（来源：改编自网络）

波动方程就是描述波动现象的偏微分方程。波动方程是一个二阶线性偏微分方程，它描述各种波，如声波或水波。它出现在不同的领域，如声学、电磁学、地球物理学或流体动力学。下面的形式

给出了三维空间中的波动方程，其中是拉普拉斯算子。而一维波动方程形为：

一般认为，早在1746年，达朗贝尔就发现了一维波动方程，几年后欧拉发现了三维波动方程。

很容易通过直接替换来验证一维波动方程的通解：

其中f和g是它们自变量的任意函数。与所有偏微分方程一样，必须给出合适的初始和/或边界条件，以获得特定几何形状和起始条件下的方程解。

许多物理问题可以导出波动方程。例如，一个小细弹性绳子在内部张力作用下处于平衡状态，微小扰动引起部分质点位移，使得临近部分随之位移，形成波的运动。基于动量定理与能量守恒定律，并考虑到弦的微小振动以及张力的方向变化等因素，利用牛顿第二定律可以导出一维波动方程（图5上）。又如，声波在气体或液体中传播压力扰动，声波具有交替的高低压带。从从质量守恒和动量守恒（牛顿第二定律）出发，也可以推导声学介质的一维波动方程（图5下）。

 图5 一维波动方程

小绳的波动方程的公式表明，小绳的一小段的加速度与相邻段的平均位移成正比。这个公式预测小绳将以波的形式移动。

波动方程很好地描述了广泛的现象，因为它通常用于模拟平衡态附近的小振荡，波动方程的解在流体动力学中当然很重要，波动方程使我们在理解水、声音、光和弹性振动方面也取得了重大进展，在电磁学、光学、海洋与地球科学、引力物理学和传热学中也起着重要的作用。例如，地震学家使用它的修改版本，从地球的振动方式中推断出地球内部的结构。石油公司使用类似的方法来寻找石油。

反问题与全波形反演

许多计算科学的应用，涉及偏微分方程的参数估计，称为反问题。反问题的研究始于20世纪初，至今仍然备受关注。反问题（也称“逆问题”）指的是利用实际观测结果来推断表征系统的参数值，并估计那些不容易直接观测到的数据。一个具有挑战性的反问题是全波形反演(FWI)，其目标是从波形观察数据中，确定波速、密度和非均质介质的其他可能参数。这种类型的反问题出现于油气储层的地震勘探、地球地下构造、超声波成像、光学衍射层析成像、脑成像等等。

波动方程反问题主要通过研究系统外部观测的波场，来确定介质内部结构与特征，例如，地震波传播是波动方程应用的一个典型问题,其反问题也是波动方程反问题的典型例子。地震波传播的反问题的目标是反演得到地下介质的结构，其重要性源于它在声纳、海洋勘探、地球物理和医学成像（如超声波）中的众多应用。

反问题在地球物理学中一直扮演着重要的角色，因为地球的内部是不可直接观测的，而通过其内部传播的波，在地表面表现是可测量的。使用地震波的测量来确定地震的震中位置，或波传播通过的岩石的密度，是典型的反问题，其中波传播用于探测物体。

全波形反演(FWI)是一种强大的地球物理成像技术。由于过去10年来高性能计算的发展和现代数值方法的进步，3D FWI已成为广泛应用的可行方案，FWI正在成为高分辨率地震成像的成熟策略，它基于使用包括透射波、一次反射波及其多次波的全波场数据，来提取地下介质的物理参数（见上一篇博文漫谈计算机与石油物探 2024-06-03）。

FWI这个在地球物理学中开发的计算技术，近年还被用于生成精确的亚毫米分辨率的大脑三维图像（参考资料[1]）。据报道，FWI方法分辨率超越了传统CT成像。图6为头骨外大脑的数据反演的比较：（左）真实的（无颅骨裸脑中声波速度的二维模型），红色椭圆显示传感器位置；（中）CT（超声波计算机断层扫描）的结果，空间分辨率差；（右）FWI（超声波全波形反演）的结果，生成的模型现在既准确又具有良好的空间分辨率。

图6 头骨外大脑的数据反演（来源：改编自参考资料[1]）

MIT有一个课程，称为“Waves and Imaging（波与成像）”（参考资料[2]）。该课程是为与应用数学有关系的研究生开设的，涵盖了涉及波的反问题的数学，其中的例子取自反射地震学、合成孔径雷达和计算机断层摄影术。这门课程主题包括：声波、弹性波、电磁波方程；格林函数，几何光学；散射级数和反演；伴随状态方法：偏移和反向投影；雷达成像、滤波、模糊度和分辨率；计算机断层扫描，拉冬变换；地震成像、Kirchhoff建模和偏移、速度分析；成像的微局部分析；优化、正则化、稀疏性、降维。

结语

科学家和工程师们研究和利用现实世界中的波现象，研究波动方程及其反问题，研究各种类型的波——从声波、地震波到电磁波，有助于创新设计产品和流程，以使我们的世界变得更美好。

今天，科学家们正在继续研究和寻求波在科学与工程中更先进的应用。以医学领域为例，声波可以集中在身体深处，有助用于处理出血，或帮助医生向组织中的特定区域提供药物，并且防止不利的细菌感染。声波可以用于成像和帮助治疗各种疾病，包括癌症、中风和帕金森病。2024年2月，学术期刊《自然》的一篇来自麻省理工学院的论文，宣布研究发现利用40 Hz的光和声音刺激，会促使一种特殊类型的神经元释放肽，清除作为阿尔茨海默病病理学特征的淀粉样蛋白（参考资料[3]）。

此外，矩阵成像为波物理学下一次革命铺平了道路。基于一组传感器记录的响应矩阵，能够优化像差现象和多次波补偿，它已经在光学显微镜或地震成像中产生惊人的效果，但是，到目前为止，对于超声波矩阵成像的成功有限。使用毫米波（mmWs）在国防、安全和航空领域有许多优势，因为所有陆地物体都会发出毫米波辐射，这些波能够穿越烟雾、沙尘、云、雾、海洋层，甚至衣服（参考资料[4]）。

当前，利用人工智能和机器学习来捕捉波的复杂性是新的研究热点之一，包括探讨通过人工智能预测不规则波运动的可行性，开发基于波成像物理的深度学习架构，以及研究数据驱动FWI方法解决反演问题——有报道称，数据驱动FWI在超声骨成像研究中，用较少的计算代价，可以获得比FWI更细致、更精确的结果。

参考资料：

[1] Guasch, L., Calderón Agudo, O., Tang, MX. et al. Full-waveform inversion imaging of the human brain. npj Digit. Med. 3, 28 (2020).

[2]  Laurent Demanet. Waves and Imaging. Class notes - 18.367. Draft April 13, 2021

https://math.mit.edu/icg/resources/teaching/18.367/notes367.pdf

[3] Murdock, M.H., Yang, CY., Sun, N. et al. Multisensory gamma stimulation promotes glymphatic clearance of amyloid. Nature 627, 149–156 (2024).

[4] Bureau,F., Robin,J. Leber,A, et al.Three-dimensional ultrasound matrix imaging. Nat Commun 14,6793(2023)