约瑟夫·伯特兰（Joseph Bertrand，1822年3月11日-1900年4月3日），是杰出的法国数学家、经济学家和科学史学家。他提出的“伯特兰悖论”（Bertrand's paradox）在概率论中非常著名，引发了人们对概率定义和随机变量选择的深入思考。伯特兰还提出过“伯特兰盒子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。

1 伯特兰悖论

1.1 什么是伯特兰悖论

伯特兰悖论是由约瑟夫·伯特兰在其1889年的著作《概率计算（Calcul des Probabilites）》中首次提出的，它困扰了研究人员一百多年（参考资料[1]）。这一悖论提出了一个看起来非常简单的几何概率问题，似乎有三种同样合理但不相容的解决方案。

请看图1(A)中包含内接等边三角形的圆(即等边三角形的每个角都位于圆的圆周上)。假设在圆上随机画一条弦（圆周到圆周的直线），如图中弦k。伯特兰问：这条弦的长度大于内接等边三角形边长的概率是多少？

图1 伯特兰悖论问题及其解决方案

这似乎是一个相当简单的问题，应该有一个同样简单的答案，然而，伯特兰悖论指出，实际上有三种不同的答案，取决于你如何“随机选择”弦。

以下逐一查看在圆上随机绘制弦的三种方法：随机端点、随机半径和随机中点。

解决方案1：随机端点（Random Endpoints）

解决方案1是通过随机地选择圆周上一个点P，从这一点出发，创建弦。想象三角形现在被旋转以使一个角与与P点重合，如图1(B)所示。从图中可以看出，弦的另一个端点决定了这个弦是否大于内接等边三角形边长。例如，弦a和弦d（蓝线）的长度小于内接等边三角形边长，弦b和弦c（红线）的长度大于内接等边三角形边长。

很容易看出，弦大于三角形边长的唯一情景是，它的远端点位于三角形两个远角之间的弧上。由于三角形的角将圆的圆周一分为三，所以有1/3的机会远端点位于这个弧上；因此，弦的长度大于内接等边三角形边长的概率是1/3。

解决方案2：随机半径（Random Radius）

解决方案2不是通过它的端点来定义我们的弦，而是通过在圆上画一个半径R,如图1(C)中的虚线，并想象旋转三角形，使有一条边平垂直于半径R。通过这个半径R构建一个垂直于它的弦。例如，图中的弦a和弦b（红线）大于内接等边三角形边长，弦c和弦d（蓝线）小于内接等边三角形边长。

很容易看出，如果弦在比三角形的边更靠近圆的中心的点(如弦a)穿过半径，那么它的长度大于内接等边三角形边长，而如果它在更靠近圆的边的点(如弦d)穿过半径，那么它的长度小于内接等边三角形边长。根据基本几何学，三角形的边平分半径(将半径切成两半)，所以弦有1/2的机会更靠近中心，因此弦有1/2的可能性其长度大于内接等边三角形边长。

解决方案3：随机中点（Random Midpoint）

第三种解决方案假设弦是由中点的位置定义的。在图1(D)中，等边三角形内接一个较小的半径是大圆的1/2的圆C。可以看出，如果弦的中点落在圆C内，这个弦的长度大于内接等边三角形边长，如果弦的中点落在圆C外，其弦长小于内接等边三角形边长。例如弦b（红线）的长度大于内接等边三角形边长，而a弦（蓝线）的长度小于内接等边三角形边长。

因为小圆的半径是大圆的1/2，所以它的面积是大圆的1/4。因此，随机中点位于较小圆内的概率为1/4，因此弦的长度大于内接等边三角形边长的概率为1/4。

1.2 计算机模拟

利用计算机模拟程序，用上述三种不同解决方案绘制弦，进行了1,000,000次试验。此外，还试验了“随机弦”（在圆周上随机选择两个端点构造弦）的方案。

图2是程序输出。图2A、图2B、图2D中的红线表示长度大于内接等边三角形边长的的弦，蓝线表示长度小于内接等边三角形边长的的弦；图2C的红圆点表示长度大于内接等边三角形边长的的弦，其中心在半径0.5圆内部，蓝圆点表示长度小于内接等边三角形边长的的弦，其中心在半径0.5圆外部。该模拟程序抽稀显示（每5000个弦显示1个；每2500个圆点显示1个）。

图3是程序最后打印的模拟结果：“随机端点”、“随机半径”、“随机中点”三种解决方案，其长度大于内接等边三角形边长的几率分别是:0.333...，0.500...和0.250...；而“随机弦（在圆周是随机选择两个端点）”，其长度大于内接等边三角形边长几率是0.3335...。

图2 模拟伯特兰悖论不同的解决方案抽稀显示：A 随机端点；B随机半径；C 随机中点；D随机弦

图3 伯特兰悖论模拟结果输出截屏

2 伯特兰盒子悖论

2.1 什么是伯特兰盒子悖论

伯特兰盒子悖论，另一个挑战我们逻辑直觉的经典概率难题，也是伯特兰在1899年提出的。有三个盒子（图4）：A盒子装两个金币，B盒子装两个银币，C盒子装一个金币和一个银币。随机选择一个盒子，从该盒子抽取一枚硬币，结果是金子，那么被选中的盒子是A盒子的概率是多少？答案是有三分之二的概率打开的是A盒子。

图4 波特兰盒子问题

以下讨论用贝叶斯定理解“伯特兰盒子”问题（不关心数学细节者跳过）。

伯特兰盒子问题是问“假设你抽取得到了一枚金币，那么你选择的盒子是A的概率是多少？”。我们用G表示“抽取得到了一枚金币”事件，用A表示“选择的盒子是A盒子”事件，B表示“选择的盒子是B盒子”事件，C表示“选择的盒子是C盒子”事件。

利用贝叶斯定理公式，我们会得到这样的结果:

我们知道，我们从三个盒子中随机选择一个盒子。所以，P(A)= P(B)=P(C)=1/3。

由于A盒子装的两个都是金币，所以，如果我们选择A盒子，就有100%的概率选出一枚金币。所以，P(G|A)= 1。B盒子装的两个都是银币，如果我们选择B盒子，0%的概率选出一枚金币，所以，P(G|B)=0。C盒子装一个金币和一个银币，如果我们选择C盒子，有50%的概率选出一枚金币，所以，P(G|C)=1/2。

现在可以计算分母P(G)，利用全概率公式：

P(G)= P(G|A)P(A)+ P(G|B)P(B)+ P(G|C)P(C)

P(G)= 1×1/3+0×1/3+1/2×1/3

P(G)= 1/2

把P(G)、P(G|A)和P(A)数值代入贝叶斯公式，得到

2.2 计算机模拟

图8是利用Python程序模拟伯特兰盒子悖论问题的结果输出。程序模拟随机选择一个盒子，选择一个盒子后随机选择硬币。表示每次试验后更新金币来自盒子A的几率。从图8（上）中可以看出，在经过大约20,000次试验后，几率靠近红色虚线。红色虚线位于2/3处。图8（下）是经过100,000次试验后，打印输出的伯特兰盒子问题金币来自盒子A的几率为0.6671，接近2/3。

图5 波特兰盒子问题计算机模拟（上：每次试验后更新的“金子来自盒子A”的几率；下：模拟结果）

3 结语

如同蒙蒂霍尔问题和“男孩或女孩”悖论（见我的前两篇博客），“伯特兰盒子悖论”是一个挑战我们逻辑直觉的经典概率难题。它促使你重新思考随机选择的结果。

比起“伯特兰盒子悖论”，“伯特兰悖论”是更为著名的经典概率悖论。伯特兰悖论突显了概率论中关于随机选择和几何测度的复杂性。它展示了在给定条件下，不同的选择方式可能导致不同的概率计算结果。

伯特兰悖论的提出是对古典概率定义的冲击，推动了概率理论的严谨化和规范化。柯尔莫哥洛夫在20世纪30年代提出的公理化结构，为概率统计方法提供了坚实的理论基础，明确了概率的定义、运算规则等，使得概率的研究更加严谨和规范。

计算机模拟为验证和研究概率悖论提供了强有力的工具。即使如同伯特兰悖论和伯特兰盒子悖论这样简单的问题，人工进行十万次或百万次试验，也并非轻而易举，而利用计算机模拟，只要几秒钟时间。

参考资料：

[1] Jinchang Wang and Rodger Jackson. Resolving Bertrand's Probability Paradox. Int. J. Open Problems Compt. Math., Vol. 4, No. 3, September 2011

***更正***：上一篇博客《漫谈“男孩或女孩”悖论》中，最后一个图表的G4行（代表“第二个孩子是星期四出生的女孩”），有13个单元格误填充的图案，应改为空白。图案填充仅出现于B2列的单元格和B2行的单元格中。